4.4.2二面角（解析版）

4.4.2二面角同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．如圖，三棱臺(tái)的下底面是正三角形，，則二面角的大小是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】根據(jù)二面角的定義可知為二面角，從而可求解.【詳解】三棱臺(tái)中，，且，則，又，且,所以平面，所以為的二面角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所?故選：C2．下列說法：①兩個(gè)相交平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角；③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)系．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由二面角的定義判斷.【詳解】根據(jù)二面角的定義知①兩個(gè)相交的半平面所組成的圖形叫做二面角，故錯(cuò)誤；②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線所成的角，故錯(cuò)誤；③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，故錯(cuò)誤．所以①②③都不正確．故選：A3．在長方體中，，，則二面角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)?，，可得就是二面角的平面角，又因?yàn)?，在直角三角形中?jì)算正切值.【詳解】∵，，由二面角的平面角的定義知，就是二面角的平面角，又，所以.故選：D4．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(diǎn)(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圓的性質(zhì)知：，根據(jù)線面垂直的判定得到面，即，結(jié)合二面角定義可確定二面角的平面角.【詳解】∵是圓上一點(diǎn)(不同于，)，是圓的直徑，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定義：為二面角的平面角.故選：C5．正方體的棱長為1，則二面角的余弦值為A． B． C． D．【答案】A【分析】作出正方體，取中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，說明即是二面角的平面角，求解即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，則，，所以即是二面角的平面角，又因正方體棱長為1，所以，所以，又，所以在，即二面角的余弦值為，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查求二面角的大小，可用立體幾何法在幾何體中作出二面角的平面角，通過解三角形即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.6．在“立體幾何”知識(shí)中：①兩直線所成角的取值范圍是；②直線與平面所成角的取值范圍是；③二面角的平面角取值范圍是．在“解析幾何”知識(shí)中；④直線的傾斜角取值范圍是；⑤兩直線的夾角取值范圍是；在“向量”知識(shí)中：⑥兩向量的夾角的取值范圍是；以上概念敘述正確的是（

）A．②①④⑤ B．②③④⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤【答案】B【分析】根據(jù)各類角的定義即可逐一作出判斷.【詳解】當(dāng)兩直線平行時(shí)夾角為0，故兩直線所成角的范圍為，故①⑤錯(cuò)誤，其他選項(xiàng)根據(jù)對(duì)應(yīng)的定義均為正確.故選:B．7．如圖，在長方體中，為的中點(diǎn)，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二面角的定義證明即為二面角的平面角，求出此角即得．【詳解】如圖，在長方體中，平面，平面，平面，所以，且，所以即為二面角的平面角，又，易得.故選：B.8．自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是(

)A．相等 B．互補(bǔ) C．互余 D．相等或互補(bǔ)【答案】D【分析】作出圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】如圖，A為二面角α-l-β內(nèi)任意一點(diǎn)，AB⊥α，AC⊥β，過B作BD⊥l于D、連接CD，則∠BDC為二面角α-l-β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC為兩條垂線AB與AC所成角或其補(bǔ)角，∵∠A＋∠BDC＝180°，∴當(dāng)二面角的平面角為銳角或直角時(shí)，AB與AC所成角與二面角的平面角大小相等，當(dāng)二面角的平面角為鈍角時(shí)，AB與AC所成角與二面角的平面角大小互補(bǔ).故選：D.9．二面角為，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二面角的定義和線面垂直的性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)槎娼菫?，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為，故選：B.10．在正四面體A－BCD中，二面角A－CD－B的平面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，若E為CD中點(diǎn)，連接AE、BE，可得為二面角的平面角，結(jié)合余弦定理求即可.【詳解】由A－BCD為正四面體知：若E為CD中點(diǎn)，連接AE、BE，則，而，∴面，即有為二面角A－CD－B的平面角，設(shè)正四面體的棱長為1，即，∴在△中，作于H，則，而且，可得，∴.故選：B.二、填空題．二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)所組成的圖形叫做二面角．這條叫做二面角的棱，這兩個(gè)叫做二面角的面．[問題]二面角的范圍是什么？【答案】半平面直線半平面．【分析】根據(jù)二面角的定義填空.【詳解】從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，故答案為：半平面，直線，半平面，12．如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是．【答案】/【分析】根據(jù)與二面角大小互補(bǔ)進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)二面角的大小為，因?yàn)?，，垂足為、，所以，又，所?故答案為：13．如圖，P是二面角內(nèi)的一點(diǎn)，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B.若∠APB＝80°，則二面角的大小為.【答案】100°//【分析】根據(jù)∠APB與二面角大小互補(bǔ)進(jìn)行求解【詳解】設(shè)二面角的大小為，因?yàn)镻A⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B.，所以，所以.故答案為：100°14．將邊長為a的正三角形ABC，沿BC邊上的高線AD將△ABC折起．C點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，若折起后B與兩點(diǎn)間的距離為，則二面角的大小為．【答案】/【分析】由折疊過程得出二面角的平面角，從而可得二面角大?。驹斀狻空郫B過程中．，，所以是二面角的平面角，又，是等邊三角形，，故答案為：．15．二面角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二面角的定義直接作答.【詳解】二面角的取值范圍是.故答案為：三、解答題16．如圖，在正方體中，(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出異面直線與所成的角，并求得角的大小.（2）判斷二面角的平面角，并求得角的大小.【詳解】（1）在正方體中，連接，由于，所以是異面直線與所成的角，由于三角形是等邊三角形，所以，所以異面直線與所成的角的大小為.（2）在正方體中，，所以是二面角的平面角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以二面角的大小為.17．在正方體中，求二面角的大小.【答案】【分析】利用二面角的定理找出為二面角的平面角，進(jìn)而即可求解.【詳解】

∵，，∴即為二面角的平面角.又∵，∴.∴二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題求二面角的大小，求解步驟：“作、證、求”，屬于基礎(chǔ)題.能力進(jìn)階能力進(jìn)階18．如圖所示，在正方體中，求二面角的大小.【答案】【解析】由二面角的定義證出即為二面角的平面角，從而可求出二面角的大小.【詳解】連接和.由已知有面，所以，，因此即為二面角的平面角.由于是等腰直角三角形，因此，所以