江西省八所重點中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月聯(lián)考試題理含解析

PAGE江西省八所重點中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月聯(lián)考試題理（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的實部為 B．復(fù)數(shù)z的虛部為 C．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)數(shù)z的模為2．設(shè)集合，B＝{（x，y）|y＝2|x|}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．若a＝20240.21，b＝sinπ，c＝log20240.21，則（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a4．在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x、y，則事務(wù)“y≥x2024”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．5．已知正項數(shù)列{an}滿意，Sn是{an}的前n項和，且Sn＝an2+﹣14，則Sn＝（）A． B． C． D．n2+3n6．定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿意f（6﹣x）＝f（x），（x﹣3）f'（x）＞0（x≠3），若f（0）?f（1）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（5，6）內(nèi)（）A．沒有零點 B．有且僅有1個零點 C．至少有2個零點 D．可能有多數(shù)個零點7．在（x+）n的綻開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且全部項的系數(shù)和為0，則含x6的項系數(shù)為（）A．45 B．﹣45 C．120 D．﹣1208．已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：＝1（a＞0）的左、右焦點，點M是C右支上的一點．直線MF1與y軸交于點P，△MPF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點為Q，若|PQ|＝2，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若角A、C、B成等差數(shù)列，角C的角平分線交AB于點D，且CD＝，a＝3b，則c的值為（）A．3 B． C． D．10．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為其次次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數(shù)n的最大值為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．4 B．5 C．6 D．711．已知三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為64π，AB＝2，AC＝2，AB⊥AC，PA＝8，則三棱錐P﹣ABC的體積為（）A．8 B． C． D．1612．已知函數(shù)，則關(guān)于x的方程不行能有（）個相異實根．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．用1，2，3，4，5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)不在相鄰數(shù)位上，則滿意條件的五位數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）14．曲線y＝x2+x﹣lnx上隨意一點P到直線2x﹣y﹣2＝0的最短距離為．15．給出下列命題：①垂直于同一個平面的兩個平面平行；②“”是“與夾角為鈍角”的充分不必要條件；③邊長為2的正方形的直觀圖的面積為；④函數(shù)的最小值為4；⑤已知，，則tanβ＝3．其中正確的有（填上你認(rèn)為正確命題的序號）16．平面對量、、，滿意，，，則對隨意θ∈[0，2π]，的最大值為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知函數(shù)只能同時滿意下列三個條件中的兩個：①函數(shù)f（x）的最大值為2；②函數(shù)f（x）的圖象可由的圖象平移得到；③函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．（1）請寫出這兩個條件的序號，并求出f（x）的解析式；（2）銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．，a＝f（A），求△ABC周長的取值范圍．18．如圖所示，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝2，∠ACB＝，D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2．（1）證明：平面PDE⊥平面PCD；（2）求銳二面角A﹣PD﹣C的余弦值．19．已知橢圓E：．左焦點F（﹣1，0），點M（0，2）在橢圓E外部，點N為橢圓E上一動點，且△NMF的周長最大值為．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點B、C為橢圓E上關(guān)于原點對稱的兩個點，A為左頂點，若直線AB、AC分別與y軸交于P、Q兩點，試推斷以PQ為直徑的圓是否過定點．假如是懇求出定點坐標(biāo)，假如不過定點，請說明理由．20．4月30日是全國交通平安反思日，學(xué)校將實行交通平安學(xué)問競賽，第一輪選拔共設(shè)有A，B，C，D四個問題，規(guī)則如下：①每位參與者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當(dāng)答完四題，若累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局，若累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；③每位參與者按問題A，B，C，D依次作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲同學(xué)對問題A，B，C，D回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求甲同學(xué)能進入下一輪的概率；（2）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．21．已知函數(shù)f（x）＝x+alnx，g（x）＝e﹣x﹣lnx﹣2x．（1）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x0）＝0，求x0+lnx0的值；（3）證明：x﹣xlnx≤e﹣x+x2．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，設(shè)P（2，0），求的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+|x+4|．（1）求不等式f（x）≤8的解集；（2）若a，b，c為正實數(shù)，函數(shù)f（x）的最小值為t，且滿意2a+2b+c＝t，求a2+b2+c2的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的實部為 B．復(fù)數(shù)z的虛部為 C．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)數(shù)z的模為解：復(fù)數(shù)＝＝﹣i，復(fù)數(shù)z的實部為，復(fù)數(shù)z的虛部為﹣，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為+i，|z|＝＝，只有C正確．故選：C．2．設(shè)集合，B＝{（x，y）|y＝2|x|}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵集合，B＝{（x，y）|y＝2|x|}，作出圖形如下：∴集合A∩B中元素的個數(shù)為2．故選：C．3．若a＝20240.21，b＝sinπ，c＝log20240.21，則（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a解：∵20240.21＞20240＝1，∴a＞1，∵＝，∴0＜b＜1，∵log20240.21＜log20241＝0，∴c＜0，∴c＜b＜a，故選：D．4．在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x、y，則事務(wù)“y≥x2024”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．解：在區(qū)間[0，1]上隨機地取兩個數(shù)x、y，構(gòu)成區(qū)域的面積為1；事務(wù)“y≥x2024”發(fā)生，區(qū)域的面積為：x2024dx＝x2024＝，∴事務(wù)“y≥x2024”發(fā)生的概率為：1﹣＝．故選：D．5．已知正項數(shù)列{an}滿意，Sn是{an}的前n項和，且Sn＝an2+﹣14，則Sn＝（）A． B． C． D．n2+3n解：由于Sn＝an2+﹣14①，當(dāng)n＝1時，整理得，即（2a1+7）（a1﹣4）＝0，故a1＝4（﹣舍去），當(dāng)n≥2時，Sn﹣1＝an﹣12+﹣14，②①﹣②得：，故（常數(shù)）．所以數(shù)列{an}是以4為首項，為公差的等差數(shù)列；所以．故．故選：A．6．定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿意f（6﹣x）＝f（x），（x﹣3）f'（x）＞0（x≠3），若f（0）?f（1）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（5，6）內(nèi)（）A．沒有零點 B．有且僅有1個零點 C．至少有2個零點 D．可能有多數(shù)個零點解：∵定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿意f（6﹣x）＝f（x），（x﹣3）f'（x）＞0（x≠3），故對稱軸為x＝3，且x＞3時函數(shù)遞增，x＜3時函數(shù)遞減，又f（0）?f（1）＜0，∴f（0）＝f（6）＞0，f（1）＝f（5）＜0，故f（5）?f（6）＜0，且函數(shù)在（5，6）上遞增，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（5，6）內(nèi)有且只有1個零點，故選：B．7．在（x+）n的綻開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且全部項的系數(shù)和為0，則含x6的項系數(shù)為（）A．45 B．﹣45 C．120 D．﹣120解：∵在（x+）n的綻開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，∴n＝10，又有項的系數(shù)和為0，∴令x＝1，有（1+a）10＝0，解得：a＝﹣1，∴（x+）n的綻開式的通項公式為Tr+1＝x10﹣r（﹣）r＝?（﹣1）r?x10﹣2r，r＝0，1，…，10，令10﹣2r＝6，可得r＝2，∴含x6的項系數(shù)為＝45，故選：A．8．已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：＝1（a＞0）的左、右焦點，點M是C右支上的一點．直線MF1與y軸交于點P，△MPF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點為Q，若|PQ|＝2，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．解：雙曲線C：＝1（a＞0）的c＝＝4，設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓在邊MP上的切點為A，在邊MF2上的切點為B，如圖可設(shè)|MA|＝|MB|＝s，|BF2|＝|QF2|＝t，|PA|＝|PQ|＝2，|PF1|＝|PF2|＝2+t，由雙曲線的定義可得|MF1|﹣|MF2|＝s+2+2+t﹣s﹣t＝4＝2a，即有a＝2，所以e＝＝＝．故選：D．9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若角A、C、B成等差數(shù)列，角C的角平分線交AB于點D，且CD＝，a＝3b，則c的值為（）A．3 B． C． D．解：如圖：在△ABC中，由角A、C、B成等差數(shù)列，角C的角平分線交AB于點D，則，所以，由，a＝3b．所以，在△ACD，△BCD中，由余弦定理得：＝b2﹣3b+3．＝9b2﹣9b+3．故9b2﹣9b+3＝9（b2﹣3b+3），解得：，故a＝4．在△ABC中，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，即＝．故c＝．故選：C．10．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為其次次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數(shù)n的最大值為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．4 B．5 C．6 D．7解：在第n（n∈N*）次操作后，剩下上一次操作后的區(qū)間長度的，所以在第n（n∈N*）次操作后，剩余的長度為1×＝，則在第n（n∈N*）次操作后，去掉的各區(qū)間長度之和為Sn＝1﹣，令1﹣＜得：＞≈0.1004，∵≈0.1317＞0.1004，≈0.1317＞0.1004，≈0.0878＜0.1004，故nmax＝5，故選：B．11．已知三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為64π，AB＝2，AC＝2，AB⊥AC，PA＝8，則三棱錐P﹣ABC的體積為（）A．8 B． C． D．16解：如圖，設(shè)三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑為R，∵三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為64π，∴4πR2＝64π，即R＝4，又PA＝8，∴PA為球的直徑，則PA的中點O為三棱錐P﹣ABC的外接球的球心，在△ABC中，∵AB＝2，AC＝2，AB⊥AC，∴BC＝，取BC中點D，連接OD，DA，則DA＝2，OD⊥平面ABC，∴OD＝，則P到平面ABC的距離為，∴三棱錐P﹣ABC的體積為．故選：A．12．已知函數(shù)，則關(guān)于x的方程不行能有（）個相異實根．A．2 B．3 C．4 D．5解：∵∴令g'（x）＝0，則有x＝0，或x＝2∴g'（x）＞0?0＜x＜2，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；g'（x）＜0?x＜0，或x＞2，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．∴函數(shù)g（x）在x＝2處取得極大值為：g（2）＝，又∵x→﹣∞時，g（x）→+∞；當(dāng)x→0時，g（x）→0；當(dāng)x→+∞，g（x）→0∴g（x）＞0恒成立令t＝，則當(dāng)t≤0時，無解；當(dāng)0＜t＜時，t＝有三解；t＝有兩解；t＞時，t＝有一解．依據(jù)題意，，即等價為?2k＝，當(dāng)且僅當(dāng)時，“＝”成立．由此可得，①時，方程無解，②當(dāng)2k＝，即時，方程有兩個相等實根，原方程只有一個解；③當(dāng)時，方程有兩個不等實根t1，t2，則將方程變形為t2﹣2kt+2＝0，則有t1+t2＝2k，t1t2＝2，即得t1，t2中有一個不大于，另一個不小于，此時不妨設(shè)0＜t1＜t2，在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，作直線y＝k，如下：假設(shè)直線y＝k與函數(shù)的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為t1，t2，則由上圖可得若，此時，有兩個實根，有一個根，共有3個根；時，0＜t1＜，t2＞e，有三個實根，有一個根，共有4個根；＜k＜時，，，有一個實根，有一個實根，共有2個根．因此綜上可得，不行能有5個根．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．用1，2，3，4，5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)不在相鄰數(shù)位上，則滿意條件的五位數(shù)共有72個．（用數(shù)字作答）解：先將1，3，5三個奇數(shù)按依次排好，有A種狀況，同時產(chǎn)生4個空位，再將2，4按依次排到4個空位上，有A種狀況，所以共有6×12＝72種狀況，故答案為：72．14．曲線y＝x2+x﹣lnx上隨意一點P到直線2x﹣y﹣2＝0的最短距離為．解：點P是曲線y＝x2+x﹣lnx上隨意一點，當(dāng)過點P的切線和直線2x﹣y﹣2＝0平行時，點P到直線2x﹣y﹣2＝0的距離最?。本€2x﹣y﹣2＝0的斜率等于2，y＝x2+x﹣lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝2x+1﹣，由2x+1﹣＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣（舍去），或x＝1，故曲線y＝x2+x﹣lnx上和直線2x﹣y﹣2＝0平行的切線經(jīng)過的切點坐標(biāo)為（1，2），點（1，2）到直線2x﹣y﹣2＝0的距離等于＝，故答案為：．15．給出下列命題：①垂直于同一個平面的兩個平面平行；②“”是“與夾角為鈍角”的充分不必要條件；③邊長為2的正方形的直觀圖的面積為；④函數(shù)的最小值為4；⑤已知，，則tanβ＝3．其中正確的有③⑤（填上你認(rèn)為正確命題的序號）【解答】①垂直于同一個平面的兩個平面平行，錯誤．例如：墻角模型．垂直于底面的兩面墻并不平行．②由向量數(shù)量積的定義，可知，（θ為兩個向量的夾角），∵當(dāng)θ∈（0，]時，cosθ∈[0，1），此時；當(dāng)時，cosθ∈[﹣1，0），此時，∴當(dāng)時，與的夾角為鈍角或平角，故②錯誤．③如圖，作出邊長為2的正方形直觀圖如下：依據(jù)平面直觀圖的作法可知，直觀圖為有一個角為45°的平行四邊形，且AB＝2，AD＝1如圖過點D作DE⊥AB，則DE＝，此時可得直觀圖的面積為，故③正確．④令t＝sin2x∈[0，1]，則有，當(dāng)且僅當(dāng)?t＝2時，“＝”成立，故④錯誤．⑤∵β＝α﹣（α﹣β）∴tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]＝∵∴，故⑤正確．故答案為：③⑤16．平面對量、、，滿意，，，則對隨意θ∈[0，2π]，的最大值為2+1．解：因為，則，則以O(shè)為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由，得A（4，0），B（0，2），設(shè)C（x，y），由得：2x2﹣4x+2y2﹣4y＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，故C點軌跡為以（1，1）為圓心，半徑為的圓．而＝|（x﹣cosθ，y﹣sinθ）|＝．該式的幾何意義為點C（x，y）到點（cosθ，sinθ）的距離d．又點D（cosθ，sinθ）對應(yīng)的點在單位圓上，故d的最大值為兩圓的圓心距與兩半徑的和的和．即＝．故答案為：．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知函數(shù)只能同時滿意下列三個條件中的兩個：①函數(shù)f（x）的最大值為2；②函數(shù)f（x）的圖象可由的圖象平移得到；③函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．（1）請寫出這兩個條件的序號，并求出f（x）的解析式；（2）銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．，a＝f（A），求△ABC周長的取值范圍．解：（1）函數(shù)f（x）＝msin（ωx+）滿意條件為①③，理由如下：由題意可知條件①②相互沖突，故③為函數(shù)f（x）＝msin（ωx+）滿意的條件之一．由③可知：T＝2π，所以ω＝1．故②不合題意．∴函數(shù)f（x）＝msin（ωx+）滿意條件為①③，由①知：A＝2．∴f（x）＝2sin（x+）．（2）a＝f（A）＝f（）＝2sin＝2，由余弦定理得4＝b2+c2﹣2bccos，∴（b+c）2＝3bc+4，∵b+c≥2，∴（b+c）2≥4[]，（b+c）2≤16，∴0＜b+c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時取等號，∵b+c＞a，∴b+c＞2，∴2＜b+c≤4，∴4＜a+b+c≤6，∴△ABC周長的取值范圍為（4，6]．18．如圖所示，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝2，∠ACB＝，D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2．（1）證明：平面PDE⊥平面PCD；（2）求銳二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：因為PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，所以PC⊥DE，因為CD＝DE＝，CE＝2，所以DE2+CD2＝CE2，所以DE⊥CD，又因為PC∩CD＝C，所以DE⊥平面PCD，又因為DE?平面PDE，所以平面PDE⊥平面PCD．（2）解：因為PC⊥平面ABC，所以PC⊥CA、PC⊥AB，又因為∠ACB＝，所以CA、CB、CP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取ED中點F，連接FD，因為△CDE是等腰直角三角形，所以CF＝DF＝EF＝1，DF⊥CB，又因為∠ACB＝，所以DF∥CA，所以，所以CA＝，再由已知得A（，0，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（1，1，0），E（0，2，0），＝（﹣，0，2），＝（﹣，1，0），設(shè)平面PDA的法向量為＝（x，y，z），令x＝4，＝（4，2，3），平面PCD的一個法向量為＝＝（﹣1，1，0），所以銳二面角A﹣PD﹣C的余弦值為＝＝．19．已知橢圓E：．左焦點F（﹣1，0），點M（0，2）在橢圓E外部，點N為橢圓E上一動點，且△NMF的周長最大值為．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點B、C為橢圓E上關(guān)于原點對稱的兩個點，A為左頂點，若直線AB、AC分別與y軸交于P、Q兩點，試推斷以PQ為直徑的圓是否過定點．假如是懇求出定點坐標(biāo)，假如不過定點，請說明理由．解：（1）設(shè)右焦點為F1，則|F1M|＝＝＝|FM|，所以（|MN|+|NF|）max＝4+2﹣＝4+，又因為|NF|＝2a﹣|NF1|，所以|MN|+|NF|＝|MN|﹣|NF1|+2a＜|MF1|+2a，所以N點為MF1與橢圓的交點時，周長最大，因為|MF1|＝，所以2a+＝4+，?a＝2，c＝1，所以b＝＝，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1．（2）由（1）知A（﹣2，0），設(shè)B（x0，y0），則C（﹣x0，﹣y0），當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)方程為y＝kx，聯(lián)立，得x2＝，所以x0＝，y0＝，所以直線BA的方程為y＝（x+2），令x＝0，得y＝，所以P（0，），同理可得Q（0，），所以|PQ|＝|﹣|＝，設(shè)PQ的中點為S，則S（0，﹣），所以以PQ為直徑的圓的方程為x2+（y+）2＝（）2，所以x2+y2+y+＝+3，所以x2+y2+y﹣3＝0，令y＝0，得x＝±，所以過點（，0）和（﹣，0），且為定點，當(dāng)直線BC的斜率不存在時，B（0，），C（0，﹣），所以此時P（0，），Q（0，﹣），所以PQ為直徑的圓是以原點為圓心，為半徑的圓，此時也過定點（，0），（﹣，0），綜上所述，此圓過定點（，0），（﹣，0）．20．4月30日是全國交通平安反思日，學(xué)校將實行交通平安學(xué)問競賽，第一輪選拔共設(shè)有A，B，C，D四個問題，規(guī)則如下：①每位參與者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當(dāng)答完四題，若累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局，若累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；③每位參與者按問題A，B，C，D依次作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲同學(xué)對問題A，B，C，D回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求甲同學(xué)能進入下一輪的概率；（2）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．解：（1）設(shè)A，B，C，D分別為第一，二，三，四個問題，用Mi（i＝1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個問題回答正確，用Ni（i＝1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個問題回答錯誤，則Mi與Ni是對立事務(wù)，由題意可得，，，，，所以，，，，記“甲同學(xué)能進入下一輪”為事務(wù)Q，所以Q＝M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4，則P（Q）＝P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）＝P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）＝××++++＝；（2）由題意，隨機變量ξ的可能取值為2，3，4，所以P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝××＝，P（ξ＝4）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）＝，所以ξ的分布列為：ξ234P所以ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝＝．21．已知函數(shù)f（x）＝x+alnx，g（x）＝e﹣x﹣lnx﹣2x．（1）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x0）＝0，求x0+lnx0的值；（3）證明：x﹣xlnx≤e﹣x+x2．解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）＝1+＝，當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，﹣a）單調(diào)遞減，在（﹣a，+∞）單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，﹣a）單調(diào)遞減，在（﹣a，+∞）單調(diào)遞增；（2）若g（x0）＝0，則＝2x0+lnx0，∴﹣x0＝x0+lnx