2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.3.1-兩角和與差的三角函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

PAGE5.3.1-兩角和與差的三角函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)tan105°等于()A.2-3 B.-2-3C.3-2 D.-32.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()A.0 B.12 C.1 D.3.(5分)(2023·長沙模擬)1-tan15°A.1 B.3 C.33 D.4.(5分)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin47°,cos47°),則sin(α-13°)等于()A.12 B.32 C.-12 D5.(5分)已知12sinα+32cosα=45,則sin(α+4πA.-235 B.235 C.-46.(5分)(2024·長沙模擬)古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯詳細(xì)地討論了無理數(shù)的理論,他通過圖來構(gòu)造無理數(shù)2,3,5,…,如圖,則cos∠BAD=()A.26-336C.23+66 【【加練備選】(多選題)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,則下列說法正確的是(A.cos(β-α)=32 B.cos(β-α)=C.β-α=π6 D.β-α=-7.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.

8.(5分)滿足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的數(shù)組(α,β)有無窮多個(gè),試寫出一個(gè)這樣的數(shù)組.

9.(5分)(2024·北京模擬)設(shè)A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.當(dāng)α=π,β=π2時(shí),AB=;當(dāng)AB=3時(shí),α-β的一個(gè)取值為10.(10分)已知α,β均為銳角,且sinα=35,tan(α-β)=-1(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.11.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+已知0<β<α<π2,,cos(α+β)=-5(1)求sin(α-π4(2)求β.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【能力提升練】12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,則α+β=13.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),則cos(θ-π4)=14.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=1(1)求證:sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)已知0<α+β<π2,0<α-β<π2,求cos2α5.3.1-兩角和與差的三角函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)tan105°等于()A.2-3 B.-2-3C.3-2 D.-3【解析】選B.tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45=(3+1)2(2.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()A.0 B.12 C.1 D.【解析】選C.sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90°=1.3.(5分)(2023·長沙模擬)1-tan15°A.1 B.3 C.33 D.【解析】選C.1-tan15°1+tan15°4.(5分)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin47°,cos47°),則sin(α-13°)等于()A.12 B.32 C.-12 D【解析】選A.由三角函數(shù)的定義,得sinα=cos47°,cosα=sin47°,則sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=125.(5分)已知12sinα+32cosα=45,則sin(α+4πA.-235 B.235 C.-4【解析】選C.因?yàn)?2sinα+32cosα=所以sin(α+π3)=45,則sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=-sin(α+6.(5分)(2024·長沙模擬)古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯詳細(xì)地討論了無理數(shù)的理論,他通過圖來構(gòu)造無理數(shù)2,3,5,…,如圖,則cos∠BAD=()A.26-336C.23+66 【解析】選B.記∠BAC=α,∠CAD=β,由題圖知:sinα=cosα=22,sinβ=33,cosβ=所以cos∠BAD=cos∠BAC+∠CAD=cosα+β=cosαcosβ22×63-22×3【加練備選】(多選題)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,則下列說法正確的是(A.cos(β-α)=32 B.cos(β-α)=C.β-α=π6 D.β-α=-【解析】選BD.由已知可得sin所以1=sin2γ+cos2γ=(sinα-sinβ)2+(cosβ-cosα)2=2-2(cosβcosα+sinβsinα)=2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=12因?yàn)棣?β,γ∈(0,π2),則-π2<β-α<因?yàn)閟inγ=sinα-sinβ>0,函數(shù)y=sinx在(0,π2)上單調(diào)遞增,則α>β,則-π2<β-α<0,故β-α=-7.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.

【解析】sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=sin(α+β)cos(β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)8.(5分)滿足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的數(shù)組(α,β)有無窮多個(gè),試寫出一個(gè)這樣的數(shù)組.

【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得1+tanβ+tanα+tanαtanβ=2,所以tanβ+tanα=1-tanαtanβ,所以tanβ+tanα1-所以α+β=kπ+π4,k∈Z所以α可以為0,β可以為π4(答案不唯一)答案:(0,π49.(5分)(2024·北京模擬)設(shè)A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.當(dāng)α=π,β=π2時(shí),AB=;當(dāng)AB=3時(shí),α-β的一個(gè)取值為【解析】根據(jù)題意可得當(dāng)α=π,β=π2可得A-1,0,所以AB=-1-0當(dāng)AB=3時(shí),即cosα-2cos整理可得5-4cosα即cosα-β=12,可得α-β=±π所以α-β的一個(gè)取值為π3答案:5π310.(10分)已知α,β均為銳角,且sinα=35,tan(α-β)=-1(1)求sin(α-β)的值;【解析】(1)因?yàn)棣?β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2.又因?yàn)閠an(α-β所以-π2<α-β<0,所以sin(α-β)=-10(2)求cosβ的值.【解析】(2)由(1)可得,cos(α-β)=310因?yàn)棣翞殇J角,且sinα=35,所以cosα=4所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×31010+35×(-11.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+已知0<β<α<π2,,cos(α+β)=-5(1)求sin(α-π4【解析】(1)若選①,tan(π+α)=tanα=sinα又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,0<α<π2所以sinα=31010,cosα=所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-若選②,因?yàn)閟in(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α),化簡得sinα=3cosα又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,0<α<π2所以sinα=31010,cosα=所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-若選③,因?yàn)?sin(π2+α)=cos(3π2+化簡得3cosα=sinα,又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,0<α<π2所以sinα=31010,cosα=所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-(2)求β.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(2)因?yàn)?<β<α<π2,且cos(α+β)=-5所以π2<α+β所以sin(α+β)=1-cos所以sinβ=sin[(α+β)-α]=255×1010-(-55)×又因?yàn)?<β<π2,所以β=π【能力提升練】12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,則α+β=【解析】由tanα+tanβ+3tanαtanβ=3得tan(α+β)=tanα+tanβ又α,β∈(-π2,0),則α+β∈所以α+β=-2π3答案:-2π13.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),則cos(θ-π4)=【解析】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=-1615cosθ,又sin2θ+cos2θ所以cosθ=-35或cosθ=5又θ∈(0,π),所以sinθ=1-cos因此cos(θ-π4)=cosθcosπ4+sinθsinπ4=-35×22+4答案:214.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=1(1)求證:sinαcosβ=5cosαsinβ;【解析】(1)因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1所以2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,①3sinαcosβ-3cosαsi