2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1.1等比數(shù)列的定義課時素養(yǎng)檢測含解析

七等比數(shù)列的定義(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.已知等比數(shù)列QUOTE的公比q=-QUOTE,則QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE 【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.2.數(shù)列{an}滿足:an+1=λan-1(n∈N*,λ≠0,λ∈R),若數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,則λ的值是 () B.2 C.QUOTE 【解析】選B.數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列?QUOTE=QUOTE=q,即:λan-2=qan-q,恒成立,可知:QUOTE?λ=2.3.已知{an}是等比數(shù)列,且a5=QUOTE,4a3+a7=2,則a9= () B.±2 D.QUOTE【解析】QUOTE解得q2=2,所以a9=a5q4=QUOTE×22=2.4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=QUOTEan,n∈N*,則an= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】n+1=QUOTEan,所以q=QUOTE=QUOTE.所以an=a1qn-1=QUOTE.5.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,若a2,a5的等差中項為4,a5,a8的等差中項為8QUOTE,則loQUOTEq的值為 ()QUOTE B.QUOTE C.-2 【解析】QUOTE所以QUOTE解得q=QUOTE,所以loQUOTEq=loQUOTE=loQUOTE=-QUOTE.6.(多選題)下面說法錯誤的是 ()A.若一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的比為常數(shù),則該數(shù)列為等比數(shù)列B.等比數(shù)列的首項不能為零,但公比可以為零C.常數(shù)列一定為等比數(shù)列D.若一個等比數(shù)列的公比大于1,則此數(shù)列是遞增數(shù)列【解析】選ABCD.A.錯誤,根據(jù)等比數(shù)列的定義,只有比值為同一個常數(shù)時,該數(shù)列才是等比數(shù)列.B.錯誤,當(dāng)公比為零時,根據(jù)等比數(shù)列的定義,數(shù)列中的項也為零.C.錯誤,當(dāng)常數(shù)列不為零數(shù)列時,該數(shù)列才是等比數(shù)列.D.錯誤,當(dāng)首項大于零時是遞增數(shù)列,當(dāng)首項小于零時是遞減數(shù)列.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在等比數(shù)列{an}中,a2=2,a4=4,則a6=________.

【解析】設(shè)公比為q,由條件知QUOTE解得q2=2,故a6=a1q5=a1q·q4=2×22=8.答案:88.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,QUOTE-(2an+1-1)an-2an+1=0.則a3=____________;{an}的通項公式為__________.

【解析】由題意可得a2=QUOTE,a3=QUOTE.由QUOTE-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因?yàn)閧an}的各項都為正數(shù),所以QUOTE=QUOTE.故{an}是首項為1,公比為QUOTE的等比數(shù)列,因此an=QUOTE.答案:QUOTEan=QUOTE(n∈N*)三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,an>0,a1=2,2a2+a3=30.(1)求an;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1=bn+an,b1=a2,求b5.【解析】(1)設(shè)公比為q,由題意得2a1q+a1q2=30,所以4q+2q2=30,所以q2+2q-15=0,n>0,所以q=3.所以an=a1qn-1=2·3n-1(n∈N*).(2)因?yàn)閎1=a2,所以b1=6.又bn+1=bn+an,所以bn+1=bn+2·3n-1.所以b2=b1+2×30=6+2=8,b3=b2+2×31=8+6=14,b4=b3+2×32=14+18=32,b5=b4+2×33=32+54=86.10.(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列QUOTE滿足a1=1,nan+1=2QUOTEan,設(shè)bn=QUOTE.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列QUOTE是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求QUOTE的通項公式.【解析】(1)由條件可得an+1=QUOTEan.將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.將n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12.從而b1=1,b2=2,b3=4.(2)數(shù)列{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下:由條件可得QUOTE=QUOTE,即bn+1=2bn,又b1=1,所以數(shù)列{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.(3)由(2)可得QUOTE=2n-1,所以an=n·2n-1.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知QUOTE為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10= () B.5 【解析】所以QUOTE或QUOTE所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.2.已知等比數(shù)列{an}中,a1+a2=1,a4+a5=-8,則公比q= ()A.-2 B.2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】n=a1qn-1,原等式變?yōu)閍1+a1q=1,a1q3+a1q4=-8,兩式相除得QUOTE=-8,解得q=-2.3.已知數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,則a2+a3+a4=() B.12 【解題指南】先根據(jù)已知條件解出公比,再根據(jù)等比數(shù)列通項公式求結(jié)果.【解析】4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,所以4a2=4a1+a3又因?yàn)閍1=1所以4q=4+q2,解得q=2,所以a2+a3+a4=2+22+23=14.4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an-1(a≠0,a∈R),那么數(shù)列{an} ()A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.要么是等差數(shù)列,要么是等比數(shù)列D.既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列【解析】選C.當(dāng)a=1時,該數(shù)列的各項為0,此時為等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列;當(dāng)a≠1時,由Sn=an-1得,an=Sn-Sn-1=an-1-an-1+1=(a-1)an-1(n≥2),此式對n=1也成立,所以QUOTE=QUOTE=a(n≥2),此時{an}是等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an-1,則該數(shù)列的通項公式an=________.

【解析】由Sn=2an-1得:Sn+1=2an+1-1,所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an又S1=2a1-1,則a1=1.由此可得,數(shù)列{an}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an=2n-1.答案:2n-16.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且QUOTE=a10,2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=________.

【解析】由2(an+an+2)=5an+1?2q2-5q+2=0?q=2或QUOTE,由QUOTE=a10=a1q9>0?a1>0,又?jǐn)?shù)列{an}遞增,所以q=2.QUOTE=a10?(a1q4)2=a1q9?a1=q=2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.答案:2n7.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤.問本持金幾何?”其意思為“今有人持金出五關(guān),第1關(guān)收稅金QUOTE,第2關(guān)收稅金QUOTE,第3關(guān)收稅金QUOTE,第4關(guān)收稅金QUOTE,第5關(guān)收稅金QUOTE,5關(guān)所收稅金之和,恰好1斤重,設(shè)這個人原本持金為x,按此規(guī)律通關(guān)第8關(guān)”,則第8關(guān)需收稅金為________x.

【解析】第1關(guān)收稅金:QUOTEx;第2關(guān)收稅金:QUOTEx=QUOTEx;第3關(guān)收稅金:QUOTEx=QUOTEx;…,可得第8關(guān)收稅金:QUOTEx,即QUOTEx.答案:QUOTE8.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2-a1=1.當(dāng)a3取最小值時,數(shù)列{an}的通項公式an=________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),由a2-a1=1,得a1(q-1)=1,所以a1=QUOTE.a3=a1q2=QUOTE=QUOTE(q>0),而-QUOTE+QUOTE=-QUOTE+QUOTE,①當(dāng)q=2時,①式有最大值QUOTE,所以當(dāng)q=2時,a3有最小值4.此時a1=QUOTE=QUOTE=1.所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1(n∈N*).答案:2n-1(n∈N*)三、解答題(每小題10分,共30分)9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】(1)由已知,有a1+a2=4a1+2,所以a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.因此數(shù)列{bn}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知等比數(shù)列{bn}中,b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=3×QUOTE.于是QUOTE-QUOTE=QUOTE,因此數(shù)列QUOTE是首項為QUOTE,公差為QUOTE的等差數(shù)列,QUOTE=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTEn-QUOTE.所以an=(3n-1)·QUOTE.10.已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和,S5=35,a1,a4,a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列QUOTE的前n項和Tn.【解析】(1)因?yàn)镾5=5a3=35,所以a3=7,設(shè){an}公差為d,因?yàn)閍1,a4,a13成等比數(shù)列,所以QUOTE=a1a13,即(7+d)2=(7-2d)(7+10d),解得d=0(舍)或2,因?yàn)閍3=a1+2d=7,所以a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)知Sn=QUOTE=n(n+2),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Tn=QUOTEQUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an=QUOTE,n∈N*.(1)若數(shù)列{an+t}是等比數(shù)列,求t的值;(2)求數(shù)列{an}的通項公式;(3)記bn=QUOTE+QUOTE,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)①當(dāng)n=1時,由a1=QUOTE=QUOTE,得a1=1;②當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7,由已知a1+t,a2+t,a3+t成等比數(shù)列,所以(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,當(dāng)t=1時,an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}為等比數(shù)列成立,所以實(shí)數(shù)t的