2014新課標-函數(shù)的基本性質(zhì)-4離散型隨機變量的分布列

隨機變量的分布列【考點系統(tǒng)歸納】離散型隨機變量——如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量.離散型隨機變量的概率分布（離散型隨機變量的分布列）XP離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：.離散型隨機變量的期望與方差：……為…，則有…，…，所以(2)對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望．4.幾種分布列：二點分布：X10P其中，則稱離散型隨機變量的X服從參數(shù)為的二點分布.舉例：籃球運動員在比賽中每次罰球命中得一分，不中得0分.已知某籃球運動員罰球命中得概率為0.8，則他罰球一次的得分的分布列為隨機變量X服從參數(shù)的二項分布.二點分布的期望與方差：期望,方差.(2).超幾何分布：設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n≤N)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率P(X＝m)＝eq\f(CMmCN－Mn－m,CNn)(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個)，稱這種離散型隨機變量的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布．超幾何分布給出了求解這類問題的方法，可以當(dāng)公式直接運用求解．超幾何分布的期望：（3）.二項分布：如下：X…………由于恰好是二項展開式中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作，其中，為參數(shù)，并記＝．…二項分布的期望與方差：若，則正態(tài)分布：正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式：正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在x軸的上方，并且關(guān)于對稱；曲線在處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸,呈現(xiàn)“中間，兩邊”的形狀；曲線的形狀由參數(shù)確定，越大，曲線越“”，越小，曲線越“”.【典型例題精講】求離散型隨機變量的分布列的步驟：要確定隨機變量的可能取值有哪些.明確每個值所表示的意義.分清概率類型，計算取得每一個值時的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣）.列表，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.【例1】（2010年高考上海市理科6）隨機變量的概率分布率由下圖給出：則隨機變量的均值是【例2】.(2010年全國高考寧夏卷6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（A）100（B）200（C）300（D）400【例3】（上海理9）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案.【例4】（浙江理15）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙丙公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的。記X為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望【例5】（湖北理5）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且Ｐ（＜4）＝，則Ｐ（0＜＜2）＝ Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2【例6】（天津理16）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例7】某公司通過三次測試來聘用職員，一旦某次測試就聘用，否則就已知測試到第三次為止.設(shè)每位職員每次通過測試的概率依次為.（Ⅰ）求某職員能聘用的概率；(Ⅱ)當(dāng)為多少時，4位職員中恰有2人被聘用的概率最大，求4位職員中被聘用人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例8】【20122012海淀模擬】為了加強大學(xué)生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學(xué)改革，交于部門主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽，該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽的方式確定出場順序，通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊伍參加比賽。求決賽中甲，乙兩支隊伍恰好排在前兩個位置的概率。若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望?！纠?】【2012東營一模】某學(xué)校為調(diào)查了解學(xué)生體能狀況，決定對高三學(xué)生進行一次體育達標測試，具體測試項目有100米跑、立定跳遠、擲實心球.測試規(guī)定如下：①三個測試項目中有兩項測試成績合格即可認定為體育達標；②測試時要求考生先從三個項目中隨機抽取兩個進行測試，若抽取的兩個項目測試都合格或都不合格時，不再參加第三個項目的測試；若抽取的兩個項目只有一項合格，則必須參加第三項測試.已知甲同學(xué)跑、跳、擲三個項目測試合格的概率分別是、、，各項測試時間間隔恰當(dāng)，每次測試互不影響.（Ⅰ）求甲同學(xué)恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率；（Ⅱ）求甲同學(xué)經(jīng)過兩個項目測試就能達標的概率；（Ⅲ）若甲按規(guī)定完成測試，參加測試項目個數(shù)為，求的分布列和期望.【例10】【2012煙臺一?！吭谝淮螖?shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為.（1）求其中甲、乙二名學(xué)生選做同一道題的概率；（2）設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【例11】（2012湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（Ⅰ）求當(dāng)天商品不進貨的概率；（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型?！纠?2】（山東理18）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。（Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例13】（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；【典型例題】參考答案【例1】（2010年高考上海市理科6）【答案】8.2【例2】.(2010年全國高考寧夏卷6）【答案】B解析：根據(jù)題意顯然有，所以，故【例3】【答案】2【例4】【答案】【例5】（湖北理5）【答案】C【例6】（天津理16）解析：（I）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則（ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列是X012PX的數(shù)學(xué)期望【例7】解析：(Ⅰ)某職員被聘用的概率為.(Ⅱ)若4位職員中恰有2人被聘用的概率由于當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，解得.4為職員中被聘用人數(shù)的取值為0、1、2、3，01234由于服從二項分布，所以=2.【點評】此題巧妙在第二問中涉及到的最值問題.把概率問題和函數(shù)最值問題聯(lián)系到一起.利用了均值不等式求最值，確定P的值.【例8】【20122012海淀模擬】.隨機變量的分布列為：因為，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.【例9】【2012東營一?！俊纠?0】【2012煙臺一?！拷馕觯海?）設(shè)事件表示“甲選做第21題”，事件表示“乙選做第21題”，則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”，且事件、相互獨立∴=.（2）隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4，且～.∴∴變量的分布表為：01234【例11】（2012湖南理18）解析：（I）（“當(dāng)天商品不進貨”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（Ⅱ）由題意知，的可能取值為2,3.（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為【例12】（山東理18）解析：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果