2025年高考數學一輪復習-8.8-利用空間向量研究夾角問題-專項訓練【含解析】

PAGE利用空間向量研究夾角問題-專項訓練（原卷版）1.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=32,則l與α所成的角為(A.30° B.60° C.120° D.150°2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為()A.-1010 B.-120 C.1203.在空間直角坐標系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一個法向量為m=(-1,0,1),則平面α與平面ABC夾角的正弦值為()A.336 B.36 C.34 4.在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長為1的正方形,AP=2,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為()A.255 B.25 C.25.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,體對角線B1D與平面A1BC1交于E點,則A1E與平面AA1D1D所成角的余弦值為()A.13 B.33 C.23 6.(多選題)如圖,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的兩個不同的動點,AC=BC=CC1,AC⊥BC,則()A.BC1⊥平面B1EFB.若EF為定長,則三棱錐A1-B1EF的體積為定值C.直線BB1與平面B1EF所成角為πD.平面A1ABB1⊥平面B1EF7.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角為.

8.正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值是.

9.正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直,則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.

10.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中點.(1)求證:BC⊥平面A1AD;(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的體積是83,求異面直線A1D和AB1所成的角的余弦值.11.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上的點.(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值.12.(多選題)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,則()A.A1D⊥AFB.D1C與平面AEF所成角的正弦值為2C.二面角A-EF-C的余弦值為1D.平面AEF截正方體所得的截面周長為25+3213.手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力,使學生在德、智、體、美、勞等方面得到全面發(fā)展,某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形,其直觀圖如圖所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分別是棱AB,C1E,BB1,A1F的中點,則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.

14.(2023·全國甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)求證:AC=A1C;(2)若直線AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.利用空間向量研究夾角問題-專項訓練（解析版）1.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=32,則l與α所成的角為(A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選B.由于cos<m,n>=32,所以<m,n>=30°,所以直線l與α所成的角為60°2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為()A.-1010 B.-120 C.120【解析】選D.建立如圖空間直角坐標系D-xyz,設DA=1,則A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,12則AC=(-1,1,0),DE=(0,12設異面直線DE與AC所成的角為θ,則cosθ=|cos<AC,DE>|=10103.在空間直角坐標系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一個法向量為m=(-1,0,1),則平面α與平面ABC夾角的正弦值為()A.336 B.36 C.34 【解析】選A.設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=x-令平面α與平面ABC的夾角為θ,則cosθ=|cos<m,n>|=|m·n||sinθ=1-cos2θ=336,所以平面4.在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長為1的正方形,AP=2,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為()A.255 B.25 C.2【解析】選B.以AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖,則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),所以PD=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(1,0,-2),設平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z),則PD·令z=1,得n=(0,2,1),設直線PB與平面PCD所成角為θ,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為sinθ=|cos<PB,n>|=|PB·n||5.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,體對角線B1D與平面A1BC1交于E點,則A1E與平面AA1D1D所成角的余弦值為()A.13 B.33 C.23 【解析】選D.如圖,建立空間直角坐標系,A1B=(0,1,-2),設平面A1BC1的法向量為m=(x,y,z),則A1令z=1,則y=2,x=2,所以m=(2,2,1),DB1=(1,1,2),因為點E在B1設DE=λDB1=(λ,λ,2λ),所以E(λ,λ,2λ),所以A1E=(λ-1,因為A1E?平面A1BC1,所以A1E·m=0,即(λ-1,λ,2所以2(λ-1)+2λ+(2λ-2)=0,解得λ=23,所以A1E易得平面AA1D1D的一個法向量為n=(0,1,0),設A1E與平面AA1D1D所成角為α,所以sinα=A1E·n|所以cosα=1-sin2α6.(多選題)如圖,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的兩個不同的動點,AC=BC=CC1,AC⊥BC,則()A.BC1⊥平面B1EFB.若EF為定長,則三棱錐A1-B1EF的體積為定值C.直線BB1與平面B1EF所成角為πD.平面A1ABB1⊥平面B1EF【解析】選AB.由題可知,平面B1EF即平面B1AC.以C為坐標原點,建立如圖空間直角坐標系,設AC=1,由題可知:A(1,0,0),C(0,0,0),B1(0,1,1),B(0,1,0),C1(0,0,1),設AB中點為D,則D12由題可知CD⊥平面A1ABB1,即CD=12,12,0又CA=(1,0,0),CB設平面B1AC的法向量為n=(x,y,z),則n·取y=1,則n=(0,1,-1).對于A,由于BC1=(0,-1,1),則BC故BC1⊥平面B1EF,A正確;對于B,若EF為定長,由于B1到直線EF的距離即為B1到直線AC的距離,也為定值,于是△B1EF的面積為定值,又A1到平面B1EF的距離即為A1到平面B1AC的距離,為定值,則三棱錐A1-B1EF的體積為定值,故B正確;對于C,由于BB1=(0,0,1),所以直線BB1與平面B1EF所成角的正弦值為|BB1·n||BB1||n對于D,CD·n=12≠0,故平面A1ABB1與平面B1EF不垂直,D錯誤7.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角為.

【解析】設直線l與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos120°|=12又因為0°≤θ≤90°,所以θ=30°.答案:30°8.正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值是.

【解析】如圖,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),易證AC1是平面A1BDAC1=(-1,1,1),Bcos<AC1,BC1>=所以直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值為63答案:69.正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直,則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.

【解析】取BC的中點O,連接AO,DO,建立如圖所示的空間直角坐標系.設BC=1,則A0,0,32,B0,-12所以BA=0,12,3CD=32設平面ABD的法向量為n=(x,y,z),則n·BA=0取x=1,則y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),所以|cos<n,CD>|=32+3因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為155答案:1510.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中點.(1)求證:BC⊥平面A1AD;(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的體積是83,求異面直線A1D和AB1所成的角的余弦值.【解析】(1)因為AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,又AB=AC,D是BC的中點,所以BC⊥AD,因為AA1∩AD=A,所以BC⊥平面A1AD.【解析】(2)因為∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,所以AB=AC=22,S△ABC=12AB·AC=12×22×2因為三棱柱ABC-A1B1C1的體積是83,所以S△ABC·AA1=4AA1=83,解得AA1=23,以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,則D(2,2,0),A(0,0,0),B1(22,0,23),A1(0,0,23),A1D=(2,2,-23),AB1=(2設異面直線A1D,AB1所成角為θ,則cosθ=|AB1·A11.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上的點.(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值.【解析】(1)由AB是圓的直徑,得AC⊥BC.由PA垂直于圓所在的平面,得PA⊥平面ABC.由BC?平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因為BC?平面PBC,根據面面垂直判定定理,得平面PAC⊥平面PBC.(2)過點C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.如圖所示,以點C為坐標原點,分別以直線CB,CA,CM為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=3.又PA=1,所以A(0,1,0),B(3,0,0),P(0,1,1),故CB=(3,0,0),CP=(0,1,1),AB=(3,-1,0),AP=(0,0,1).設平面CPB的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·CB不妨令y1=1,則z1=-1,故n1=(0,1,-1).設平面APB的法向量為n2=(x2,y2,z2),由n2·AB=0n2·于是|cos<n1,n2>|=|n1·n2所以平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值為6412.(多選題)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,則()A.A1D⊥AFB.D1C與平面AEF所成角的正弦值為2C.二面角A-EF-C的余弦值為1D.平面AEF截正方體所得的截面周長為25+32【解析】選BD.由題意知A1D⊥AC1,所以A1D⊥AF錯誤,故A錯誤;以點D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,則D1(0,0,2),E(1,2,0),F(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),則CD1=(0,-2,2),AE=(-1,2,0),設平面AEF的法向量n=(x,y,z),則n·令x=2,則n=(2,1,2),設D1C與平面AEF所成角為θ,則sinθ=|cos<CD1,n>|=|CD1易得平面CEF的一個法向量為m=(0,1,0),cos<m,n>=m·n|m|·|所以二面角A-EF-C的余弦值為-13因為E,F分別是棱BC,CC1的中點,所以EF∥BC1,因為AD1∥BC1,即EF∥AD1,所以平面AEF截正方體所得截面為四邊形EFD1A,因為正方體的棱長為2,所以AD1=22,EF=2,AE=D1F=4+1=5,所以平面AEF截正方體的截面周長為25+32,故D正確.13.手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力,使學生在德、智、體、美、勞等方面得到全面發(fā)展,某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形,其直觀圖如圖所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分別是棱AB,C1E,BB1,A1F的中點,則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.

【解析】如圖,以D為坐標原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,因為A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,所以P(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2),N(2,1,5),所以PQ=(-2,1,5),MN=(0,-3,3),所以cos<PQ,MN>=PQ·MN|PQ|·|因為異面直線PQ與MN所成角為銳角,所以異面直線PQ與MN所成角的余弦值是215答案:214.(2023·全國甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)求證:AC=A1C;(2)若直線AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.【解析】(1)如圖,因為A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC,又BC⊥AC,A1C,AC?平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又BC?平面BCC1B1,