全國(guó)版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章直線和圓的方程第2講圓的方程及直線圓的位置關(guān)系試題2理含解析

第第頁(yè)第九章直線和圓的方程其次講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系1.[2024南京市學(xué)情調(diào)研]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓A:(x-1)2+y2=1,點(diǎn)B(3,0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)P引圓A的切線,切點(diǎn)為T.若|PT|=2|PB|,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x2+y2-14x+18=0 B.x2+y2+14x+18=0C.x2+y2-10x+18=0 D.x2+y2+10x+18=02.[2024云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測(cè)]圓x2+y2-4y-4=0上恰有兩點(diǎn)到直線x-y+a=0(a>0)的距離為2,則a的取值范圍是()A.(4,8) B.[4,8) C.(0,4) D.(0,4]3.[2024河南省名校第一次聯(lián)考]已知圓C:(x-a)2+y2=4(a≥2)與直線x-y+22-2=0相切,則圓C與直線x-y-4=0相交所得弦長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.2 D.224.[2024安徽省示范中學(xué)聯(lián)考]已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b滿意關(guān)系式b2cosθ+bsinθ+2=0和a2cosθ+asinθ+2=0,則經(jīng)過(guò)A(a2,a),B(b2,b)兩點(diǎn)的直線l與圓x2+y2=4的位置關(guān)系是()A.相交 B.相離 C.相切 D.與θ的取值有關(guān)5.[2024武漢市高三學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)]圓C1:x2+y2=4與圓C2:x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的長(zhǎng)為()A.2 B.2 C.22 D.236.[2024貴陽(yáng)市高三摸底測(cè)試]“m=43”是“直線x-my+4m-2=0與圓x2+y2=4相切”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.[2024湖北武漢部分學(xué)校測(cè)試]已知A(-1,0),B(1,0)兩點(diǎn)以及圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圓C上存在點(diǎn)P,滿意AP·PB=0,則r的取值范圍是()A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6]8.[2024浙江名校聯(lián)考]設(shè)圓x2+y2-2x-3=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CD,則四邊形ACBD的面積是()A.83 B.43 C.8 D.49.[原創(chuàng)題]已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,若點(diǎn)A,B在圓C上,滿意|AB|=23,且AB的中點(diǎn)M在直線2x+y+k=0上,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.[-25,25] B.[-5,5]C.(-5,5) D.[-5,5]10.[2024合肥市調(diào)研檢測(cè)]若直線l經(jīng)過(guò)拋物線x2=-4y的焦點(diǎn)且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切,則直線l的方程為.

11.[2024湖北孝感模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在點(diǎn)P,使得|PA|=2|PB|,|PC|=|PD|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

12.[2024山東省質(zhì)檢]過(guò)直線x+y+1=0上一點(diǎn)P作圓C:x2+y2-4x-2y+4=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若四邊形PACB的面積為3,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

13.[2024湖南模擬]若函數(shù)f(x)=-1beax(a>0,b>0)的圖象在x=0處的切線與圓x2+y2=1相切,則a+b的最大值是14.[2024全國(guó)卷Ⅱ,19,12分][理]設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.15.[2024山西省晉南檢測(cè)]過(guò)圓x2+y2=4上一點(diǎn)P作圓O:x2+y2=m2(m>0)的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若∠APB=π3,則實(shí)數(shù)m=(A.13 B.1216.[2024陜西百校聯(lián)考]已知圓M:x2+y2+2x-1=0,直線l:x-y-3=0,點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng),直線PA,PB分別與圓M相切于點(diǎn)A,B,當(dāng)切線長(zhǎng)PA最小時(shí),弦AB的長(zhǎng)度為()A.62 B.6 C.26 D.417.[2024陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)]已知圓C1:x2+y2-kx-y=0和圓C2:x2+y2-2ky-1=0的公共弦所在的直線恒過(guò)定點(diǎn)M,且點(diǎn)M在直線mx+ny=2上,則m2+nA.15 B.55 C.2518.[2024黑龍江省高三六校聯(lián)考]已知直線3x-y-3=0與x軸交于點(diǎn)A,與圓M:(x-2)2+(y+3)2=4交于B,C兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線與過(guò)B,C兩點(diǎn)的動(dòng)圓N相切于點(diǎn)P,當(dāng)△PBC的面積最大時(shí),切線AP的方程為()A.x+3y+3=0 B.3x+y+3=0C.3x+y-3=0 D.x+3y-3=019.[2024惠州市一調(diào)]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則該雙曲線的漸近線與圓(A.1 B.2 C.4 D.020.[2024江蘇,14,5分]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P(32,0),A,B是圓C:x2+(y-12)2=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿意|PA|=|PB|,則△PAB面積的最大值是21.[2024廣東省茂名市聯(lián)考]已知圓C:x2+y2-8x-6y+F=0與圓O:x2+y2=4相外切,切點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)P(4,1)的直線與圓C交于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程;(2)若|AQ|=|AP|,點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合,求直線MN的方程及△AMN的面積.22.[2024湖北省模擬]已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(74,174),B(-318,338),直線x=0平分圓C,直線l與圓C相切,與圓C1:x2+y2=1相交于P,Q兩點(diǎn),且滿意OP⊥OQ(1)求圓C的方程;(2)求直線l的方程.23.[遞進(jìn)型]已知圓C:x2+y2-2x-6y+4=0與直線l:x+y+b=0,若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),且∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則b=,|AB|=.

24.[與不等式綜合]點(diǎn)M(x,y)在曲線C:x2-4x+y2-21=0上運(yùn)動(dòng),t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值為b,若a,b均為正實(shí)數(shù),則1a+1+1b25.[2024南昌市一模][遞進(jìn)型]如圖9-2-1,一列圓Cn:x2+(y-an)2=rn2(an>0,rn>0)逐個(gè)外切,且全部的圓均與直線y=±22x相切,若r1=1,則a1=,rn=圖9-2-1答案其次講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系1.C設(shè)P(x,y),由圓的切線的性質(zhì)知,|PT|2+|AT|2=|PA|2.因?yàn)閨PT|=2|PB|,所以2|PB|2+|AT|2=|PA|2,即2[(x-3)2+y2]+1=(x-1)2+y2,整理得x2+y2-10x+18=0,故選C.2.A將圓的方程x2+y2-4y-4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2+(y-2)2=8,則該圓的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑為22.設(shè)圓心到直線x-y+a=0(a>0)的距離為d,因?yàn)閳Ax2+(y-2)2=8上恰有兩點(diǎn)到直線x-y+a=0(a>0)的距離為2,所以2<d<32,即2<|0-2+a|2<32,又a>0,解得43.D圓心(a,0)到直線x-y+22-2=0的距離d1=|a+22-2|2,因?yàn)閳AC:(x-a)2+y2=4(a≥2)與直線x-y+22-2=0相切,所以d1=|a+22-2|2=2,解得a=2或a=2-42.因?yàn)閍≥2,所以a=2.(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)到直線x-y-4=0的距離d24.C由題意,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都滿意xcosθ+ysinθ+2=0,所以直線l的方程為xcosθ+ysinθ+2=0,由xcosθ+ysinθ+2=0,x2+y2=4,可得y2+(4sinθ)y+4sin2θ=0,因?yàn)棣?16sin2θ5.C解法一因?yàn)镃1:x2+y2=4,C2:x2+y2-4x+4y-12=0,所以圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r=2,兩圓的公共弦所在直線的方程為4x-4y+8=0,即x-y+2=0.因?yàn)镃1(0,0)到直線x-y+2=0的距離d=22=2,所以兩圓的公共弦的長(zhǎng)為2r2-d解法二因?yàn)镃1:x2+y2=4,C2:x2+y2-4x+4y-12=0,所以圓C2的圓心為C2(2,-2),半徑r=25,兩圓的公共弦所在的直線方程為4x-4y+8=0,即x-y+2=0.因?yàn)镃2(2,-2)到直線x-y+2=0的距離d=|2-(-2)+2|2=626.A由直線x-my+4m-2=0與圓x2+y2=4相切,可知圓心到直線的距離等于半徑,可得到|4m-2|1+m2=2,即(2m-1)2=1+m2,解得m=0或m=43,所以“m=43”是“直線x-my7.D因?yàn)锳P·PB=0,所以AP⊥PB,所以點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心,AB為直徑的圓上,且該圓的方程為x2+y2=1.又點(diǎn)P在圓C上,所以兩圓有公共點(diǎn).因?yàn)閮蓤A的圓心距d=32+42=5,所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r8.B把圓的方程x2+y2-2x-3=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4,所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為2,所以該圓截x軸所得的弦AB的長(zhǎng)|AB|=4,截y軸所得的弦CD的長(zhǎng)|CD|=24-1=23,所以四邊形ACBD的面積S=12|AB|×|CD|=12×4×23=49.D圓C的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=4,易知圓心C的坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=2,連接CM,因?yàn)閨AB|=23,所以|CM|=r2-(|AB|2)2=1,因此點(diǎn)M在以C(-1,2)為圓心、1為半徑的圓上.又點(diǎn)M在直線2x+y+k=0上,故直線2x+y+k=0與圓(x+1)2+(y-2)2=1有公共點(diǎn),于是|-2+2+10.x=0或4x-3y-3=0由題意,知拋物線的焦點(diǎn)為(0,-1),圓的圓心為(1,2),半徑為1.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,與圓相切,滿意題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,則由直線與圓相切,得|k-2-1|k2+1=1,解得k=43,所以直線l的方程為y=43x-1,即4x-3y-3=011.[-22-1,22-1]設(shè)P(x,y),則由|PA|=2|PB|,得(x-1)2+y2=2·(x-3)2+y2,整理得(x-5)2+y2=8,即動(dòng)點(diǎn)P在以(5,0)為圓心,22為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).又由|PC|=|PD|,知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y=a+1上運(yùn)動(dòng),因而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=a+1與圓(x-5)2+y212.-1或1圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=1,可知圓心為C(2,1),半徑為1.因?yàn)樗倪呅蜳ACB的面積為3,所以|PA|×1=3,即|PA|=3.連接PC,在Rt△PAC中,|PC|=|PA|2+|AC|2=32+12=10,設(shè)P(13.2因?yàn)閒(x)=-1beax(a>0,b>0),所以f'(x)=-abeax,所以f'(0)=-ab,又f(0)=-1b,所以在x=0處的切線的方程為y+1b=-abx,即ax+by+1=0.因?yàn)榍芯€與圓x2+y2=1相切,所以圓x2+y2=1的圓心到切線的距離d=1a2+b2=1,即a2+b2=1,因?yàn)閍>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以a14.(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2Δ=16k2+16>0,x1+x2=2k所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=4k由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線的方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=-x因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.15.C如圖D9-2-3,連接OA,OB,OP,則∠APO=12∠APB=π6,∴m=|OA|=|PO|·sin∠APO=2×1圖D9-2-316.B解法一由題意可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=2.設(shè)P(a,a-3),則|PA|2=|PM|2-|MA|2=(a+1)2+(a-3)2-2=2(a-1)2+6,所以當(dāng)a=1時(shí),|PA|2取得最小值6,所以|PA|min=6,此時(shí)|PM|=22,S△PAM=12×|MA|×|PA|=12×|PM|×|AB|2,即2×6=2解法二因?yàn)閨PA|2=|PM|2-|MA|2=|PM|2-2,所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí),|PM|取得最小值,此時(shí)直線PM與直線l垂直,則|PM|=|-1-0-3|2=42=22,|PA|=|PM|2-2=6,所以S△PAM=12×|MA17.C由圓C1:x2+y2-kx-y=0和圓C2:x2+y2-2ky-1=0,可得兩圓的公共弦所在的直線方程為k(x-2y)+(y-1)=0,聯(lián)立x-2y=0,y-1=0,解得x=2,y=1,即點(diǎn)M(2,1),又點(diǎn)M在直線mx+ny=2上,所以2m+n=2.18.D由題意得,A(3,0),圓M的圓心M(2,-3),所以|AM|2=(3-2)2+32=16-43.如圖D9-2-4,圖D9-2-4設(shè)H是BC的中點(diǎn),則|AP|2=|AN|2-|NP|2=|AN|2-|NC|2=(|AH|2+|NH|2)-(|CH|2+|NH|2)=|AH|2-|CH|2=(|AM|2-|MH|2)-(|MC|2-|MH|2)=|AM|2-|MC|2=12-43,所以|AP|為定值.在△PBC中,設(shè)BC邊上的高為h,則S△PBC=12|BC|·h,由于|BC|不變,則當(dāng)PA⊥BC時(shí),h最大,此時(shí)S△PBC取得最大值,此時(shí)AP的方程為y=-33(x-3),即x+3y-319.B雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線的方程為y=bax.由離心率e=ca=2得c2a2=4,即a2+b2a2=4,得ba=3,所以這條漸近線的方程為y=3x.由y=3x,(x-2)220.105解法一連接CA,CB,則|CA|=|CB|,連接CP,由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|得AB的垂直平分線是直線CP,設(shè)圓心C到AB的距離為d(0≤d<6),易知當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),點(diǎn)P到直線AB的距離為d+|PC|=d+1,|AB|=236-d2,△PAB的面積S=12|AB|(d+1)=12×236-d2(d+1)=36(d+1)2-d2(d+1)2,令d+1=t,t∈[1,7),則S=36t2-(f'(t)=-4t3+6t2+70t=-2t(t-5)(2t+7),由f'(t)=0,得t=5,則當(dāng)t∈[1,5)時(shí),f'(t)>0,f(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t∈(5,7)時(shí),f'(t)<0,f(t)單調(diào)遞減,所以f(t)max=f(5)=500,則△PAB面積的最大值為105.解法二如圖D9-2-5,連接CA,CB,則|CA|=|CB|,連接PC,圖D9-2-5由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|,得AB的垂直平分線是直線CP.當(dāng)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),△PAB的面積S=12×12×1=6.當(dāng)AB在點(diǎn)C的左上方時(shí),記直線PC與AB的交點(diǎn)為D,設(shè)∠ACD=θ,θ∈(0,π2),則|AB|=2|AD|=12sinθ,|CD|=6cosθ,則△PAB的面積S=12|AB|·|PD|=12×12sinθ(6cosθ+1)=36sinθcosθ+6sinθ,則S'=36cos2θ-36sin2θ+6cosθ=36cos2θ+6cosθ=6(12cos2θ+cosθ-6),由S'=0得cosθ=23(舍去cosθ=-34),且當(dāng)0<cosθ<23時(shí),S'<0,S單調(diào)遞減;當(dāng)23<cosθ<1時(shí),S'>0,S單調(diào)遞增,所以當(dāng)cosθ=23時(shí),S取得最大值,且Smax=36×1-(21.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-3)2=25-F,圓心C(4,3),半徑為25-由圓C與圓O相外切知25-F+2=16+9,所以F圓C:(x-4)2+(y-3)2=9,點(diǎn)P(4,1)在圓C內(nèi),弦MN過(guò)點(diǎn)P,Q是MN中點(diǎn),則CQ⊥MN,所以點(diǎn)Q的軌跡是以CP為直徑的圓,方程為(x-4)2+(y-2)2=1.(2)連接OC,線段OC與圓O的交點(diǎn)為A,聯(lián)立y=34x與x2+y2=4,解得點(diǎn)A(85,6若|AQ|=|AP|,則P,Q是以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑的圓與點(diǎn)Q的軌跡的交點(diǎn),由(x-85)2+(y-65)2=(85-4)2+(65-1)2與(x-4)2+(y-2)2=1得3x+y-13=0,所以直線MN的方程為3x點(diǎn)C(4,3)到直線MN的距離d=|12+3|MN|=29-點(diǎn)A到直線MN的距離h=|24所以△AMN的面積S=12|MN|·h=722.(1)依題意知圓心C在y軸上,可設(shè)圓心C(0,b),圓C的方程為x2+(y-b)2=r2(r>0).因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),所以(74)2+(174-b)2=(-318)2+(338-b)2,即716+28916-172b+b2=3164所以圓C的方程為x2+(y-4)2=12.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由l與C相切得l的方程為x=22或x=-22,此時(shí)直線l與C1交于P,Q兩點(diǎn),不妨設(shè)P在Q點(diǎn)上方,則P(22,22),Q(22,-22)或P(-22,22),Q(-22,-22),則OP當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),易知其斜率不為0,縱截距不為0,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線l的方程與圓C1的方程聯(lián)立,得y=kx+m,x2+y2=1,消去y,整理得(1+則Δ=4k2m2