北京三年2020-2022高考數(shù)學(xué)真題按題型分類匯編-解答題（含解析）

北京三年2020-2022高考數(shù)學(xué)真題按題型分類匯編一解答題

（含解析）

一、解答題

1.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C；

（2）若6=6,且AABC的面積為66，求AABC的周長(zhǎng).

2.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-44。中，側(cè)面BCG4為正方形,

平面BCC4,平面AB=BC=2,M,N分別為丹與，AC的中點(diǎn).

⑴求證：〃平面BCG4；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面8A/N所成

角的正弦值.

條件①：ABLMN,

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,

比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)

及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證

明)

22

4.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知橢圓：氏=+2=1(°>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,l),

ab

焦距為2班.

⑴求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(-2,1)作斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線AB,AC分別與

x軸交于點(diǎn)N,當(dāng)|MN|=2時(shí)，求上的值.

5.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e，ln(l+x).

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(。,/(。))處的切線方程；

⑵設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,內(nèi))上的單調(diào)性；

(3)證明:對(duì)任意的sJw(0,+8),Wf(s+t)>f(s)+f(t).

6.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知。：％,出,…,如為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)〃z,若

對(duì)任意的"e{1,2,…,刈，在。中存在即4+1，6+2,.??，《+/0^0),使得

ai+aM+ai+2+"-+ai+j=n,則稱。為根-連續(xù)可表數(shù)列.

⑴判斷。：2』,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

⑵若Q：%,出,…，4為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：上的最小值為4；

⑶若Q：%,%…，4為20-連續(xù)可表數(shù)列，且可+。2+…+4<20,求證：k>1.

7.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在正方體ABC。-4月￡。中，￡為B片的中點(diǎn).

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

（II）求直線用與平面ARE所成角的正弦值.

8.（2020.北京?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，a+b=ll,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條

件中選擇一個(gè)作為己知，求：

（I）。的值：

（II）sinC和AABC的面積.

條件①：c=7,cosA=-y；

19

條件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

9.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活

動(dòng)方案：方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（I）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（II）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有

2人支持方案一的概率；

（III）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為Po，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和

300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為A，試比較P。與

Pi的大小.（結(jié)論不要求證明）

10.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)了（功=12-尤2.

（I）求曲線y=的斜率等于-2的切線方程；

（II）設(shè)曲線y=在點(diǎn)⑺）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為s（r）,求

s⑺的最小值.

22

11.(2020?北京.統(tǒng)考高考真題)已知橢圓C:與+與=1過(guò)點(diǎn)4-2,-1),且々=勸.

ab

(I)求橢圓C的方程：

(II)過(guò)點(diǎn)8(-4,0)的直線/交橢圓c于點(diǎn)M,N,直線舷4,N4分別交直線x=-4于點(diǎn)

P2求溪的直

12.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)已知｛%｝是無(wú)窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì)：

2

①對(duì)于｛4｝中任意兩項(xiàng)％為(，＞/)，在｛4｝中都存在一項(xiàng)。加，使，加；

aj

②對(duì)于｛%｝中任意項(xiàng)。,在｛%｝中都存在兩項(xiàng)氏，。/(左＞/).使得

(I)若4=〃("=1,2,…)，判斷數(shù)列｛4｝是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；

1

(II)若an=2-(〃=1,2,...),判斷數(shù)列｛4｝是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由;

(III)若｛4｝是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：｛4｝為等比數(shù)列.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.⑴！

6

(2)6+673

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C的

值；

(2)利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ULBC的周

長(zhǎng).

【詳解】(1)解：因?yàn)镃e(O/),則sinC>0,由已知可得指sinC=2sinCeosC,

可得cosC=走，因此，C=j

26

(2)解：由三角形的面積公式可得1ABe=；4加山。=：。=66，解得°=4/.

由余弦定理可得c?=/+62-2abcosC=48+36-2x4石x6x且=12,:,c=2后,

2

所以，AA5c的周長(zhǎng)為a+b+c=6有+6.

2.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)取4B的中點(diǎn)為K,連接〃K,NK,可證平面M3〃平面BCC4,從而可證MN〃

平面BCGA.

(2)選①②均可證明8百，平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量可求線面角的正弦值.

【詳解】(1)取A3的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-可得四邊形ABBtAt為平行四邊形，

而耳MM4p3K=K4,則MK//BB,,

而MK.平面BCC4，平面BCC4，故MK〃平面BCC4,

答案第1頁(yè)，共21頁(yè)

而CN=NA,BK=KA,則腔〃BC,同理可得NK〃平面BCC#,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCC4,而"Nu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

（2）因?yàn)閭?cè)面BCC再為正方形，故

而C3u平面BCC,B,,平面CBB（11平面ABB}\,

平面CBBGc平面ABB^=BBl,故CB_L平面ABB^,

因?yàn)镹K//BC,故NK_L平面48與4,

因?yàn)锳5u平面43瓦4，故NKLAB,

若選①，則AB_LM?V,而NKJ_A6,NK^MN=N,

故AB/平面MAK,而MKu平面MNK,故AB_LA/K,

所以而CB_LB2],CBcAB=B,故2與，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=(0,2,0),麗=(1,LO),兩=(O,L2),

設(shè)平面BNM的法向量為〃=（尤,y,z）,

n-BN=0x+y=0

,從而取z=—l,則”=(-2,2,-1),

n-BM=0y+2z=0

設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為6,則

若選②，因?yàn)镹K〃夕C,故NK_L平面A844，而KMu平面MKN,

故NKLKM,而B(niǎo)M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B(niǎo)1B=MK=2,MB=MN,故ABB、M*MKN,

所以ZBBtM=ZMKN=90°,故4用1BBl,

而CBcAB=B,故5耳，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l』,0）,M（0,l,2）,

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

故麗=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗=(O,l,2),

設(shè)平面BMW的法向量為〃=(x,y,z),

fn-BN—0f%+y=0—，.

則kFZ從而CC，取z=—l，則〃=-2,2,-l,

[fi-BM=01y+2z=0''

設(shè)直線A3與平面BMW所成的角為6,則

3.(1)0.4

⑶丙

【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

（3）計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)

值最大.

【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件4

------3

p（x=0）=P（A44）=0.6x0.5x0.5=,

p（x=1）=P（AAA）+P（444）+p（44a）

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P(X=2)=p(a&A)+尸(A44)+P(AAA)

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P(X=3)=P(A44)=0.4x0.5x0.5=.

???X的分布列為

X0123

3872

P

20202020

38727

石(X)=0x——+lx——+2x—+3x——二

202020205

（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為3，甲獲得9.80

的概率為［，乙獲得9.78的概率為，并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越

106

多，對(duì)丙越有利.

4.(1)—+/

4

⑵無(wú)=T

b=\

【分析】（1）依題意可得2c=26,即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2=a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設(shè)網(wǎng)%,%）、C值,%）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)

定理，由直線AB、AC的方程，表示出X”、xN,根據(jù)卜|孫-泡|得到方程，解得即可;

【詳解】（1）解：依題意可得6=1,2c=26,又。2=“2一加，

所以。=2,所以橢圓方程為土+y2=l；

4

（2）解：依題意過(guò)點(diǎn)尸（-2,1）的直線為y-1=為為+2）,設(shè)8（%,%）、C（x2,y2）,不妨令

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

-2<^<x2<2,

y-l=k（x+2）

由2,消去y整理得（1+4%2）￡+（16左2+8人）％+16左2+16左=0,

彳+y=1

所以A=（16廿+認(rèn)）2-4（1+4陰（16左2+169>0,解得k<0,

r-r-KI16左~+Sk16k2+16左

xx

所以玉+%=--1+鍬2，r2=1+442

直線AB的方程為y-1=%匚X,令尸。，解得“意

X

<Vo—1

直線AC的方程為令y=o,解得/=#-

x21-%

所以門(mén)一年=|磯巧+2)&+2),

2c

16k2+8kI,I6k2+16k616/+16左（16左2+8左

即-4x......—^\1k\1-------+2-+4

1+442I1+4左21+4左21+442

BP^（2,2+4）2_（1+4/）仔+4）=[16左2+16左一2（16左2+8左）+4（1+4左2）]

整理得8G=4陽(yáng)，解得上=-4

5.(1)丫=%

⑵g(x)在［0,+s)上單調(diào)遞增.

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；

(3)令皿x)=/(x+r)-/(x),(x,r>0),即證機(jī)(無(wú))>加(0),由第二問(wèn)結(jié)論可知根(X)在［0,+00)

上單調(diào)遞增，即得證.

【詳解】⑴解:因?yàn)榻鈞)=e，ln(l+x),所以〃0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又小)=或比(皿)+占,

.?.切線斜率左=尸(0)=1

切線方程為：丁=工

⑵解：因?yàn)間(x)=「(x)=e，(ln(l+x)+占),

21

所以g⑷=e*(ln(l+x)+--石彳),

令力—+占一.’

i22x2+l

貝U"(X)=-HT=--------T>0,

1+x(1+x)2(1+x)3(1+X)3

Mx)在［0,”)上單調(diào)遞增,

h(x)>/z(0)=1>0

?**g'(x)>。在［0,+8)上恒成立，

???g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)解：原不等式等價(jià)于/(s+，)-/(§)>/(%)-/(0),

令m(x)=/(%+力一f(x),(x,r>0),

即證相(%)>加(。),

*/m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(l+x+t)-exln(l+x),

x+tx

加(x)=ex+tln(l+x+t)-\----e---------exln(l+x)---e-----=g(x+/)—g(x),

1+x+t1+x

由(2)知8(%)=/'(%)=匕*(山(1+兀)+1^)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

.??g(x+t)>g(x),

答案第6頁(yè)，共21頁(yè)

/.m(x)>0

在(O,+8)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閄J>O,

/.機(jī)(x)>機(jī)(0),所以命題得證.

6.(1)是5-連續(xù)可表數(shù)列；不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

(2)證明見(jiàn)解析.

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)直接利用定義驗(yàn)證即可；

(2)先考慮左43不符合，再列舉一個(gè)左=4合題即可；

(3)左45時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論左=6時(shí)，由/+%+…+4<2?？芍?/p>

面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是-1,然后分類討論驗(yàn)證不行即可.

(1)

a2=l,4=2,a,+a2=3,a3=4,a2+a3=5,所以。是5-連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存

在iJ使得?,-+aM+-■■+ai+j=6,所以。不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

(2)

若左43,設(shè)為"c,則至多o+b,b+c,a+b+c,a,b,c,6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有8個(gè)，矛盾；

當(dāng)左=4時(shí)，數(shù)列Q：L4,1,2，滿足q=1,%=2,%+%=3,%=4,%+%=5,q+%+%=6,

。2+/+〃4=7,%+%+。3+。4=8,媼=4.

(3)

。9，出,…，怎，若，=/最多有七種，若/九最多有C：種，所以最多有無(wú)+或=處皿種,

-2

若左45,則％,出,…,4至多可表空⑴=15個(gè)數(shù)，矛盾，

2

從而若左<7,則％=6,a,6,c,d,ej至多可表曾1=21個(gè)數(shù)，

^ja+b+c+d+e+f<20,所以其中有負(fù)的，從而。,6,。,3,土/可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)(恰21

個(gè))，這表明。~了中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0,且這個(gè)負(fù)的在。~了中絕對(duì)值最小，同時(shí)。~了中沒(méi)

有兩數(shù)相同，設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為-機(jī)(機(jī)21)，

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

貝U所有數(shù)之和之，“+1+〃Z+2H-----\-m+5—m=4m+15,4m+15<19=>??i=l,

.■.{a,b,c,d,e,f}={-l,2,3A5,6},再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足20個(gè),

,.?1=-1+2（僅一種方式），

.?.-I與2相鄰,

若-1不在兩端，則"三,T,2,形式,

若x=6,則5=6+（T）（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），

:.x^6,同理XN5,4,3,故-1在一端，不妨為"zl，2,A旦G2”形式，

若4=3,則5=2+3（有2種結(jié)果相同，矛盾），A=4同理不行，

A=5,則6=-1+2+5（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而4=6,

由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相鄰,、

故只能一1,2,6,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②

這2種情形，

對(duì)①：9=6+3=5+4,矛盾，

對(duì)②：8=2+6=5+3,也矛盾，綜上上W6,

當(dāng)Z=7時(shí)，數(shù)列1,2,4,5,8,-2,T滿足題意，

:.k>l.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，先理解題意，是否為機(jī)-可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)（可以

是一項(xiàng)）之和能表示從1到加中間的任意一個(gè)值.本題第二問(wèn)左43時(shí)，通過(guò)和值可能個(gè)數(shù)否

定女43；第三問(wèn)先通過(guò)和值的可能個(gè)數(shù)否定發(fā)45,再驗(yàn)證左=6時(shí)，數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合

必然是{T,2,3,4,5,6}的一個(gè)排序，可驗(yàn)證這組數(shù)不合題.

7.（I）證明見(jiàn)解析；（H）

【分析】（I）證明出四邊形為平行四邊形，可得出2C//AR,然后利用線面平行的

判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；

（II）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.

【詳解】（I）［方法一］：幾何法

如下圖所示：

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

在正方體ABCO-AAG，中,ABIRB、且AB=A1B],ABJ/CQ、且44=CR,

.?.48//￡R且48=6口,所以，四邊形ABG2為平行四邊形，則BCJ/AQ,

?.?8C]n平面ARE，AZ)[U平面AD]E,,BC]〃平面A，E；

[方法二]:空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.AB,AA所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

設(shè)正方體ABCD-AB￡A的棱長(zhǎng)為2,則A（0,0,0）、4（0,0,2）、0（2,0,2）、￡（0,2,1）,

皿＞（2,0,2）,通=（0,2,1）,

一/、\h-AD,=0f2%+2z=0

設(shè)平面A?E的法向量為〃=X,y,z,由一I,得C八，

n-AE=Q|2y+z=0

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

令z=—2,貝！|x=2,y=l,則萬(wàn)=（2,1,—2）.

又：向量南=（2,0,2）,^>i=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又平面.1BQ//平面A￡）1E；

（II）［方法一］:幾何法

延長(zhǎng)CG到P,使得GF=8E,連接石/，交Bg于G,

又?.?C//ABE,.?.四邊形8EPG為平行四邊形，尸，

又?/BC\IIAD\ADj//EF，所以平面ARE即平面ADtFE,

連接。。，作G"垂足為“，連接我，

,?FG1平面4月C1〃,DXGu平面4月GR,Fq1RG,

又?:FC。QH=G,/,直線Dfi±平面C/H,

又直線Dfiu平面RGF,：.平面DfiF1平面QFH,

G在平面DfiF中的射影在直線FH上,???直線FH為直線FG在平面DfiF中的射影,

ZC.FH為直線FQ與平面DfiF所成的角，

根據(jù)直線FCJ!直線AA,可知ZC/H為直線AA與平面ADfi所成的角.

2x12

則GG=GP=1,〃G=6；.CH=

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,t石一君

C[H_2

sinZCjFH=

FH-3

7

即直線朋與平面ARE所成角的正弦值為;.

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

［方法二］:向量法

接續(xù)（I）的向量方法，求得平面平面ARE的法向量3=（2,1,-2）,

__,—..,幾'AA.42

又???明=（。,0,2）,cos<",M>=閑=一石=一§，

???直線AA與平面ARE所成角的正弦值為;.

［方法三］:幾何法+體積法

如圖，設(shè)的中點(diǎn)為R延長(zhǎng)4耳,人民。尸，易證三線交于一點(diǎn)P.

因?yàn)樗ˋR,

所以直線M與平面ARE所成的角，即直線B}E與平面PEF所成的角.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,在！PE尸中，易得PE=PF=下,EF=母,

3

可得凡

1311

由/棱鴨-尸M=七棱鼾-且所，M-X-=-x—X1X1X2,

7

整理得4H=1.

所以sinNB［EH=當(dāng)，=；.

所以直線A4與平面所成角的正弦值為1.

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

［方法四］:純體積法

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)A到平面AEDt的距離為h,

在△AEQ中，AE=45,ADi=141,D,E=3,

。尸+盤(pán)―師_9+5-8_非

cosZAEDX=

2D{E'AE2x3x逐5

所以sin/AED、=~~，易得口皿二3.

114

由^E-AAXDX~^Ai-AEDi，得?A4=3SAAED、，h9解得a=；,

.八〃2

設(shè)直線用與平面AE2所成的角為0,所以=7丁=￡.

【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

進(jìn)行證明；

（11）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)

生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算

論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；

方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論

證，不失為一種優(yōu)美的方法.

8.選擇條件①（I）8（II）sinC=—,S=6A/3;

2

選擇條件②（I）6（II）sinC—~~~，S=—?

44

【分析】選擇條件①（I）根據(jù)余弦定理直接求解，（H）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinA,

再根據(jù)正弦定理求sinC,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

選擇條件②(I)先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinAsinB,再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，(II)

根據(jù)兩角和正弦公式求sinC,再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.

【詳解】選擇條件①(I)?.-c=7,cosA=-1,a+b^ll

■-a2=b2+c2-2bccosA:,a2=(ll-iz)2+72-2(ll-iz)-7-(-y)

.,.a=8

(II),/cosA=,A￡(0,4)sinA=—cos?A=

77

ac87.「G

由正弦定理得：sinAsinC4乖)sinC2

S=；basinC=(11-8)x8x=6^3

19

選擇條件②(I)vcosA=-,cosB=一，A,BE(0,7i)

816

/.sinA=A/1-COS2A=^^-,sinB=A/1-COS2B=

816

....a......-b____a,-------_\_\_-_a_-Q-6,

由正弦定理得：sin^—sinB一3夕—亞…

~8~~16~

/TT\.'(\D\-A.3A/795>/71V7

Qli7sinC=sin(A+B)=sinAcosBD+sinBDcosAA=-----x1--------x—=

8161684

a17,「1心小公幣15幣

S=-basinC=—(H-6)x6x——=-------

2244

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔

題.

13

9.（I）該校男生支持方案一的概率為:，該校女生支持方案一的概率為:；

13

（II）W（III）Pl<Po

36

【分析】（I）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；

（II）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果;

（III）先求Po，再根據(jù)頻率估計(jì)概率Pi，即得大小.

【詳解】（I）該校男生支持方案一的概率為二^二!，

200+4003

該校女生支持方案一的概3率00為=43；

300+1004

（II）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一,

Ia1141a

所以3人中恰有2人支持方案一概率為：匕)2(1-7)+&6)(1;=前；

3433436

(HI)Pl<P0

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬

基礎(chǔ)題.

10.(I)2x+y-13=O,(II)32.

【分析】(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；

(II)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角

形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.

【詳解】(I)因?yàn)椤▁)=12-尤2,所以解(x)=-2x,

設(shè)切點(diǎn)為(為,12-2),則-2/=-2,即%=1,所以切點(diǎn)為(1,2),

由點(diǎn)斜式可得切線方程為：y-ll=-2(x-l),即2x+y—13=0.

(ID［方法一］：導(dǎo)數(shù)法

顯然蜂0,因?yàn)閥=/(無(wú))在點(diǎn)”,12-4處的切線方程為：y一-2《xT),

令x=0,得y=〃+i2,令y=°,得1=^_^,

2t

所以5(。=夫行+12)-箸，

乙乙I4I

不妨設(shè)t>0?<0時(shí)，結(jié)果一樣)，

則§⑺/+2：；+144=*+24/+?),

所以S")=L3/+24-學(xué))=3(,+城一48)

4t4r

3(』-4)(』+12)3(/-2)(r+2)(d+12)

=4?=4?'

由S'(r)>0,得］>2,由S(r)<0,得0</<2,

所以S⑺在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

所以f=2時(shí)，S⑺取得極小值，

也是最小值為5(2)=電誓=32.

O

［方法二］【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

答案第14頁(yè)，共21頁(yè)

.(產(chǎn))；

s*■篙+12=.(^o).

-Id-

2

因?yàn)镾⑴為偶函數(shù)'不妨設(shè)S⑺=；?r+12

令〃=",則。=〃2,Q>0.

令g(a)=《±U,則面積為S=1g(a)f,只需求出g(q)=《±U的最小值.

a4a

2

.4/?Q—/_123a4-123(4-2)(/+2)3(a-V2)(fl+V2)(a+2)

g(4)=一/一

因?yàn)椤?gt;0,所以令g'(a)=0,得0=虛.

隨著a的變化，g'(a),g(a)的變化情況如下表:

a(o,@(亞,+8)

g'S)-0+

g⑷減極小值增

所以［g(a)］mi?=g(夜)=￡=8萬(wàn).

所以當(dāng)。=&，即仁2時(shí)，［5(；)］3=%(8夜)2=32.

因?yàn)榧阿耍轂榕己瘮?shù)，當(dāng)r<0時(shí)，［S⑺1mto=5(-2)=S(2)=32.

綜上，當(dāng)t=±2時(shí)，S0)的最小值為32.

［方法三］:多元均值不等式法

同方法二，只需求出g(a)="^(。>0)的最小值.

a

人，、/+123444、//444。6

令g(a)=---------=aH1-----1—N組a3-----------=8,2,

aaaayaaa

當(dāng)且僅當(dāng)即q=0時(shí)取等號(hào).

a

所以當(dāng)。=血，即/=2時(shí)，［5(53=；*(8夜)2=32.

因?yàn)镾⑺為偶函數(shù)，當(dāng)/<0時(shí)，［5。)］*=5(-2)=5(2)=32.

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

綜上，當(dāng)t=±2時(shí)，S⑺的最小值為32.

［方法四］:兩次使用基本不等式法

同方法一得到

（-+12）2（「+12）2（-+4）2+16（/+4）+64

+4）+-^-+16>2A/64+16=32

4|?|"產(chǎn)+4f2+4

,r+4

，下同方法一.

【整體點(diǎn)評(píng)】（II）的方法一直接對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，

確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為

簡(jiǎn)潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識(shí)最少，配湊巧妙，技巧性較高.

22

11.（I）土+上=1;（II）1.

82

【分析】（I）由題意得到關(guān)于a力的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；

（II）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線的方程確定點(diǎn)P,。的縱坐標(biāo)，將線段

長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得上+為=0,從而可得兩

線段長(zhǎng)度的比值.

22

【詳解】（I）設(shè)橢圓方程為：a+方=1（4>6>0）,由題意可得:

3+4=1［a2=8

<ab,斛得：<2個(gè)，

［b2=2

a-2bi

22

故橢圓方程為：—+^=1.

82

（II）［方法一］:

設(shè)/（和弘），N（x2,y2）,直線ACV的方程為：y=k（x+4）,

22

與橢圓方程上+匕=1聯(lián)立可得：%2+4左2（x+4）2=8,

82

即：（4k2+l）x2+32k2x+（Mk2-8）=0,

-32k264k2-8

則：%+々=

直線的方程為：>1=”（計(jì)2）,

令X=T可得：y=_2x工tL-l=-2x左（石+4）+1%］+2—（2左+1）（玉+4）

玉+2%+2%+2玉+2

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

同理可得：+4)

X2+2

很明顯3坨<。,且竺L”,注意到,

p

Q\yQ

%+4+%+4=一⑵+1）X（一+4）（%+2）+（尤2+4）（國(guó)+2）

%+%=-（2k+1）

%+2%+2（玉+2）（x2+2）

而（占+4）?+2）+（*2+4）（髭+2）=2[XR+3（&+々）+8]

6442-8-32左2

=2+3x+8

4抬+1442+1

（64/8）+3x（-32左2）+8（4/+1）

=2x二0,

必2+1

故乃+%=6%=—%.

PByp_

從而該==1

yQ

[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法

①當(dāng)直線/與x軸重合，不妨設(shè)M(-27Io),N(2夜,0),由平面幾何知識(shí)得

4-2^4+2金3,所以需=】

\BP\==A/2,|B2|=

20-220+2

②當(dāng)直線/不與X軸重合時(shí)，設(shè)直線/：x=3-4,由題意，直線/不過(guò)A(-2,-1)和點(diǎn)(-2,1),

x=ty-4,

所以tw±2.設(shè)加（占,%）?。?,%），聯(lián)立/丁得卜2+4}2一跖+8=0.由題意知

----F一=1,

[82

OfQ

A>0,所以產(chǎn)>4.且%+

,yy1+1...

由題意知直線的斜率存在.l:y+l=^—（x+2）.

MAXi+2

當(dāng)％=T時(shí),

一2（%+1）_]=-2y「2--2=-2%-（3一--4=-?+2）y=-Q+2）y

%

%+2再+2%+2再+2一2

丫-?+2)%所以1PBi?+2)必?(例一2)|卜防一2%

同理,2仇-2,尸「"|%|一0+2)為?一2)「辰必-2y2

答案第17頁(yè)，共21頁(yè)

y+y-2y

因?yàn)椤?%=%+%，所以sc尸i2l=1

\D(2\%+%一2%M一%

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一直接設(shè)直線MN的方程為：y=M%+4),聯(lián)立方程消去y,利用韋達(dá)定

理化簡(jiǎn)求解；方法二先對(duì)斜率為零的情況進(jìn)行特例研究，在斜率不為零的情況下設(shè)直線方程

為/:尤=力-4,聯(lián)立方程消去尤，直接利用韋達(dá)定理求得的縱坐標(biāo)，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，應(yīng)

為最優(yōu)解法.

12.(I)詳見(jiàn)解析；(II)詳解解析；(III)證明詳見(jiàn)解析.

【分析】(I)根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；

(II)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；

(III)解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明/=?，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)

%

列為等比數(shù)列即可.

解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得4，%,生成等比數(shù)列，之后證得

4M4,應(yīng)成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.

【詳解】(I)Q出=2,q=3,}=：eZ,{為}不具有性質(zhì)①；

22

(II)QVi,/eN*,i＞"=2⑵e,2"/eN*.?.生=a2T.?.{%}具有性質(zhì)①；

CljQj

QVnwN*,n23,mk=nfl=n—2*==q,,;.{%}具有性質(zhì)②；

al

(III)解法一

首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：

顯然q產(chǎn)。(〃N*),假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)乂=max{”|a“＜0},

第一種情況：若乂=1,即/＜0＜卬＜見(jiàn)＜/＜…，

由①可知：存在嗎，滿足&＜。，存在加2，滿足5=幺＜0，

%4

由乂=1可知a=或，從而外=。3,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.

4ax

答案第18頁(yè)，共21頁(yè)

第二種情況：若N°22,由①知存在實(shí)數(shù)相，滿足冊(cè)=』<0,由N。的定義可知：m<N.,

q

22

另一方面，=由數(shù)列的單調(diào)性可知：m>NQ,

?i%

這與N。的定義矛盾，假設(shè)不成立.

同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).

綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).

2

其次，證明用=毀：

ax

利用性質(zhì)②：取〃=3,此時(shí)%=「（％>/）,

由數(shù)列的單調(diào)性可知ak>ai>Q,

而。3=%,">%,故左<3,

at

2

此時(shí)必有k=2,/=l,即4=區(qū)，

%

最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：

假設(shè)數(shù)列｛%｝的前左（左23）項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)4=叱（l<s<k）,

其中q>0,4>1,（q<0,。<“<1的情況類似）