新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第50講 排列與組合（含解析）

第50講排列與組合（精講）題型目錄一覽①兩個(gè)計(jì)數(shù)原理②排列問題③組合問題④排列組合綜合問題一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法二、排列與排列數(shù)1.定義：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素排成一列，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)排列．從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)SKIPIF1<0表示．2.排列數(shù)的公式：SKIPIF1<0．特例：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；規(guī)定：SKIPIF1<0．3.排列數(shù)的性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．4.解排列應(yīng)用題的基本思路：通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，SKIPIF1<0常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用SKIPIF1<0．三、組合與組合數(shù)1.定義：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素并成一組，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)組合．從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)SKIPIF1<0表示．2.組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的組合數(shù)SKIPIF1<0；第二步，求每一個(gè)組合中SKIPIF1<0個(gè)元素的全排列數(shù)SKIPIF1<0；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到SKIPIF1<0；因此SKIPIF1<0．這里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以組合數(shù)公式還可表示為：SKIPIF1<0．特例：SKIPIF1<0．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式SKIPIF1<0常用于具體數(shù)字計(jì)算，SKIPIF1<0常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明．3.組合數(shù)的主要性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【常用結(jié)論】①排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．②解決排列組合綜合問題的一般過程（1）認(rèn)真審題，確定要做什么事；（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．③數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．④定位、定元的排列問題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理策略方法利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問題的步驟【典例1】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【分析】解法一二：利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.解法三：考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想解決．【詳解】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有SKIPIF1<0個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有SKIPIF1<0個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有SKIPIF1<0個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分析可知，每個(gè)人都有三種選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，每個(gè)人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：B.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．中國(guó)人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導(dǎo)和指揮江蘇?浙江?上海?安徽?福建?江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達(dá)命令，要求從江西或福建派出一架偵察機(jī)對(duì)臺(tái)?？沼蜻M(jìn)行偵查，已知江西有SKIPIF1<0架偵察機(jī)，福建有SKIPIF1<0架偵察機(jī)，則不同的分派方案共有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的分派方案共有SKIPIF1<0種.故選：A.2．某商店共有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是SKIPIF1<0品牌，乙買的不是SKIPIF1<0品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有SKIPIF1<0（種）．故選：C3．用1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】先從4個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在百位，有4種；然后從剩下的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在十位，有3種；最后從剩下的2個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在個(gè)位，有2種；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.4．高二1、2、3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為：1、3、3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數(shù)為（

）A．12 B．15 C．20 D．21【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，選中高二1班的同學(xué)有SKIPIF1<0種方法，高二1班的同學(xué)沒選中有SKIPIF1<0，所以2人來自不同班的選法種數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B5．如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息（

）

A．26 B．24 C．20 D．19【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形得出從A到B傳播路徑有4條，寫出每條途徑傳播的最大信息量，再求和，即得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，從A到B傳播路徑有4條，如圖所示；

途徑①傳播的最大信息量為3，途徑②傳播的最大信息量為4；途徑③傳播的最大信息量為6，途徑④傳播的最大信息量為6；所以從A向B傳遞信息，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為SKIPIF1<0，故選：D．6．若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【分析】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，然后利用分步乘法原理求解即可【詳解】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報(bào)名方式有SKIPIF1<0種，故選：C7．三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．27【答案】B【分析】平面是向四周無限延展的.可分兩步進(jìn)行空間直觀想象，先由三個(gè)側(cè)面分空間，再由棱柱的兩平行底面分空間，即可解決問題.【詳解】三棱柱的三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱的兩個(gè)底面將空間分成3部分．故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故選：B．8．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有SKIPIF1<0（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有SKIPIF1<0（個(gè)）.故選：D9．360的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．42【答案】A【分析】根據(jù)質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以360有SKIPIF1<0個(gè)不同的正因數(shù)．故選：A10．集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，5，6，SKIPIF1<0，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分為SKIPIF1<0集合提供橫坐標(biāo)，SKIPIF1<0集合提供縱坐標(biāo)和SKIPIF1<0集合提供縱坐標(biāo)，SKIPIF1<0集合提供橫坐標(biāo)兩種情形討論即可.【詳解】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若SKIPIF1<0集合提供橫坐標(biāo)，SKIPIF1<0集合提供縱坐標(biāo)，則有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0集合提供縱坐標(biāo)，SKIPIF1<0集合提供橫坐標(biāo)，則有SKIPIF1<0，合計(jì)SKIPIF1<0，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.題型二排列問題策略方法求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法【典例1】計(jì)算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)348；(2)64.【分析】（1）（2）利用排列數(shù)公式直接計(jì)算作答.【詳解】（1）SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.【典例2】電影《長(zhǎng)津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？【答案】(1)720種(2)1440種(3)960種．【分析】（1）根據(jù)題意，由捆綁法，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由插空法，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法，插空法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，先將3個(gè)女生排在一起，有SKIPIF1<0種排法，將排好的女生視為一個(gè)整體，與4個(gè)男生進(jìn)行排列，共有SKIPIF1<0種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有SKIPIF1<0種排法；（2）根據(jù)題意，先將4個(gè)男生排好，有SKIPIF1<0種排法，再在這4個(gè)男生之間及兩頭的5個(gè)空位中插入3個(gè)女生有SKIPIF1<0種方法，故符合條件的排法共有SKIPIF1<0種；（3）根據(jù)題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有SKIPIF1<0種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有SKIPIF1<0種排法，最后把排好的甲、乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空擋中有SKIPIF1<0種排法，故符合條件的排法共有SKIPIF1<0種．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．計(jì)算：SKIPIF1<0（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D2．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】C【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計(jì)算求解.【詳解】由于A，B相鄰，所以先將A,B看作一個(gè)整體捆綁起來與E,F進(jìn)行全排列，然后將C，D插入到已排好隊(duì)的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，故共有SKIPIF1<0,故選：C3．下列計(jì)算結(jié)果為28的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式，一一計(jì)算各選項(xiàng)中的數(shù)值，即得答案.【詳解】SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，D正確，故選：D4．某一天的課程要排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、政治、體育、生物共七門課各一節(jié)，若物理不排第一節(jié)，則排法總數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先考慮第一節(jié)課的排課，有六種選擇，剩余六節(jié)課隨便排，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若物理不排第一節(jié)，則第一節(jié)可以排語文、數(shù)學(xué)、英語、政治、體育、生物六門課中的一門，剩余六門課隨便排，所以，不同的排法種數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.5．貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺(tái)江縣臺(tái)盤村開賽.該聯(lián)賽由臺(tái)盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展演變而來，被網(wǎng)友稱為“村BA”.村BA給全國(guó)人民展現(xiàn)的不僅是貴州人熱愛生活的精神，更展現(xiàn)了如今欣欣向榮的貴州山水人文，同時(shí)給貴州的旅游帶來巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大區(qū)賽總決賽落下帷幕，為慶祝比賽順利結(jié)束，主辦方設(shè)置一場(chǎng)扣籃表演，分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊(duì)每隊(duì)各選出2名球員參加扣籃表演，貴州隊(duì)作為東道主，扣籃表演必須在第一位及最后一位，那么一共有（

）種表演順序.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先確定貴州兩名球員的順序，再確定其余6人的表演順序即可.【詳解】由題意易知，一共有8個(gè)人需要排列.先確定貴州兩名球員的順序?yàn)镾KIPIF1<0，在確定其余6人順序?yàn)镾KIPIF1<0，由分步乘法原理可得一共有SKIPIF1<0種順序.故選：C.6．品牌電商服務(wù)商是指專門為品牌方提供包括運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)等內(nèi)容的綜合電子商務(wù)服務(wù)的商家．某品牌方準(zhǔn)備與甲、乙、丙3家服務(wù)商進(jìn)行合作，為此對(duì)這3家服務(wù)商的運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)這5項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行考察，并根據(jù)考察結(jié)果對(duì)每項(xiàng)內(nèi)容按照從優(yōu)到劣分為A，B，C3個(gè)等級(jí)，則甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為（

）A．3125 B．360 C．256 D．30【答案】A【分析】先根據(jù)排列組合列舉出一項(xiàng)符合題意的種數(shù)，再得出這5項(xiàng)所有可能情況的種數(shù)．【詳解】每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）有ABB，ABC，ACB，ACC，BCC，共5種．所以甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為SKIPIF1<0.故選：A．7．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【答案】D【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個(gè)空位上，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個(gè)空位上，故共有SKIPIF1<0種不同的排法，故選：D8．已知SKIPIF1<0，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合x的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或6，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A.9．用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則第85個(gè)數(shù)字為（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計(jì)算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個(gè)數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有SKIPIF1<0個(gè)，前兩位為20的有SKIPIF1<0個(gè)，前兩位為21的有SKIPIF1<0個(gè)，所以第85個(gè)數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A.10．不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0.故選：D.11．用數(shù)字1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)和偶數(shù)互不相鄰的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】B【分析】利用插空法結(jié)合加法原理即可求解.【詳解】先排SKIPIF1<0，形成三個(gè)空位，然后將SKIPIF1<0排入前兩個(gè)空位或者后兩個(gè)空位，所以符合題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.12．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種【答案】D【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有SKIPIF1<0種，再與丙和丁外的兩人排列有SKIPIF1<0種，再排丙和丁有SKIPIF1<0種，故共有SKIPIF1<0種排法.故選：D.13．“繽紛藝術(shù)節(jié)”是西大附中的一個(gè)特色，學(xué)生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個(gè)節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進(jìn)入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對(duì)這五個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序進(jìn)行排序，其中甲不能第一個(gè)出場(chǎng)，乙不能第三個(gè)出場(chǎng)，則一共有（

）種不同的出場(chǎng)順序.A．72 B．78 C．96 D．120【答案】B【分析】討論甲在第三出場(chǎng)、不在第一、三出場(chǎng)，結(jié)合排列和計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】當(dāng)甲在第三出場(chǎng)時(shí)，乙?丙?丁?戊全排列，共有SKIPIF1<0種；當(dāng)甲不在第一、三出場(chǎng)時(shí)，共有SKIPIF1<0種；故共有SKIPIF1<0種不同的出場(chǎng)順序.故選：B14．用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列則第85個(gè)數(shù)字為（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計(jì)算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個(gè)數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有SKIPIF1<0個(gè)，前兩位為20的有SKIPIF1<0個(gè)，前兩位為21的有SKIPIF1<0個(gè)，所以第85個(gè)數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A15．今年8月份貴州村籃球總決賽期間，在某場(chǎng)比賽的三個(gè)地點(diǎn)需要志愿者服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每個(gè)地點(diǎn)僅需1名志愿者，每人至多在一個(gè)地點(diǎn)服務(wù)，若甲不能到第一個(gè)地點(diǎn)服務(wù)，則不同的安排方法共有（

）A．18 B．24 C．32 D．64【答案】A【分析】根據(jù)安排的人中有沒有甲進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】若安排的人中沒有甲，安排方法有SKIPIF1<0種，若安排的人中有甲，則先安排甲，然后再選兩人來安排，則安排的方法有SKIPIF1<0種，所以總的方法數(shù)有SKIPIF1<0種.故選：A16．2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分SKIPIF1<0戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】分別計(jì)算丙站在左端時(shí)和丙不站在左端時(shí)的情況，即可得到答案.【詳解】當(dāng)丙站在左端時(shí)，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有SKIPIF1<0種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有SKIPIF1<0種站法，所以一共有SKIPIF1<0種不同的站法．故選：C17．回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種，用回文形式寫成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家酒樓叫“天然居”，一次乾隆路過這家酒樓，稱贊樓名的高雅，遂以樓名為題作對(duì)聯(lián)，上聯(lián)是：“客上天然居，居然天上客”.紀(jì)曉嵐對(duì)曰：“人過大佛寺，寺佛大過人”，乾隆微笑頷首，后“天然居”以此為門聯(lián)，遂聲名大噪.在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為：“回文數(shù)”.如66，787，4334等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．56個(gè) B．64個(gè) C．81個(gè) D．90個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)回文數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合排列的定義分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有9種情況，即此時(shí)有9個(gè)4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，有SKIPIF1<0種情況，即此時(shí)有72個(gè)4位“回文數(shù)”，則一共有SKIPIF1<0個(gè)4位“回文數(shù)”，故選：C二、多選題18．(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0【答案】CD【分析】可用直接法先排第一位數(shù)字，再排后三位；也可用間接法先進(jìn)行全排列，再排除首位是SKIPIF1<0的情況.【詳解】(直接法)先排第一位，有SKIPIF1<0種方法，再排后三位有SKIPIF1<0種方法，所以共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0種排法；(間接法)先進(jìn)行全排列共有SKIPIF1<0種排法，首位是SKIPIF1<0的排法為SKIPIF1<0,所以共有SKIPIF1<0－SKIPIF1<0排法，故選：SKIPIF1<019．5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．84 D．SKIPIF1<0【答案】AB【分析】利用不相鄰問題插空法，或用全排列減去甲乙相鄰的排法.【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共SKIPIF1<0種不同的排法，再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個(gè)空中選2個(gè)插入共SKIPIF1<0種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，不同的排法種數(shù)是SKIPIF1<0；5人并排站成一行有SKIPIF1<0種不同的排法，若甲、乙兩個(gè)人相鄰，利用捆綁法，有SKIPIF1<0種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是SKIPIF1<0.故選：AB．20．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)行安排，則下列說法正確的是（

）A．若3個(gè)女生不相鄰，則有144種不同的出場(chǎng)順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場(chǎng)順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場(chǎng)順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，共有72種不同的出場(chǎng)順序【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個(gè)空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項(xiàng)B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結(jié)合4男3女的全排列求解即可；選項(xiàng)C先將4位男生捆綁作為一個(gè)整體進(jìn)行全排列，然后3位女生和這個(gè)整體全排列可得；選項(xiàng)D采用“插空法”，分兩次插入老師節(jié)目即可.【詳解】若3個(gè)女生不相鄰，則有SKIPIF1<0種不同的出場(chǎng)順序，A錯(cuò)誤；若女生甲在女生乙的前面，則有SKIPIF1<0種不同的出場(chǎng)順序，B正確；若4位男生相鄰，則有SKIPIF1<0種不同的出場(chǎng)順序，C正確；若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目形成8個(gè)空，插入1個(gè)教師節(jié)目，有8種情況；第二步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個(gè)教師節(jié)目形成9個(gè)空，再插入1個(gè)教師節(jié)目，有9種情況，所以這兩位教師共有SKIPIF1<0種不同的出場(chǎng)順序，D正確.故選：BCD.21．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，采用插空法進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，分兩種情況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項(xiàng)，使用捆綁法進(jìn)行求解；【詳解】對(duì)于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有SKIPIF1<0種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，先安排丙，丁，戊三人，有SKIPIF1<0種情況，再將甲乙兩人插空，則有SKIPIF1<0種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為SKIPIF1<0種情況，故B正確；對(duì)于C，若最左端排乙，此時(shí)其余四人可進(jìn)行全排列，故有SKIPIF1<0種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有SKIPIF1<0種情況，則共有SKIPIF1<0種站法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將甲與乙捆綁，看做一個(gè)整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有SKIPIF1<0種，故D正確；故選：BD三、填空題22．品牌電商服務(wù)商是指專門為品牌方提供電子商務(wù)服務(wù)的商家，其中包括運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)等內(nèi)容．某品牌方準(zhǔn)備與甲、乙、丙3家服務(wù)商進(jìn)行合作，為此對(duì)這3家服務(wù)商的運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)進(jìn)行考察，并根據(jù)考察結(jié)果對(duì)每項(xiàng)內(nèi)容按照從優(yōu)到劣分為SKIPIF1<03個(gè)等級(jí)，則甲服務(wù)商的5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為．【答案】3125【分析】先列出每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況，再計(jì)算即可.【詳解】每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）有:SKIPIF1<0，共5種．所以甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為:SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<023．一排6個(gè)座位坐了2個(gè)三口之家，若同一家人座位相鄰，則不同的坐法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】72【分析】根據(jù)題意可將6個(gè)座位分成兩組，再將同一個(gè)家庭的3個(gè)成員相鄰排列即可求得答案.【詳解】由題可知，同一家人座位相鄰，將6個(gè)座位分成兩組，每組3個(gè)座位，同一家人相鄰的不同坐法種數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：7224．夏老師要進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測(cè)量等五個(gè)項(xiàng)目，為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起檢查，則不同的檢查方案一共有種.【答案】12【分析】先將心電圖、血壓測(cè)量?jī)身?xiàng)全排列，再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中，最后將抽血放在第一位即可.【詳解】解：由題意得：將心電圖、血壓測(cè)量?jī)身?xiàng)全排列，有SKIPIF1<0種情況，再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中，有SKIPIF1<0種情況最后將抽血放在第一位，有1種情況，所以共有SKIPIF1<0種情況，故答案為：1225．某同學(xué)將英文單詞“million”中字母的順序記錯(cuò)了，那么他在書寫該單詞時(shí)，寫錯(cuò)的情況有種（用數(shù)字作答）．【答案】1259【分析】million有7個(gè)字母，進(jìn)行全排列SKIPIF1<0，因?yàn)橛袃蓚€(gè)i，兩個(gè)l重復(fù)，總數(shù)要除以SKIPIF1<0，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤再減去1種正確的，因此得解．【詳解】英文單詞“million”中字母的順序記錯(cuò)了，因?yàn)橛袃蓚€(gè)i，兩個(gè)l重復(fù)，那么他在書寫該單詞時(shí)，共有SKIPIF1<0種可能，而正確的拼寫只有1種，故寫錯(cuò)的情況有1259種.故答案為：125926．從甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.【答案】54【分析】根據(jù)排列數(shù)利用間接法，在總體中排除沒有甲、乙的參賽方案.【詳解】若甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，共有SKIPIF1<0種不同參賽方案，若沒有甲?乙入選的不同參賽方案共有SKIPIF1<0種，所以甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有SKIPIF1<0種.故答案為：54.27．五聲音階是中國(guó)古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國(guó)古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數(shù)是．【答案】84【分析】先考慮所有情況，再減去不滿足的情況即可.【詳解】先考慮五個(gè)音階任意排列，有SKIPIF1<0種情況，再減去宮、角、羽三音階都相鄰的情況，把宮、角、羽三音階看做一個(gè)一個(gè)整體，則一共變成3個(gè)元素，有SKIPIF1<0種情況，而宮、角、羽三音階又可以任意排列，有SKIPIF1<0種情況，所以一共的音序有SKIPIF1<0種，故答案為：84題型三組合問題策略方法組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x?。?2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解．【典例1】計(jì)算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)455(2)21(3)19900【分析】由組合數(shù)計(jì)算公式可得答案.【詳解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【典例2】男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽.(1)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有多少種選派方法?(2)參賽的運(yùn)動(dòng)員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運(yùn)動(dòng)員)，有多少種安排方式?【答案】(1)196(2)7560【分析】（1）求出隨機(jī)選擇和沒有隊(duì)長(zhǎng)的情況，即可求出隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加時(shí)選派方法的數(shù)量；（2）求出隨機(jī)選擇人數(shù)，SKIPIF1<0人隨機(jī)坐和SKIPIF1<0人坐同一個(gè)車中的情況，即可求出運(yùn)動(dòng)員分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運(yùn)動(dòng)員)時(shí)安排方式的數(shù)量.【詳解】（1）由題意，男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.選派5人，若沒有隊(duì)長(zhǎng)，則有SKIPIF1<0種選派方法，若隨機(jī)選擇，則有SKIPIF1<0種選派方法，∴隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有SKIPIF1<0種方法.（2）由題意，男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，選派5人外出參加比賽，分坐在兩輛車，∴選擇的人是隨機(jī)的，有SKIPIF1<0種情況，若SKIPIF1<0人坐同一個(gè)車中，有SKIPIF1<0種情況，若SKIPIF1<0人隨機(jī)坐，有SKIPIF1<0種情況，∴從SKIPIF1<0人中選5人，且坐在SKIPIF1<0輛不同的車中，有SKIPIF1<0種情況.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．SKIPIF1<0（

）A．35 B．56 C．70 D．84【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，再應(yīng)用組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故選：A.2．某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．35 D．42【答案】B【分析】由甲有兩個(gè)人參加會(huì)議需要分兩類，含有甲的選法、不含有甲的選法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】由于甲有兩個(gè)人參加會(huì)議需要分兩類：含有甲的選法有SKIPIF1<0種，不含有甲的選法有SKIPIF1<0種，共有SKIPIF1<0種.故選：B3．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．90 B．42 C．12 D．10【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出SKIPIF1<0即可.【詳解】根據(jù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0﹒故選：A﹒4．現(xiàn)有紅色、黃色、藍(lán)色的小球各4個(gè)，每個(gè)小球上都標(biāo)有不同的編號(hào).從中任取3個(gè)小球，若這3個(gè)小球顏色不全相同，且至少有一個(gè)紅色小球，不同取法有（

）A．160種 B．220種 C．256種 D．472種【答案】A【分析】分取出的球中有1個(gè)紅球、取出的球中有2個(gè)紅球兩種情況計(jì)算即可.【詳解】若取出的球中有1個(gè)紅球，不同的取法有SKIPIF1<0種；若取出的球中有2個(gè)紅球，不同的取法有SKIPIF1<0種.故不同取法有SKIPIF1<0種.故選：A.5．5名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館且所有同學(xué)都被安排完，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】D【分析】先分組，再分配，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】第一步：將5個(gè)同學(xué)分為4組，即2,1,1,1，共有SKIPIF1<0種分法，第二步：將4組分配給4個(gè)場(chǎng)館，共有SKIPIF1<0種分法，所以共有SKIPIF1<0種.故選：D.6．為了弘揚(yáng)古詩(shī)文化，積累古詩(shī)詞，某小學(xué)舉行古詩(shī)詞背誦比賽，其中五年級(jí)有6個(gè)班，前3個(gè)班每個(gè)班有50名學(xué)生，后3個(gè)班每個(gè)班有55名學(xué)生．現(xiàn)從每個(gè)班隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加比賽，則不同的抽取方法種數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的計(jì)算，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】從50名學(xué)生中抽取3人，有SKIPIF1<0種不同的抽取方法，從55名學(xué)生中抽取3人，有SKIPIF1<0種不同的抽取方法．因?yàn)榍?個(gè)班每個(gè)班有50名學(xué)生，后3個(gè)班每個(gè)班有55名學(xué)生，所以參加比賽的學(xué)生的抽取方法種數(shù)是SKIPIF1<0．故選:C．7．第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)在2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目以及滑板等5個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別承擔(dān)競(jìng)賽項(xiàng)目與表演項(xiàng)目比賽，其中電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)項(xiàng)目?jī)H能SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地承辦，且各自承辦其中一項(xiàng).5個(gè)表演項(xiàng)目分別由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個(gè)場(chǎng)地承辦，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（

）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)的計(jì)數(shù)方法，結(jié)合分類分步兩個(gè)基本原理求解即可得的答案.【詳解】首先電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)項(xiàng)目?jī)H能SKIPIF1<0兩地舉辦，且各自承辦其中一項(xiàng)有SKIPIF1<0種安排；再次5個(gè)表演項(xiàng)目分別由SKIPIF1<0三個(gè)場(chǎng)地承辦，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目則有SKIPIF1<0種，故總數(shù)為SKIPIF1<0種不同的安排方法.故選：B.8．編號(hào)分別為SKIPIF1<0的10名運(yùn)動(dòng)員，要均分成兩個(gè)小組進(jìn)行5人制足球訓(xùn)練（小組沒有區(qū)別），其中1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員必須組合在一起，3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員也必須組合在一起，其余運(yùn)動(dòng)員可以隨意搭配，則不同的分組方式共有（

）A．20種 B．26種 C．46種 D．52種【答案】B【分析】根據(jù)1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員與3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員在同一組和不在同一組分類討論.【詳解】1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員與3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員在同一組，則還需選一人，有SKIPIF1<0種分組情況；1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員與3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員不在同一組，只需1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員所在小組再選3人即可，有SKIPIF1<0種分組情況，所以一共26中不同的分組方式.故選：B9．某研究機(jī)構(gòu)采訪了“一帶一路”沿線20國(guó)的青年，讓他們用一個(gè)關(guān)鍵詞表達(dá)對(duì)中國(guó)的印象，使用頻率前12的關(guān)鍵詞為：高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車、一帶一路、無人機(jī)、大熊貓、廣場(chǎng)舞、中華美食、長(zhǎng)城、京劇、美麗鄉(xiāng)村，其中使用頻率排前四的關(guān)鍵詞“高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明．從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇4個(gè)不同的關(guān)鍵詞，則至多包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為（

）A．491 B．462 C．392 D．270【答案】B【分析】分類求出不包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)、包含1個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)、包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可得答案.【詳解】從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇4個(gè)不同的關(guān)鍵詞，不包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)有SKIPIF1<0種；包含1個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)有SKIPIF1<0種；包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)有SKIPIF1<0種；故至多包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：B10．四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)．在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法種數(shù)為（

）A．141 B．144 C．150 D．155【答案】A【分析】求出從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的取法，減去不合題意的結(jié)果可得答案．【詳解】從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有SKIPIF1<0種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類．第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有SKIPIF1<0種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱所對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4頂點(diǎn)共面，有3種．以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，∴不同的取法共有SKIPIF1<0種．故選：A．11．某高中安排6名同學(xué)（不同姓）到甲、乙、丙3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，若每名同學(xué)只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，其中張同學(xué)不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．90 B．360 C．240 D．180【答案】B【分析】分張同學(xué)單獨(dú)一組和其他同學(xué)一組兩種情況，先排張同學(xué)，然后對(duì)其他5人進(jìn)行分組分配即可.【詳解】（1）張同學(xué)單獨(dú)一組：由于張同學(xué)不去乙小區(qū)，所以先排張同學(xué)共有SKIPIF1<0種，再將其余5人分成兩組共有SKIPIF1<0中，分配到另外兩個(gè)小區(qū)共有SKIPIF1<0，所以此類情況共有SKIPIF1<0種；（2）張同學(xué)與其他同學(xué)一組：先安排張同學(xué)共有SKIPIF1<0種，然后將其余5人分成三組共有SKIPIF1<0種，再將三組分配到三個(gè)小區(qū)共SKIPIF1<0種，所以此類情況共有SKIPIF1<0種.綜上，不同的分配方案共有SKIPIF1<0種.故選：B12．為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)SKIPIF1<0三門勞動(dòng)教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報(bào)名參加該校勞動(dòng)教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有（

）A．60種 B．150種 C．180種 D．300種【答案】B【分析】對(duì)五位同學(xué)分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理求解即可．【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選SKIPIF1<0三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時(shí)有SKIPIF1<0種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時(shí)有SKIPIF1<0種.所以不同的報(bào)名方法共有60＋90＝150種．故選：B．13．20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．720種【答案】A【分析】應(yīng)用“隔板法”即可求解.【詳解】先在編2號(hào),3號(hào)的盒內(nèi)分別放入1個(gè)球和2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，三個(gè)盒內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)，將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，插入2塊隔板分為三堆放入三個(gè)盒中即可，共有SKIPIF1<0（種）方法．故選:A.14．將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有（

）A．240種 B．180種C．150種 D．540種【答案】C【分析】每所大學(xué)至少保送一人，可以分類來解，把5名學(xué)生分成2：2：1三組或3：1：1三組兩種情況，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】把5名學(xué)生分成2：2：1三組或3：1：1三組兩種情況，當(dāng)5名學(xué)生分成2：2：1三組時(shí)，共有SKIPIF1<0種結(jié)果，當(dāng)5名學(xué)生分成3：1：1三組時(shí)，共有SKIPIF1<0種結(jié)果，SKIPIF1<0根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有SKIPIF1<0種.故選：C．二、多選題15．某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4個(gè)參加社會(huì)公益活動(dòng)，若選出的4人中既有男生又有女生，則（

）A．若選1男3女，有4種選法 B．若選2男2女，有18種選法C．若選3男1女，有12種選法 D．共有36種不同的選法【答案】ABC【分析】根據(jù)組合數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若選1男3女，選法數(shù)有SKIPIF1<0種選法，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若選2男2女，選法數(shù)有SKIPIF1<0種選法，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若選3男1女，選法數(shù)有SKIPIF1<0種選法，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，總的選法數(shù)有SKIPIF1<0種，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC16．下列各式正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】利用組合數(shù)公式及性質(zhì)計(jì)算判斷判斷ABC；利用二項(xiàng)式定理判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0，D正確.故選：CD17．從七個(gè)組合數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中任取三個(gè)組合數(shù)，則（

）A．三個(gè)組合數(shù)中含有最大的組合數(shù)的取法有SKIPIF1<0種B．三個(gè)組合數(shù)中含有最小的組合數(shù)的取法有SKIPIF1<0種C．三個(gè)組合數(shù)中同時(shí)含有最大與最小的組合數(shù)的取法有SKIPIF1<0種D．三個(gè)組合數(shù)中有相等的組合數(shù)的取法有SKIPIF1<0種【答案】ABD【分析】根據(jù)直接法結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算判斷AD，根據(jù)間接法結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算判斷B，根據(jù)加法原理和組合運(yùn)算判斷C.【詳解】七個(gè)組合數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最大的組合數(shù)為SKIPIF1<0，最小的組合數(shù)為SKIPIF1<0，相等的組合數(shù)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于A，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)，含有最大的組合數(shù)SKIPIF1<0的取法有SKIPIF1<0種結(jié)果，正確；對(duì)于B，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)，含有最小的組合數(shù)SKIPIF1<0的取法有SKIPIF1<0種結(jié)果，正確；對(duì)于C，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)，同時(shí)含有最大與最小的組合數(shù)SKIPIF1<0的取法有SKIPIF1<0種結(jié)果，錯(cuò)誤；對(duì)于D，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)含有相等的組合數(shù)的取法有SKIPIF1<0種結(jié)果，正確.故選：ABD.18．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為SKIPIF1<0B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為SKIPIF1<0C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為SKIPIF1<0D．若政治必須選，選法總數(shù)為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理及排列組合，依次判斷各選項(xiàng)，即可得解．【詳解】對(duì)于A，任意選擇三門課程，選法總數(shù)為SKIPIF1<0，A正確；對(duì)于B，物理和化學(xué)至少選一門，分兩類，第一類：物理和化學(xué)選一門，有SKIPIF1<0種方法，其余兩門從剩余的五門中選兩門，有SKIPIF1<0種方法，共有SKIPIF1<0種選法；第二類：物理和化學(xué)都選有SKIPIF1<0種方法，其余一門從剩余的五門中選一門，有SKIPIF1<0種方法，共有SKIPIF1<0種選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，選法總數(shù)為SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為SKIPIF1<0，C正確；對(duì)于D，政治必須選，另兩門從余下六門中任選兩門，選法總數(shù)為SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤．故選：AC19．某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“面對(duì)面”義診活動(dòng)，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，則下列結(jié)論正確的是（

）A．所有不同分派方案共SKIPIF1<0種B．所有不同分派方案共36種C．若甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共30種【答案】BCD【分析】先將四人分成三組，然后分配到三個(gè)企業(yè)即可判斷AB；分SKIPIF1<0企業(yè)有兩人和SKIPIF1<0企業(yè)只有一人，兩種情況討論即可判斷C；先求出甲，乙安排到同一家企業(yè)的種數(shù)，再利用排除法求解即可.【詳解】由題意，所有不同分派方案共SKIPIF1<0種，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，若甲必須到A企業(yè)，若SKIPIF1<0企業(yè)有兩人，則將其余三人安排到三家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則不同分派方案有SKIPIF1<0種，若SKIPIF1<0企業(yè)只有一人，則不同分派方案有SKIPIF1<0種，所以所有不同分派方案共SKIPIF1<0種，故SKIPIF1<0正確；對(duì)于D，若甲，乙安排到同一家企業(yè)，則將剩下的兩人安排到另外兩家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則有SKIPIF1<0種不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共SKIPIF1<0種，故D正確.故選：BCD.三、填空題20．把10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)不同盒子中，使盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)是（用數(shù)字作答）【答案】15【分析】利用隔板法計(jì)算即可.【詳解】先在編號(hào)為2，3的盒子中分別放入1，2個(gè)小球，編號(hào)為1的盒子不放球，再每個(gè)盒子至少放入一個(gè)小球，用隔板法將余下7個(gè)小球排一排有6個(gè)空，插入2個(gè)隔板，有SKIPIF1<0種方法.故答案為：1521．某校擬從2名教師和4名學(xué)生共6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名，組成代表隊(duì)，參加市黨史知識(shí)競(jìng)賽，則要求代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有種．【答案】16【分析】既有教師又有學(xué)生的選法分為有1名教師和2名學(xué)生和有2名教師和1名學(xué)生，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得答案.【詳解】由題意得從6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名，其中有1名教師和2名學(xué)生的選法有SKIPIF1<0種，有2名教師和1名學(xué)生的選法有SKIPIF1<0種，故代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有SKIPIF1<0（種），故答案為：1622．算盤起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，在電子計(jì)算機(jī)發(fā)明以前，算盤是廣為使用的計(jì)算工具.圖（1）展示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左每一檔分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……上面的一粒珠子表示5，下面的一粒珠子表示1.例如圖（2）中個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下珠靠梁，表示數(shù)字17.現(xiàn)將初始狀態(tài)的算盤上個(gè)位、十位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子靠梁，則可以表示能被3整除的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

【答案】22【分析】分類討論，結(jié)合計(jì)數(shù)原理與組合數(shù)的計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意知，得到的六位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上均為數(shù)字1或5，要使這個(gè)六位數(shù)能被3整除，則有三種情況：①6個(gè)1，只有111111；②6個(gè)5，只有555555；③3個(gè)1和3個(gè)5，有SKIPIF1<0個(gè).故滿足條件的六位數(shù)有22個(gè).故答案為：22．23．2023年暑假，5位老師去某風(fēng)景區(qū)游玩，現(xiàn)有“垂云通天河”、“嚴(yán)子陵釣臺(tái)”這兩處風(fēng)景供選擇，若每位老師只能選取其中的一處風(fēng)景且每處風(fēng)景最多被3位老師選擇，則不同的選擇方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】20【分析】根據(jù)題意，先分組再分配，結(jié)合排列數(shù)，組合數(shù)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意得，5位教師中有3位選取其中的一處風(fēng)景游玩，另兩位教師選擇另一處風(fēng)景游玩．故可分兩步：第一步：將5位老師分為兩組，一組3人，一組2人，共有SKIPIF1<0種不同的分法；第二步：將兩組分配到兩處風(fēng)景，共有SKIPIF1<0種不同的方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有S