樣條提出的原因

數(shù)學(xué)建模MathematicalModeling

2.1Method-1：ModelingwithExperiments2.2Method-2：ModelingwithSimulation2.3RealizationwithMatlabChapter2MethodsofMathematicalModelingandRealizationwithMatlab2.1ModelingwithExperiments提出的原因：

許多情況下，建模者不能構(gòu)造一個滿意的解釋已知狀況的易于處理的模型形式，此時為預(yù)測其狀況，可以進行試驗采集數(shù)據(jù)以構(gòu)造經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?.1.1簡單的單項模型

2.1.2高階多項式模型

2.1.3低階多項式模型

2.1.4三階樣條模型

2.1.5構(gòu)造經(jīng)驗?zāi)Ｐ托〗Y(jié)實驗建模Section：1992年《每日評論》報告了收集到的過去50年中Chesapeake還玩海產(chǎn)品收成方面的數(shù)據(jù)，如下:(a)收獲藍魚的觀測數(shù)據(jù)；(b)收獲藍蟹的觀測數(shù)據(jù)2.1.1簡單的單項模型:HarvestingBlueFish/Crabs利用變量z的冪次階梯表，幫助選擇適當?shù)木€性變換冪次階梯……選取logy對x的模型，用最小二乘擬合模型為了有一個簡單的單項模型，我們接受某些誤差對于收獲的藍魚，可見數(shù)據(jù)傾向為增的、凹的，使用冪次階梯擠壓右側(cè)尾部向下，采用logy或者其他階梯向下的變換代替y選取

代替x的模型，用最小二乘擬合模型對于收獲的藍蟹，可見數(shù)據(jù)傾向為增的、下凹的，改變y的值為或等，來線性化數(shù)據(jù)有時會需要對未來進行預(yù)測或者外推，而實際上這些簡單的模型預(yù)測出的結(jié)果會偏大或者偏小，因此，簡單但想模型一般應(yīng)用于插值二而非外推。2.1.2高階多項式模型

單項模型----------易于進行模型分析：敏感性分析、優(yōu)化、變化率以及曲線下

面積估計；可用性有限；多項式模型-------容易積分、微分Section：ElapsedTimeofaTapeRecorder收集一個特定的錄音機的計數(shù)器讀數(shù)（旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)）和相應(yīng)的錄音機的播放時間。如何預(yù)測可能出現(xiàn)的情況？Ci100200300400500600700800ti(s)2054306779451233154218722224經(jīng)驗?zāi)Ｐ褪峭ㄟ^數(shù)據(jù)的每一點的多項式，8個數(shù)據(jù)點，應(yīng)期望一個最高為7的唯一多項式，記作:代入上述8個數(shù)據(jù)點，你和曲線，求得的值求解得到：經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛿?shù)據(jù)擬合結(jié)果對比：經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛿M合數(shù)據(jù)，并進行數(shù)據(jù)預(yù)測a0-13.9999923a1232.9119031a2-29.08333188a319.78472156a4-5.354166491a50.8013888621a6-0.0624999978a70.0019841269ci100200300400500600700800ti2054306779451233154218722224P72054306779451233154218722224Theorem1：如果，是（n+1）個不同的點，而是這些點上對應(yīng)的觀測值，那么，存在一個唯一的最高階為n的多項式P(n)，具有性質(zhì)：

對k=0,1,…,n這一多項式由下式給定

其中

多項式的拉格朗日形式：高階多項式的優(yōu)缺點：雖然通過已知的數(shù)據(jù)點，但是在端點處會有嚴重的擺動；對于已有數(shù)據(jù)給出精確的擬合結(jié)果，但在端點出可能做出了有問題的預(yù)測，如突升或者突降；

高階多項式系數(shù)對數(shù)據(jù)微小變化的敏感性限制了它在建模中的應(yīng)用。

2.1.3低階多項式模型

選擇低階多項式，保證數(shù)據(jù)點多于確定多項式所需系數(shù)，從而使得低階多項式雖不通過全部數(shù)據(jù)點，但是光滑化。Section:ElapsedTimeofaTapeRecorderRevisited1、應(yīng)該用多項式嗎？2、如果應(yīng)該，幾階多項式合適？對于一個二次多項式，其二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)為零，即有引入均差概念利用導(dǎo)數(shù)定義：則可以利用均差來估計導(dǎo)數(shù)帶式錄音機數(shù)據(jù)的均差表表中可以看出，數(shù)據(jù)基本是二次的，支持用二次多項式作為經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。尋求一個二次式，極小化偏差平方和存在極小點的必要條件是：從而有方程：其中m=8，表示計數(shù)器讀數(shù)，即xi/100,ti表示對應(yīng)的播放時間得到SplineModelsLinearSplineModelsSecond-OrderSplineModelsCubicSplineModels

分段線性插值節(jié)點處一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)（不光滑）在節(jié)點處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)每兩個相鄰節(jié)點組成的區(qū)間中推導(dǎo)

一個二階多項式節(jié)點處具有連續(xù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)每兩個相鄰節(jié)點組成的區(qū)間中推導(dǎo)

一個三階多項式三階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù)2.1.3三階樣條模型

2.1.3三階樣條模型

低階多項式的缺點——可能在數(shù)據(jù)范圍的某些地方擬合相當差三階樣條插值——在連續(xù)的數(shù)據(jù)點間使用不同的三階多項式，追蹤數(shù)據(jù)趨勢，既保證基本關(guān)系的特征，又減少擺動的傾向和數(shù)據(jù)變化的靈敏性xi123yi5825對于下面一組數(shù)據(jù)：在區(qū)間,中分別定義樣條函數(shù)1、每一樣條必須通過其定義區(qū)間的端點

通過（1,5）和（2,8）；通過（2,8）和（3,25），即2、在內(nèi)部數(shù)據(jù)點處，鄰接的一階導(dǎo)數(shù)必須匹配——保證光滑性3、每一內(nèi)部數(shù)據(jù)點鄰接的二階導(dǎo)數(shù)必須匹配則需要滿足以下4個條件：和即即

區(qū)間模型4、端點處的二階導(dǎo)數(shù)滿足2種常用條件——自然樣條：為0；強制樣條：為給定的f(x)即整理上述8個方程組成的線性方程組，就可以求得唯一解從而能夠進行數(shù)據(jù)預(yù)測

區(qū)間模型…………問題描述：預(yù)測車輛總的停止距離速度v（英里/小時）20253035404550距離d（英尺）425673.591.5116142.5173速度v（英里/小時）556065707580

距離d（英尺）209.5248292.5343401464

對每個區(qū)間進行三階樣條插值，得到如下模型2.1.4小結(jié)：構(gòu)造經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛦雾椖Ｐ筒贿m合多項式模型（n-1)階多項式數(shù)據(jù)量小數(shù)據(jù)量大光滑化----低階多項式不適合三階（或者線性）樣條2.2ModelingwithSimulation提出的原因：某些情況下，對對象的行為進行直接觀測或者重復(fù)實驗是不可行的，或者某些模式的試驗系統(tǒng)是不存在的，需要采用比例縮放或者其他手段進行模擬2.2.1確定行為的模擬2.2.2隨機行為的模擬2.2.3存儲模型2.2.4排隊模型模擬建模2.2.1確定行為的模擬以曲線下的面積為例說明蒙特卡羅模擬在確定行為建模中的應(yīng)用在矩形域中隨機選擇一點P(x,y)，即產(chǎn)生兩個滿足,的隨機數(shù)x,y,則有計算面積的蒙特卡羅算法(MonteCarloAreaAlgorithm)：Input:模擬中產(chǎn)生的隨機點總數(shù)nOutput:

AREA=給定區(qū)間上曲線下的近似面積，

其中

Step1:初始化：counter=0；Step2:對i=1,2,…,n,進行3~5步Step3:計算隨機坐標和，滿足，Step4:對隨機坐標計算Step5:若，則counter+1;否則counter不變Step6:計算Step7:輸出（AREA)STOP2.2.2隨機行為的模擬概率——研究隨機性、不確定性及量化各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。概率可以看作長期的平均值.擲一個正規(guī)的骰子(RollofaFairDie)擲一個正規(guī)的骰子并加以旋轉(zhuǎn)，需定義6個事件的方法，因為骰子由數(shù){1,2,3,4,5,6}組成，每個事件出現(xiàn)的概率是1/6。指定數(shù)值出現(xiàn)的概率為：投正規(guī)骰子的蒙特卡羅算法投擲10,100,1000,10000，100000次的結(jié)果如下，可以看到投擲100000次接近期望結(jié)果下面考慮每個事件不是等可能出現(xiàn)的隨機模型按照經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，給骰子的幾個面加上權(quán)重，使之偏移算法中采取的函數(shù)投擲不正規(guī)的骰子的蒙特卡羅算法投擲不正規(guī)的骰子出現(xiàn)的結(jié)果2.2.3存儲模型(InventoryModel)SectionDescription：某人受雇于一家加油站連鎖店當顧問，要確定每隔多長時間及把多少汽油運送到各個加油站。Analysis：每次運送汽油都要支付費用d，它是與運送量無關(guān)的附加費用決定費用的其他因素有：存儲中凍結(jié)的資金、分期償還的設(shè)備費用、保險費、稅費、安全檢測費RaisetheQuestion：最小化每天平均的運費，并且每個加油站存儲足夠的汽油以滿足消費需求Modeldeveloped日平均費用=f(存儲費，運費，需求率)對日平均費用建立一個分析子模型，用它得到最優(yōu)的運送時間間隔和最優(yōu)運量：其中T*=最優(yōu)運送時間間隔（天）Q*=汽油最優(yōu)運量（加侖）r=汽油日需求量d=每次運送的費用（元）s=每加侖汽油每天的存儲費Assuptions單位存儲量的費用是常數(shù)每次運送的費用是常數(shù)；日需求量為常數(shù)統(tǒng)計特定的一個加油站需求量的記錄，將出現(xiàn)頻率最高的需求量作為日需求量常數(shù)，則根據(jù)上述分析子模型就能夠計算T*和Q*了本例中選擇1500加侖作為日需求量模型改進：不滿意常數(shù)需求量的假設(shè)，建立需求量出現(xiàn)的概率區(qū)間取每個區(qū)間中間點，再進行樣條插值對應(yīng)得到的經(jīng)驗需求子模型的線性樣條求逆函數(shù)，則能夠得到需求量q關(guān)于自變量（隨機數(shù)x）的函數(shù)可以進一步改進，采用三次樣條插值2.2.3排隊模型(QueuingModels)Section：AHarborSystem考察一個帶有船只卸貨設(shè)備的小港口，任何時間僅能為一艘船只卸貨。船只進港是為了卸貨，相鄰兩艘船到達的時間間隔在15分鐘到145分鐘之間變化，一艘船只卸貨的時間由所卸貨物的類型決定，在45分鐘到90分鐘之間變化。Question：每艘船只在港口的平均時間和最長時間是多少？若一艘船只的等待時間是從到達到開始卸貨的時間，每艘船只的平均等待時間和最長等待時間是多少？卸貨設(shè)備空閑時間的百分比是多少？船只排隊最長的長度是多少？Assumption相鄰兩艘船到達的時間間隔在一定時間區(qū)間內(nèi)均勻分布，如15<=between_i<=145每艘船只卸貨的時間一定時間區(qū)間內(nèi)均勻分布，如45<=unload_i<=90對每艘船只有以下數(shù)據(jù)船1的卸貨過程依次類推表述出船只和碼頭設(shè)備的空閑和卸貨時間五艘假想船只的模擬結(jié)果通過統(tǒng)計對各種管理模式進行估計，以確定是否值得為改善服務(wù)而增加費用100艘船港口系統(tǒng)的模擬結(jié)果改進：通過雇傭更多的勞動力，或者得到更好的卸貨設(shè)備，使卸貨時間減少到每艘船35~75分鐘對之前的假設(shè)15<=between_i<=145及45<=unload_i<=90且服從均勻分布不滿意進一步改進：收集港口系統(tǒng)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，并將結(jié)果并入我們的模型將船到達間隔的單個的概率連續(xù)地加在一起，也將卸貨時間的單個的概率連續(xù)地加在一起，就得到累積直方圖取區(qū)間中間值，并進行樣條插值將線性樣條子模型并入港口系統(tǒng)模型，得到2.3RealizationwithMatlab2.3.1數(shù)據(jù)的讀入讀出MATLAB提供了多種數(shù)據(jù)處理方法，一種是將數(shù)據(jù)輸出，然后復(fù)制粘貼到其他軟件中進行處理，另一種是與Excel和記事本之間進行數(shù)據(jù)交互，后者較為方便。MATLAB與Excel的數(shù)據(jù)交互采用MATLAB中的Excellink插件，連接Excel和MATLAB使得用戶可以在Excel工作表空間和宏編程工具中使用MATLAB的數(shù)值計算和圖形處理。設(shè)置方法：啟動Excel，選擇菜單“工具”項下的“加載宏”項，彈出宏對話框，選中ExcelLink項。如果不存在，則通過瀏覽目錄，在MATLAB\toolbox\exlink文件下找到excllink.xla文件單擊確定。MATLAB與記事本的數(shù)據(jù)交互讀取數(shù)據(jù)當記事本中全部是數(shù)據(jù)時，可用函數(shù)load，形式為：Load(‘filename.***’)當記事本中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜時，函數(shù)textread是最優(yōu)選擇，規(guī)則為：[A,B,C,…]=textread(‘filename’,’format’,N)其中A,B,C,…為每一列數(shù)據(jù)將要保存的變量名；format為讀取格式；N為讀取次數(shù)示例：寫入數(shù)據(jù)用save命令，具體形式：savefileobj1obj2…結(jié)果:將變量obj1,obj2,…存入文件file中（為.mat格式）若想保存為平常的.txt文檔，可以有其它軟件讀取，如函數(shù)fprintf說明：%s表示字符串（sting)%f表示浮點數(shù)（float）%u表示十進制數(shù)\n表示換行fopen()表示打開文件fclose()表示關(guān)閉文件wt表示寫入fprint(fid,’thisis….’)表示直接