生物統(tǒng)計附試驗設(shè)計第八章

第八章直線回歸與相關(guān)分析

前述各章討論的問題，都只涉及一個變量或性狀，而在實際研究中常常要研究兩個或兩個以上變量的關(guān)系。變量間的關(guān)系分為兩類：

—完全確定性關(guān)系；(沒有隨機(jī)誤差）

—不存在完全確定性關(guān)系，不能由一個或幾個變量的值精確地求出另一個變量的值；（相關(guān)關(guān)系）

相關(guān)變量間的關(guān)系一般又分為兩種：

—因果關(guān)系（一個變量的變化受一個或幾個變量的影響，有自變量/依變量之分）；

研究方法：采用回歸分析

研究目的（任務(wù)）：揭示變量間的聯(lián)系形式，建立回歸方程，并由自變量（原因）來預(yù)測、控制依變量（結(jié)果）

—平行關(guān)系（兩個以上變量之間共同受到另外因素的影響，無自變量與依變量之分）研究方法：采用相關(guān)分析

研究目的（任務(wù)）：研究兩個變量之間相關(guān)的程度和性質(zhì)或一個變量與多個變量之間相關(guān)的程度（計算相關(guān)系數(shù)）

直線回歸分析

一元回歸分析曲線回歸分析多元線性回歸分析多元回歸分析

(復(fù)回歸分析)多元非線性回歸分析

回歸分析

簡單相關(guān)分析——直線相關(guān)分析

復(fù)相關(guān)分析多元相關(guān)分析偏相關(guān)分析相關(guān)分析第一節(jié)直線回歸分析一、直線回歸方程的建立研究兩個變量之間的關(guān)系時，一般先把n對觀察值(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi),…,(xn,yn)先以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)紙上描出n

個點(diǎn)，所描出的圖形叫散點(diǎn)圖。ed在直線回歸分析中主要是研究圖中(b)與(e)的情況。

設(shè)變量x與y間存在直線關(guān)系，根據(jù)n對觀察值所描出的散點(diǎn)圖如下圖所示。直線回歸散點(diǎn)圖回歸直線是所有直線中最接近散點(diǎn)圖中全部散點(diǎn)的直線。設(shè)樣本直線回歸方程為：總體直線回歸方程為：

其中：a稱為回歸截距；

b稱為回歸系數(shù)y=α+βx

回歸值與yi觀察值間的偏差為：全部偏差平方和為：

利用最小二乘法，即使偏差平方和最小的方法求a與b的值。根據(jù)微積分學(xué)中求極值的原理，將Q對a與b求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0：

可以證明

—稱之為x與y的離均差乘積和，簡稱為乘積和，記為

SPxy。

回歸方程的性質(zhì)

回歸直線必然通過點(diǎn)。

線性回歸方程建立的方法（結(jié)合例8.1）：

用各組觀察值(xi,yi)描點(diǎn)作散點(diǎn)圖，確定變量x和y間是否存在直線關(guān)系；

計算回歸截距a和回歸系數(shù)b;

建立樣本直線回歸方程，并進(jìn)行偏離度估計和顯著性檢驗；

在散點(diǎn)圖中，畫出樣本直線回歸方程。直線回歸方程的偏離度估計

根據(jù)使偏差平方和最小建立了直線回歸方程。偏差平方和Q的大小表示了實測點(diǎn)與回歸直線偏差的程度，因而偏差平方和又稱為離回歸平方和或剩余平方和。

Q的自由度df=n-2；離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤

大小表示了回歸直線與實測點(diǎn)的吻合程度，即回歸估測值與實際觀察值y差異的程度。

可以證明：二、直線回歸的顯著性檢驗

能否利用所建立的直線回歸方程來進(jìn)行預(yù)測和控制，這取決于這個直線回歸方程所反應(yīng)的兩個變量間的直線關(guān)系是否真實。因而還須對y與x間的直線關(guān)系進(jìn)行檢驗。檢驗的方法有回歸關(guān)系的F測驗和回歸系數(shù)的t測驗二種。（一）t檢驗對直線回歸系數(shù)b的假設(shè)檢驗為：HO:β=0；HA:β≠0（β為總體回歸系數(shù)）。在HO成立的條件下，回歸系數(shù)b服從t分布：將計算出的與根據(jù)自由度df=n-2查表所得的臨界t值比較，作出結(jié)論。

y變量的平方和與自由度為（二）F

檢驗

可以證明因此

由于回歸和離回歸的均方比遵循df1=1,df2=n-2的F分布，所以y的總平方和（SSy）,dfy=n-1離回歸平方和（SSr）,dfr=n-2回歸平方和（SSR）,dfR=1將計算出的F值與根據(jù)自由度df1=1,df2=n-2查表所得的臨界F值比較，作出結(jié)論?；貧w關(guān)系方差分析表變異來源dfSSMSF回歸dfRSSRMSRMSR/MSr離回歸dfrSSrMSr總變異dfySSy

F檢驗的結(jié)果與t檢驗的結(jié)果一致。

統(tǒng)計學(xué)已證明，在直線回歸分析中這二種檢驗法是等價的，可任選一種進(jìn)行檢驗。因為在直線回歸的測驗中，在同一概率值下，df1=1,df2=n-2的一尾F值正好等于df2=n-2的兩尾t值的平方。

線性回歸方程的應(yīng)用應(yīng)用——線性回歸方程建立并經(jīng)顯著性測驗證明其真實存在后，可用回歸方程對依變量進(jìn)行預(yù)測或控制（但自變量必須在已知的觀察值范圍內(nèi)）。特別要指出的是：利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測或控制時，一般只適用于原來研究的范圍，不能隨意把范圍擴(kuò)大。第二節(jié)直線相關(guān)分析

進(jìn)行直線相關(guān)分析的基本任務(wù)在于計算出表示x，y兩個變量間線性相關(guān)的程度和性質(zhì)的統(tǒng)計量——相關(guān)系數(shù)，并進(jìn)行顯著性檢驗。

一、決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)前面已證明了等式：

從等式不難看到：y與x直線回歸效果的好壞取決于回歸平方和在y的總平方和中所占比例的大小。

把比值叫做x對y的決定系數(shù)記為r2，即

決定系數(shù)r2的大小表示了回歸方程的可靠程度，顯然有0≤r2≤1。

所以決定系數(shù)r2等于y對x的回歸系數(shù)byx與x對y的回歸系數(shù)bxy的乘積，即r2=byx

bxy

若求r2的平方根，統(tǒng)計學(xué)把這樣計算所得的統(tǒng)計量稱為x與y的相關(guān)系數(shù)，記為r，即

顯然相關(guān)系數(shù)-1≤r≤1二、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)的計算充分應(yīng)用計算器的統(tǒng)計功能鍵，計算：

將上述數(shù)值代入公式。三、相關(guān)系數(shù)的顯著性測驗

樣本相關(guān)系數(shù)r是否來自ρ≠0的總體，還須對樣本相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗。

HO：ρ=0

，HA:ρ≠0（ρ為總體相關(guān)系數(shù)）

可采用t測驗法與F測驗法對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行測驗。這里只介紹常用的t檢驗法。t測驗的計算公式為：

F檢驗的計算公式為：Sr—相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤

此外，還可以直接采用查表法對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗。先根據(jù)自由度n-2查臨界r值(附表8)，得r0.05、r0.01。

若|r|＜r0.05

，P＞0.05，則相關(guān)系數(shù)r不顯著；

若r0.05≤|r|＜r0.01，0.01＜P＜0.05，則相關(guān)系數(shù)r顯著，標(biāo)記“*”；

若|r|≥r0.01，P≤0.01，則相關(guān)系數(shù)r極顯著，標(biāo)記“**”。四、相關(guān)與回歸的關(guān)系

r2=byx

bxy

r和b都是用一定的數(shù)值來表明兩個變量之間的關(guān)系，二者變異的性質(zhì)和方向完全一致；

r只能根據(jù)數(shù)值的大小的絕對值來判斷兩個變量間的相關(guān)程度；b則能根據(jù)自變量的變化去推算依變量的變化規(guī)律。

相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)（方程）的顯著性測驗是等價的。即相關(guān)系數(shù)顯著，回歸系數(shù)亦顯著；相關(guān)系數(shù)不顯著，回歸系數(shù)也必然不顯著。注意：在實際進(jìn)行直線回歸分析時，可用相關(guān)系數(shù)顯著性測驗代替直線回歸關(guān)系顯著性測驗。計算相關(guān)系數(shù)r對r檢驗（查表法）r不顯著，則不建立直線回歸方程若r顯著，計算回歸系數(shù)b、回歸截距a，建立直線回歸方程五、應(yīng)用直線回歸與相關(guān)的注意事項

回歸分析和相關(guān)分析畢竟是處理變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，在應(yīng)用時要考慮到客觀實際情況。

要考慮到回歸系數(shù)、相關(guān)系數(shù)等這些統(tǒng)計數(shù)的適用范圍。

必須嚴(yán)格控制被研究的兩個變量以外的各個變量的變動范圍，使之盡可