2022年江蘇新高二數(shù)學(xué)暑假教材講練（蘇教版2019選擇性必修第一冊）第15講 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（含詳解）

第15講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

丁琳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求圓錐曲線的方程;

2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)(如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)解決相關(guān)問題;

3.能夠把直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.

【基礎(chǔ)知識】

知識點(diǎn)一：直線與橢圓的位置關(guān)系

平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系

橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任

給一點(diǎn)M(x,y),

22

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓上,則有點(diǎn)+方=l(a>b>0)；

22

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓內(nèi),貝U有-2+斗'<1(a>b>0)；

ab~

f2

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓外,RIJW—+p->l(a>^>0).

直線與橢圓的位置關(guān)系

將直線的方程y=與橢圓的方程=l(a>>>0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的

一元二次方程，其判別式為4

①/>00直線和橢圓相交O直線和橢圓有兩個交點(diǎn)(或兩個公共點(diǎn))；

②/=0。直線和橢圓相切O直線和橢圓有一個切點(diǎn)(或一個公共點(diǎn))；

③/<0=直線和橢圓相離O直線和橢圓無公共點(diǎn).

直線與橢圓的相交弦

設(shè)直線y=+b交橢圓3+方=1(a>b>0)于點(diǎn)［(4凹)，蟲々,為)，兩點(diǎn)，則

HE1=依-々）2+（乂-%）2

=J（XI_x,）、i+（y-必）,=ji+左213?

同理可得|P}P21=Jl+,IM-％I（%w0）

這里I%-々|,|%-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

I%-電l=-w）?-鉆々IX-％1=J（M-%）?-4%%知識點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系

直線與雙曲線的位置關(guān)系

X2y2

將直線的方程y=Ax+m與雙曲線的方程彳-==1（。〉0,。〉0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x

ab-

或y的一元二次方程，其判別式為/.

（&2-crk1^-2a1mkx-crtv1-a2b2=0若廿一/公=o,即k=±2,直線與雙曲線漸近線平行，直線

a

與雙曲線相交于一點(diǎn)；

若廿_/公*0,即％工±2,

a

①/>0。直線和雙曲線相交O直線和雙曲線相交，有兩個交點(diǎn)；

②/=00直線和雙曲線相切O直線和雙曲線相切，有一個公共點(diǎn)；

③/<0。直線和雙曲線相離O直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn).

直線與雙曲線的相交弦

22

X"V"

設(shè)直線y=履+相交雙曲線二^=1（。>0,/?>0）于點(diǎn)[（X[,y）二（格必），兩點(diǎn)，貝U

ab

IP}P2TH+馬尸+（乂_丫2,=j（X|+々）汨+（）~”>]=J1+J|Xj-X2|

VXl~X2

同理可得16鳥|=|*-y21（A工0）這里1%I，I乂-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下

變形：

IX]-工21=J（X1+x2）2I%-%I-J（y+%>-4%%雙曲線的中點(diǎn)弦問題

遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.

在雙曲線。一二=1（。>0力>0）中，以P（x0,%）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=—空；

ab-ay0

涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用"點(diǎn)差法''設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化,

同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.

解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.

知識點(diǎn)四、直線與拋物線的位置關(guān)系

直線與拋物線的位置關(guān)系

將直線的方程y=+m與拋物線的方程>2=2*（p>0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元

二次方程，其判別式為4

6?一2刀+2Pm=0若&=0,直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點(diǎn)；

若左片0

①/>0O直線和拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；

②4=00直線和拋物線相切，有一個公共點(diǎn)；

③/<00直線和拋物線相離，無公共點(diǎn).

直線與拋物線的相交弦

22

設(shè)直線）=云+機(jī)交拋物線「一［=1（。>0/>0）于點(diǎn),8（入2，力），兩點(diǎn)，貝U

ao

J（X1—出尸+（5一%>=］（西一々尸［1+］=Jl+攵2|%1|

同理可得16鳥|=J1+.|%-%I（z片°）這里?與一々I，?%-％I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下

變形：

2

I芭-x21=5/（X（+x2）-4X}X2\y}-y21=+%）?-4乂%拋物線的焦點(diǎn)弦問題

已知過拋物線y2=2PMp>0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)。

設(shè)4即，>1），8（X2，>2），則：

①焦點(diǎn)弦長|AB|=玉+々+〃或IAB|=3-（a為A加勺傾斜角）

SHTa

CP22

②%入2=彳，%%=?〃

1-Ir\

③——+——=-.其中HQ叫做焦半徑，|必|=玉+‘

\FA\\FB\p2

④焦點(diǎn)弦長最小值為2N根據(jù)|431=3-可見，當(dāng)a為工時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最

sina2

短，最短值為2p。

拳【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：直線與橢圓的位置關(guān)系

).

A.0個B.1個C.2個D.3個

考點(diǎn)二：橢圓的弦

例2.經(jīng)過橢圓、+/=1的左焦點(diǎn)”作傾斜角為60'的直線/,直線/與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，則線

段AB的長為

考點(diǎn)三:橢圓的綜合問題3.已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別是百(-1,0)、工(L0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)〃?取何值時，直線y=x+%與橢圓C：

①有兩個公共點(diǎn)；

②只有一個公共點(diǎn)；

③沒有公共點(diǎn)？

考點(diǎn)四：直線與雙曲線的位置關(guān)系

4.已知雙曲線C：￡-卓=1(“>0/>0)的焦距為4,且過點(diǎn)卜3,2m).

(1)求雙曲線方程；

(2)若直線/：丫=履+2與雙曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)%的值.

考點(diǎn)五：雙曲線的弦

例5.過雙曲線/-1=1的左焦點(diǎn)尸，作傾斜角為2的直線/.

⑴求證：/與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)AB；

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)和|A5|.

考點(diǎn)六：雙曲線的綜合問題

例6.已知直線y=or+l與雙曲線3/-y2=1相交于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).如果函_L而，求

。的值.

考點(diǎn)七：直線與拋物線的位置關(guān)系

例7.過點(diǎn)M(2,4)作直線/與拋物線V=8》只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

考點(diǎn)八：拋物線的弦

日1例8.過拋物線V=4x的焦點(diǎn)的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，若弦|AB|=8,則該直線的方程是

考點(diǎn)九：拋物線的綜合問題

在1例以已知拋物線。：/=-2萬(0＞0)的準(zhǔn)線方程為k3,過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線/與拋物線交

于不同兩點(diǎn)A,B,且|明=30.

(1)求拋物線C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)：

(2)求AOAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(2,【真題演練】

1.若直線依+切+4=。和圓/+丁=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)尸(。,方)的直線與橢圓《+=1的公共點(diǎn)個數(shù)為

94

()

A.0B.1C.2D.需根據(jù)m6的取值來確定

22

2.點(diǎn)尸是橢圓*■+方=1("＞人＞0)的一個焦點(diǎn)，P。是過橢圓中心。的一條弦，則△PQF的面積的最大值

是(其中八面一從)()

A.—abB.abC.acD.be

2

3.已知拋物線C:y?=8x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，。是直線P/與C的一個交點(diǎn)，若麗=3苑，

則|QF|=（）

758

A.—B.2C.-D.—

223

4.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，若|朋2=10,則線段MN的中

點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）

A.8B.6C.4D.2

5.已知直線乙：4x+3y-6=0和直線l2:x=i,拋物線丁=_4x上一動點(diǎn)P到直線Z,和直線/2的距離之和的最

小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.--

516

（多選題）6.已知點(diǎn)P是雙曲線已￡-《=1的右支第一象限上的一點(diǎn)，耳，行為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，

169

△PK"的面積為20,則下列說法正確的是（）

4

A.雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上B.雙曲線E的離心率為二

C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4D.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為120

7.己知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+3=1,若過點(diǎn)尸（2,1）的直線/與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M,則點(diǎn)M

的坐標(biāo)為.

8.設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，布與x軸正向的夾角為60。，

貝1」°川=.

9.若在拋物線y?=4x上求一點(diǎn)。，使它到點(diǎn)A（7,8）與到準(zhǔn)線的距離之和最小，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是

.10.已知雙曲線方程則以42,1）為中點(diǎn)的弦所在直線/的方程是.

3

11.在以下三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：

①M(fèi)（x0,2）在拋物線C上，且|用尸|=3；②過焦點(diǎn)尸作x軸的平行線，與拋物線C交于G,，兩點(diǎn)，|G川=4；

4r2

③拋物線。的準(zhǔn)線過雙曲線4y2—?=1的下焦點(diǎn).

問題：已知拋物線c：y=；/(p>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)A(1,〃)，,若線段AF的垂直平分線交拋物線

于P,。兩點(diǎn)，求線段PQ的長度.

12.求直線y=x+i被雙曲線/一21=|截得的弦長.

4

2

13.已知雙曲線土一V=1,P是雙曲線上一點(diǎn).

4

(1)求證：點(diǎn)P到雙曲線兩條漸近線的距離的乘積是一個定值.

(2)已知點(diǎn)43,0),求|尸山的最小值.

14.已知過拋物線方程丁=人的焦點(diǎn)的直線交拋物線于4%，x)、8(%,%)兩點(diǎn)，若不+々=6,求弦長|A8|.

15.已知拋物線方程y2=8x,求過點(diǎn)4(1,1)且被該點(diǎn)平分的拋物線的弦所在直線方程.

16.(1)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程是y=±6x,且雙曲線過點(diǎn)(2,3),求雙曲線的方程；

(2)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,0),直線/3+2)，-2=0交橢圓于A,B兩點(diǎn)，線段

A8的中點(diǎn)為求橢圓的方程；

17.已知拋物線C:y2=2px(p<0)過點(diǎn)A(-l,-2).

(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

(2)過該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為120的直線，交拋物線于43兩點(diǎn)，求線段AB的長度.

l^J【過關(guān)檢測】

1.已知雙曲線C：x2-/=1e>0)的漸近線經(jīng)過橢圓G：［+與=1與拋物線G：y=v的交點(diǎn)，則以雙曲

線C的兩焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A.V+y2=iB.Y+y2=2c.x2+r=3

D.x2+y2=4

2.己知產(chǎn)為拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)，過尸作兩條互相垂直的直線4，4,直線4與。交于A、8兩點(diǎn)，直

線與。交于。、E兩點(diǎn)，則IABI+IDEI的最小值為()

A.24B.22C.20D.16

22

3?若直線如+4=4與圓/+丁2=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)p"〃)的直線與橢圓會+?=1的交點(diǎn)的個數(shù)為()

A.0或1B.2C.1D.0

4.已知"，鳥分別是雙曲線/一￡=1的左、右焦點(diǎn)，A為一條漸近線上的一點(diǎn)，且AF；_LA居，則耳巴

4

的面積為（）

A.75B.2百C.5D.也

2

5.尸為橢圓￡+$=1（"＞匕＞0）上異于左右頂點(diǎn)A，&的任意一點(diǎn)，則直線PA與P4的斜率之積為定值

222

b將這個結(jié)論類比到雙曲線，得出的結(jié)論為：P為雙曲線X會v-方=1（。＞0力＞0）上異于左右頂點(diǎn)A，4

的任意一點(diǎn)，則（）

A.直線P\與P&的斜率之和為定值勺

B.直線P\與PA2的斜率之積為定值

c.直線尸4與尸&的斜率之和為定值勺

礦

2

D.直線尸4與P4的斜率之積為定值勺h

礦

（多選題）6.己知直線￥=米-1與拋物線％2=4y相切，貝心=（）

A.OB.-1C.1D.-72

2

7.已知直線y=2x-4與雙曲線C/2一方=1有且只有一個公共點(diǎn)，則C的離心率等于.

8.拋物線y2=-2px（p＞0）的弦AB過其焦點(diǎn)，且垂直于它的對稱軸，。為原點(diǎn)，若AAOB的面積為3,則

拋物線方程為.

2

9.已知直線》=缶與雙曲線--斗=1仍＞0）無交點(diǎn)，則該雙曲線離心率的最大值為.

10.已知耳鳥為雙曲線C：片-亡=1的兩個焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且忙。|=|月段，

164

則四邊形尸匕QK的面積為.

11.一輛卡車要通過跨度為8米、拱高為4米的拋物線形隧道，為了保證安全，車頂上方與拋物線的鉛垂

距離至少0.5米.隧道有兩條車道，車輛在其中一條車道行駛，卡車寬為2.2米，車廂視為長方體，則卡車

的限高為米（精確到0.01米）.

12.拋物線產(chǎn)=4》上的點(diǎn)到直線y=x+3的距離最小值是.

13.若橢圓[+]=1的弦AB被點(diǎn)P（l,l）平分，則所在的直線方程為.

14.已知拋物線。》2=20犬（夕＞0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)過尸作垂直于X軸的直線與拋物線C交于A8兩點(diǎn)，AAO3的面積為2.求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)拋物線上有M,N兩點(diǎn)，若△WON為正三角形，求△MON的邊長.

15.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是％=-1

(1)求拋物線的方程；

⑵直線/：X=緲+4與拋物線交于A(x「yJ,8伍,％)兩點(diǎn)，求證：OAYOB.

16.已知點(diǎn)尸與點(diǎn)尸(0,1)的距離比它到直線y+3=0的距離小2.

⑴求點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

2石

(2)若軌跡C上有兩點(diǎn)A、B在第一象限，且明=2,|陰=3,求證:直線A8的斜率是丁.

第15講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

亍市【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求圓錐曲線的方程;

2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題;

3.能夠把直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.

\1/

【基礎(chǔ)知識】

知識點(diǎn)一：直線與橢圓的位置關(guān)系

平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系

橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任

給一點(diǎn)M(x,y),

X2y2

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓上,則有靛+方"=1(a>b>0)；

fv2

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓內(nèi),則有r+二'<1(a>少>0);

a~b~

X2y2

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓外,貝！I有-+力">1(a>b>0).

直線與橢圓的位置關(guān)系

X2y2

將直線的方程,二丘+力與橢圓的方程靛+方聯(lián)立成方程組‘消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于1或y的

一元二次方程，其判別式為/.

①/>00直線和橢圓相交O直線和橢圓有兩個交點(diǎn)（或兩個公共點(diǎn)）；

②/=0。直線和橢圓相切。直線和橢圓有一個切點(diǎn)（或一個公共點(diǎn)）；

③/<00直線和橢圓相離。直線和橢圓無公共點(diǎn).

直線與橢圓的相交弦

設(shè)直線y-kx+h交橢圓二+2=1（a>&>0）于點(diǎn)q（七,％），《（々，%），兩點(diǎn)，則

ab~

HE1=依-々）2+（乂-%）2

=J（XI_x,）、i+（y-必）,=ji+左213?

同理可得|P}P21=Jl+,IM-％I（%w0）

這里I%-々|,|%-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

I%-電l=-w）?-鉆々IX-％1=J（M-%）?-4%%知識點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系

直線與雙曲線的位置關(guān)系

X2y2

將直線的方程y=Ax+m與雙曲線的方程彳-==1（?！?,?！?）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x

ab-

或y的一元二次方程，其判別式為/.

（&2-crk1^-2a1mkx-crtv1-a2b2=0若廿一/公=o,即k=±2,直線與雙曲線漸近線平行，直線

a

與雙曲線相交于一點(diǎn)；

若廿_/公*0,即％工±2,

a

①/>0。直線和雙曲線相交O直線和雙曲線相交，有兩個交點(diǎn)；

②/=00直線和雙曲線相切O直線和雙曲線相切，有一個公共點(diǎn)；

③/<0。直線和雙曲線相離O直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn).

直線與雙曲線的相交弦

22

X"V"

設(shè)直線y=履+相交雙曲線二^=1（。>0,/?>0）于點(diǎn)[（X[,y）二（格必），兩點(diǎn)，貝U

ab

IP}P2TH+馬尸+（乂_丫2,=j（X|+々）汨+（）~”>]=J1+J|Xj-X2|

VXl~X2

同理可得16鳥|=|*-y21（A工0）這里1%I，I乂-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下

變形：

IX]-工21=J（X1+x2）2I%-%I-J（y+%>-4%%雙曲線的中點(diǎn)弦問題

遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.

在雙曲線。一二=1（。>0力>0）中，以P（x0,%）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=—空；

ab-ay0

涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用"點(diǎn)差法''設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化,

同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.

解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.

知識點(diǎn)四、直線與拋物線的位置關(guān)系

直線與拋物線的位置關(guān)系

將直線的方程y=+m與拋物線的方程>2=2*（p>0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元

二次方程，其判別式為4

6?一2刀+2Pm=0若&=0,直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點(diǎn)；

若左片0

①/>0O直線和拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；

②4=00直線和拋物線相切，有一個公共點(diǎn)；

③/<00直線和拋物線相離，無公共點(diǎn).

直線與拋物線的相交弦

22

設(shè)直線）=云+機(jī)交拋物線「一［=1（。>0/>0）于點(diǎn),8（入2，力），兩點(diǎn)，貝U

ao

J（X1—出尸+（5一%>=］（西一々尸［1+］=Jl+攵2|%1|

同理可得16鳥|=J1+.|%-%I（z片°）這里?與一々I，?%-％I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下

變形：

2

I芭-x21=5/（X（+x2）-4X}X2\y}-y21=+%）?-4乂%拋物線的焦點(diǎn)弦問題

已知過拋物線y2=2PMp>0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)。

設(shè)4即，>1），8（X2，>2），則：

①焦點(diǎn)弦長|AB|=玉+々+〃或IAB|=3-（a為A加勺傾斜角）

SHTa

CP22

②%入2=彳，%%=?〃

1-Ir\

③——+——=-.其中HQ叫做焦半徑，|必|=玉+‘

\FA\\FB\p2

④焦點(diǎn)弦長最小值為2N根據(jù)|431=3-可見，當(dāng)a為工時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最

sina2

短，最短值為2p。

拳【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：直線與橢圓的位置關(guān)系

).

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的方程求得其右頂點(diǎn)為A(4,0),上頂點(diǎn)為8(0,3),結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.

【詳解】

由題意,橢圓工+亡=1,可得。=4力=3,則橢圓的右頂點(diǎn)為A(4,0),上頂點(diǎn)為仇0,3),

169

又由直線:+與=1恰好過點(diǎn)A,8,所以直線與橢圓有且僅有2個公共點(diǎn).

43

故選：C.

考點(diǎn)二：橢圓的弦

經(jīng)過橢圓5+r=1的左焦點(diǎn)K作傾斜角為60。的直線/,直線/與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，則線

段AB的長為.

【答案】逑

7

【解析】

【分析】

io4

求出耳(-1,0),直線/的方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理，求出X+X2=-^，再代入弦長公式中，求出

線段A8的長

【詳解】

22

5+y2=l中，a=2fb=\r所以c?=片一〃2=],即。=],故左焦點(diǎn)為耳(一],()),而tan6(T=,故直

線/為：y=6(x+l),聯(lián)立]+V=1得：

2124

lx+12x+4=0，設(shè)A(X1,yJ,B(x2,y2),由韋達(dá)定理得：+x2=,xxx2=—

則由弦長公式得：48=小+⑹?j裁:4?g半

故答案為：晅

7

考點(diǎn)三：橢圓的綜合問題

A已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別是《(-1,0)、6(1,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)m取何值時，直線y=x+%與橢圓C：

①有兩個公共點(diǎn)；

②只有一個公共點(diǎn)；③沒有公共點(diǎn)？

【答案】(1)三+工=1

43

(2)?-V7<m<V7：②m=士不；③m<_幣或m>不

【解析】

【分析】

(1)由題意C=l,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式求解即可.

⑴

設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為捺+卷=l(a>b>0),

C=1

々2=4

由題意可得:.?解得?

±+A=i斤二3

a2b2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1；

43

⑵

y=x+m

聯(lián)立，x?y2消去y得：7x?+8/nr+4,"：!—12=0，

—+—=1

43

則△=64>-4x7x(4"『-12)=336-48/=48(7-療)，

①當(dāng)A〉。，即-近V機(jī)<近時，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根,

所以直線y=x+，"與橢圓C有兩個公共點(diǎn)；

②當(dāng)△=(),即加=±⑺時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

所以直線丫=工+"與橢圓C只有一個公共點(diǎn)；

③當(dāng)4<0,即,或相>/時，方程無實(shí)數(shù)根，

所以直線丫=》+〃?與橢圓C沒有公共點(diǎn)；

綜上，當(dāng)■〈m<近時有兩個公共點(diǎn)；

當(dāng)帆=±五時，有一個公共點(diǎn)；

當(dāng)/或沒有公共點(diǎn).考點(diǎn)四：直線與雙曲線的位置關(guān)系

22

例4.已知雙曲線C：5-方=1（〃>0力>0）的焦距為4，且過點(diǎn)(T2").

(1)求雙曲線方程；

(2)若直線/：y=H+2與雙曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值.

【答案】(1)*2-金=1

3

⑵士5士"

【解析】

【分析】

(1)求出雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)定義求出。，然后求出尻可得雙曲線C的方程.

(2)聯(lián)立直線與雙曲線的方程組，通過消元，利用方程解的個數(shù)，求出。的值即可.

(1)

解：由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),

根據(jù)定義有2。=卜(-3+2>+(2屈-Of-J(-3-2/+(26-0>卜2.

\又/=儲+/?2,所以/=],c2=4?b2=3.

???所求雙曲線C的方程為/-

解：因?yàn)殡p曲線C的方程為犬-m=1,所以漸近線方程為y=±6x；

y=kx+2

由12V,消去y整理得(3-公*-4"-7=0.

x~-=1

3

①當(dāng)3-公=。即左=±若時，此時直線/與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，符合題意;

②當(dāng)3-公HOBIUN土百時，由A=(TZ)2+4X7X(3-公)=0,解得k=土a,

此時直線/雙曲線相切于一個公共點(diǎn)，符合題意.

綜上所述：符合題意的人的所有取值為±6，土幣.

考點(diǎn)五：雙曲線的弦

入、例5?過雙曲線犬-片=1的左焦點(diǎn)尸，作傾斜角為尚的直線/.(I)求證：/與雙曲線有兩個不同的交

由36

點(diǎn)A,B；

⑵求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)和|AB|.

【答案】(1)證明見解析

⑵?陰=3

【解析】

【分析】

(1)由雙曲線方程可得F,進(jìn)而得到/方程；將/與雙曲線聯(lián)立，由A>0可得結(jié)論；

(2)由(1)可得韋達(dá)定理的形式，將如=三產(chǎn)代入/方程即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)；利用弦長公式可求得|AB|.

(1)

由雙曲線方程知：戶(-2,0),則/：y=3(x+2),

x+2)

得：8/-413=0,則△=16-32*(-13)=432>0,

力與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)AB.

⑵

設(shè)A（%，x）,5（々,為），

1

^+X2=~

由（1）得:

13

考點(diǎn)六：雙曲線的綜合問題

例6.已知直線y=or+l與雙曲線3爐-/=1相交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).如果厲_1,而，求

“的值.［答案】±1.

【解析】

【分析】

由礪_L麗得麗■麗=0,設(shè)人（百,兇），5（電,力），則中2+%％=。（*），聯(lián)立直線方程和雙曲線方程得占々

和%+%,代入（*）計(jì)算即可.

【詳解】

將y=ax+1代入方程3/—V=1,整理得，（礦—3卜，+2ox+2=0,

設(shè)交點(diǎn)為A（“X），8（々，%），則由〃-3x0且△>（）得/<6且a?w3,

.2a2

.f+”K，

"OAlOB，OAOB=0>即占々+%%=（。2+1）西々+。（玉+*）+1=°，

即（〃+）總+。｛-總+1=。,

解得。=±1滿足。2<6且。2*3.

故4=±1.

考點(diǎn)七：直線與拋物線的位置關(guān)系

例7.過點(diǎn)M（2,4）作直線/與拋物線丁=8》只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，當(dāng)直線/與工軸平行和過點(diǎn)〃有且僅有?條切線，即可求解.

【詳解】

由題意，拋物線方程寸=8x,點(diǎn)M(2,4)恰好再拋物線丁=上，

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為x=2,此時直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)直線/與x軸平行時，此時直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，滿足題意；

因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，過點(diǎn)M有且僅有一條切線，滿足與拋物線只有一個公共點(diǎn)，

所以與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線只有2條.故選：B.

考點(diǎn)八：拋物線的弦

八c例過拋物線V=?的焦點(diǎn)的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，若弦|A卻=8,則該直線的方程是

【答案】y=±(x-D

【解析】

【分析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)為(1,0),設(shè)直線方程為》="+1，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式求

得f的值，進(jìn)而得到答案.

【詳解】

由題,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(L0),

設(shè)過(1,0)的直線為x=ry+l,A(ax),B(x2,y2),

y2=4x、fX+%=4f

由y,，得：/-40-4=0,則為)2彳，

[x=O+l[乂必=-4

所以同=Vi+r-J(x+y2)2-4yy2=J1+產(chǎn)-Ji6/+16=4(1+/)=8,

所以/=±1,

所以該宜線方程為x=±y+l,即、=±（*-1）,

故答案為：y=±（x-1）

考點(diǎn)九：拋物線的綜合問題

廣勺例9.已知拋物線C：V=-2萬（p>0）的準(zhǔn)線方程為），=3,過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線/與拋物線交

于不同兩點(diǎn)A,B,且|AB|=30.

（1）求拋物線C的方程及焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)：

（2）求的面積（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】（l）/=-12y,焦點(diǎn)尸（0,-3）⑵9而

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)拋物線定義求解即可.

（2）設(shè)出宜線，聯(lián)立直線與拋物線得到韋達(dá)定理，代入弦長公式后求出宜線斜率，再利用點(diǎn)到直線距離得

到三角形的高即可.

（1）

根據(jù)條件，得P=6,.?.拋物線。的方程為V=-i2y,

焦點(diǎn)產(chǎn)（0,-3）.

（2）

根據(jù)題意，直線/的斜率存在，設(shè)為設(shè)4（演,乂），8（々,必），則/的方程為y="-3.

代入拋物線C的方程/=-12y,得V+12心:-36=0，A=I44A:2+144>0,

/.%+x2=-\2k,XjX2=-36.

二|/AB|=y/l+k2-J（-12&『+144=12（1+公）=30,

?」=±等，二直線/的方程為丫=±亞》一3.

33M

又到/的距離為否==丁，

；?AOAB的面積為S=夕AB|.d=9回.

【真題演練】

1.若直線辦+切+4=0和圓r+y=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)P（”,b）的直線與橢圓片+《=1的公共點(diǎn)個數(shù)為

94

()

A.0B.1

C.2D.需根據(jù)a,6的取值來確定

【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系，得到/+廿＜4,進(jìn)而結(jié)合圓/+/=4和橢圓的位置關(guān)系，即可求

得答案.

【詳解】

因?yàn)橹本€6+分+4=0和圓V+y2=4沒有公共點(diǎn),

4

所以原點(diǎn)到直線ax+by+4=0的距離"=＞2＜即/+/＜4，

所以點(diǎn)尸（a，b）是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，

又因?yàn)闄E圓三+.=1，可得。'=3/=2,

94

所以圓/+丁=4內(nèi)切于橢圓，所以點(diǎn)尸（。力）在橢圓的內(nèi)部,

所以過點(diǎn)尸S力）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)為2.

故選：C.

22

2.點(diǎn)尸是橢圓￡+方=1（〃＞方＞0）的一個焦點(diǎn)，PQ是過橢圓中心。的一條弦，貝IJ△PQF的面積的最大值

是（其中c=后彳）（）

A.-abB.abC.acD.be

2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用橢圓的對稱性及范圍即得.

【詳解】

由橢圓的對稱性可知尸、。關(guān)于原點(diǎn)對稱,

所以S^PQF=2S&WF=Cly/,

故當(dāng)1ypi=人時，的面積最大，最大值為6c.

故選：D.

3.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，。是直線尸F(xiàn)與C的一個交點(diǎn)，若麗=3苑,

則|。尸卜()A.yB.2C.|D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意解出。點(diǎn)橫坐標(biāo)，由拋物線的定義求解

【詳解】

F(2,0),設(shè)P(-2,f),

2

FP=3>FQ,則-4=3(x0-2),得飛=葭

9Q

由拋物線定義得|Qq=：+2=]

故選：D

4.已知拋物線C:y?=4x的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)F的直線與C交于MN兩點(diǎn)，若|MN|=10,則線段MN的中

點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

由橢圓定義及其組成的直角梯形的幾何特征，得到線段MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,再減去準(zhǔn)線到y(tǒng)軸的距離,

即可得到結(jié)果

【詳解】

MN中點(diǎn)為O,MAMB,0c分別垂直準(zhǔn)線于A,B,C,CD交V

軸于E,易得CO為直角梯形ABNM的中位線，則

由橢圓定義易得，MA+MB=MN=1Q,:.CD=5,又準(zhǔn)線為x=-l,.?.C￡=1,

故線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離DE=CD-CE=4,

故選：C

5.已知直線《：4x+3y-6=0和直線乙：x=1,拋物線丁=_4x上一動點(diǎn)P到直線/,和直線的距離之和的最

小值是（）

c37

A.2B.3C.—D.—

516

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.

【詳解】

拋物線/=-4x的焦點(diǎn)為尸（TO）,準(zhǔn)線方程為x=l,

即直線4是拋物線J2=-4x的準(zhǔn)線.

2

拋物線y=-4X上一動點(diǎn)P到直線《和直線12的距離之和，也即是P到直線12與焦點(diǎn)的距離之和，

最小值為尸（一1,0）到直線4：4x+3y-6=0的月巨離，即t^l=2.

故選：A

（多選題）6.已知點(diǎn)P是雙曲線E:工-￡=1的右支第一象限上的一點(diǎn)，不用為雙曲線E的左、右焦點(diǎn),

169

△P66的面積為20,則下列說法正確的是（）

4

A.雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上B.雙曲線E的離心率為二

20

C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4D.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為與

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由雙曲線的性質(zhì)判斷AB,由三角形面積公式結(jié)合雙曲線方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而判斷CD.

【詳解】由題意可知a=4