新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題2-6 導(dǎo)數(shù)大題證明不等式歸類（解析版）

專題2-6導(dǎo)數(shù)大題證明不等式歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01不等式證明方法 1題型02單變量構(gòu)造：利用第一問(wèn)結(jié)論 3題型03單變量構(gòu)造：數(shù)列型 6題型04數(shù)列不等式：無(wú)限和裂項(xiàng)型 11題型05數(shù)列不等式：累積相消型 14題型06數(shù)列不等式：取對(duì)數(shù)型 18題型07虛設(shè)根型證不等式 22題型08利用函數(shù)“凸凹反轉(zhuǎn)性”證明不等式 26題型09同構(gòu)型不等式證明 29題型10雙變量型構(gòu)造 33題型11極值點(diǎn)偏移型：和型證明 36題型12極值點(diǎn)偏移型：積型證明 39題型13極值點(diǎn)偏移型：平方型證明 44題型14三角函數(shù)型不等式證明 47題型15韋達(dá)定理代換型 49題型16切線放縮型證明 53高考練場(chǎng) 56題型01不等式證明方法【解題攻略】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，基本思維方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．【典例1-1】（陜西省澄城縣20121-2022學(xué)年高三試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（2）運(yùn)用（1）的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，可得，可推出結(jié)論.（1）的定義域?yàn)?，，由，可得；，可得，即有f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得在遞減，可得，即有.故有：【典例1-2】已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞),單調(diào)減區(qū)間為(0，1)；(2)見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)明確定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)作差構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的最值即可.【詳解】(1)依題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}，∵f′(x)＝2x-2=，由f′(x)>0，得x>1;由f′(x)<0，得0<x<1∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞),單調(diào)減區(qū)間為(0，1)．(2)設(shè)g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，∴g′(x)＝2x-2--3=，∵當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)>0，∴g(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)，∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，∴當(dāng)x>2時(shí)，x2-2lnx>3x-4,即當(dāng)x>2時(shí)..【變式1-1】（湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)證明：．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合，，解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中所求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得最小值，即可證明.(1)∵，∴，∵曲線在點(diǎn)處的切線方程為，∴，解得，．(2)由（1）知，，∴當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，∴的最小值為，∴，即證.【變式1-2】（湖北省華中師范大學(xué)潛江附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3lnx.(1)若a＝1，證明：f（x）≥1；(2)討論f（x）的單調(diào)性.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最小值，即可得證；（2）對(duì)f（x）求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可解出.(1)若a＝1，則f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，令f′（x）＝0，可得x＝1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）在x＝1處取得極小值，也是最小值，最小值為f（1）＝1，故f（x）≥1.(2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.【變式1-3】（2022·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而證得不等式成立.【詳解】（1），，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即．（2）設(shè)，則．由（1）知，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，，．題型02單變量構(gòu)造：利用第一問(wèn)結(jié)論【解題攻略】一些試題，可以通過(guò)對(duì)第一問(wèn)分類討論，得出一些不等式放縮式子或者放縮方向1.可以利用第一問(wèn)單調(diào)性提煉出不等式2.可以利用第一問(wèn)極值或者最值提煉出常數(shù)不等式3.可以利用題干和第一問(wèn)結(jié)論構(gòu)造新函數(shù)（新不等式）【典例1-1】（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用（1）的結(jié)果，取特殊值代入進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，由，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此；（2）由（1）可知：，即，即，當(dāng)時(shí)，.【典例1-2】（2021下·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)在處有極值2．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由且求得，并檢驗(yàn)0是極值點(diǎn)；（Ⅱ）不等式化為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，最小值大于0，從而證得不等式成立．【詳解】（Ⅰ）解：由已知，，則

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，．要證，只需證．即．

令，則．

令，解得．

，的變化情況如下表所示．1－0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增所以，時(shí)，有最小值．故成立【變式1-1】（2021·四川·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得；（2）依題意即證，即，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性與最值，即可得到，從而得證；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，，解得．?）由（1）可得即證．令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號(hào)）．又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時(shí)取等號(hào)）．所以，即．【變式1-2】（2022下·山東聊城·高三練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并求極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.極小值為,無(wú)極大值；(2)見(jiàn)解析【分析】(1)求出，明確單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；(2)要證當(dāng)時(shí)，即證當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性即可.【詳解】（1），，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值為，無(wú)極大值.（2）令,,由（1）可知在遞增，所以，所以，因此在遞減，當(dāng)時(shí)，即，所以得證.【變式1-3】（20122安徽馬鞍山·統(tǒng)考模擬）已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒成立.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由題意知，令，利用導(dǎo)數(shù)求得有最小值，結(jié)合在定義域內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，得，再驗(yàn)證時(shí)，即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)可得存在唯一的零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,故可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，∵在定義域內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，∴又當(dāng)時(shí)，在和上都單調(diào)遞增也滿足題意，所以.（2），令，由（1）可知在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的零點(diǎn)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴由知即當(dāng)時(shí)，恒成立.題型03單變量構(gòu)造：數(shù)列型【解題攻略】數(shù)列型不等式證明對(duì)于n型數(shù)列不等式證明，可以轉(zhuǎn)化為定義域?yàn)閄1,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)證明不等式。一些特殊形式的數(shù)列不等式，可以通過(guò)選擇合適的換元，構(gòu)造新函數(shù)，注意因?yàn)閚的正整數(shù)屬性，注意對(duì)應(yīng)換元的取值范圍數(shù)列型不等式的證明，一般需要聯(lián)系前面第一問(wèn)的結(jié)論，對(duì)要證明的不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱譁惻鋪?lái)證明【典例1-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，可得，變形即可得證；（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判定的單調(diào)性，利用的單調(diào)性可得，同時(shí)取對(duì)數(shù)變形即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．令，則有，所以，所以，即．（2）由可得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，．令，則有，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于，有，所以，所以，即，整理得：．【典例1-2】2012·河北衡水·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù),其中．(1)當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極值，求；(2)當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)先由得到，再由在處取極值得到，進(jìn)而可得出結(jié)果；(2)先由得，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，令，可得，求解即可得出結(jié)果；(3)先設(shè)，將原不等式化為證明當(dāng)時(shí)，恒成立即可，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定其單調(diào)性，即可得出結(jié)論成立.【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，依題意有,故，此時(shí)，取得極大值，所以；(2)當(dāng)時(shí),，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，設(shè)，只需，即；(3)若證不等式，設(shè)，可證當(dāng)時(shí)，恒成立，在上恒正,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒有即當(dāng)時(shí),有故對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．【變式1-1】2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中和是實(shí)數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．求常數(shù)的值；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；求證：．【答案】(1)；(2)；(3)詳見(jiàn)解析【詳解】.試題解析：(1)對(duì)求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以.(2)由(1)得，.①當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；②當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；綜上(3)對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：所以可以考慮證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立.并且繼續(xù)作如下等價(jià)變形對(duì)于相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有.取，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，.從而對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.對(duì)于相當(dāng)于（2）中情形，對(duì)于任意，恒有而且僅有.取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.因此對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立.這樣依據(jù)不等式，再令利用左邊，令利用右邊，即可得到成立.【變式1-2】（2023上·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）（1）已知函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（2）設(shè)為大于1的整數(shù)，證明：.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得函數(shù)的定義域后，判定出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明其單調(diào)性；（2）把不等式變形為，兩邊取對(duì)數(shù)后，根據(jù)的單調(diào)性即可證明；也可以兩邊取對(duì)數(shù)后把不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增證明：，∴則為上的偶函數(shù).，，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（證法一）要證明，需證明即證明，即，由（1）可知即證.∵且在單調(diào)遞增，∴所以對(duì)，成立.（證法二）要證明,即證明，即證，即證，設(shè)函數(shù)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增又，∴，即成立，故原不等式成立.【變式1-3】（2017下·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校已知函數(shù)；(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)，試比較與的大小關(guān)系．【答案】(1)(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是0(3)【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可得對(duì)恒成立，再利用參變分離運(yùn)算求解；（2）將代入，求導(dǎo)，得到的單調(diào)區(qū)間，從而求的最值；（3）由（1）得的單調(diào)性，令，可得，運(yùn)算整理證出結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上有唯一極小值點(diǎn)，故，又∵，，因?yàn)?，所以，即所以在區(qū)間上的最大值是綜上可知：函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是0.（3）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則即，即當(dāng)時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)，有題型04數(shù)列不等式：無(wú)限和裂項(xiàng)型【解題攻略】證明不等式，該不等式左邊是求和式，右邊只有單獨(dú)的一項(xiàng)，但可以通過(guò)變形將右邊也轉(zhuǎn)化為求和式，即這樣一來(lái)，設(shè)，則只需證，而要證明這個(gè)式子，可以證明左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系，即如果能夠證出恒成立，則原不等式也就成立.【典例1-1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)求證：．【答案】(1)①當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；②當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求定義域后求，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分類討論與時(shí)單調(diào)性進(jìn)而分析的極值.（2）運(yùn)用對(duì)進(jìn)行放縮及對(duì)數(shù)運(yùn)算公式即可證明.【詳解】（1），則定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，恒成立，則為上的增函數(shù)，所以沒(méi)有極值.②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值.綜述：①當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；②當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值.（2）證明：取m＝1，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以.即,.令，得，即，分別取k＝n＋1，n＋2，…，n＋（n＋1），，可得．即成立．【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明:．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1），根據(jù)題意，得到，即，當(dāng)時(shí)，結(jié)合，，，，將不等式累加后，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得的定義域?yàn)?，且若，可得，在上單調(diào)遞減；若，令，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，可得：，將不等式累加后，可得，即.【變式1-1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)）.(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)任意，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）討論，由的正負(fù)確定單調(diào)性；（2）記，由得，討論與1大小關(guān)系，驗(yàn)證是否成立；（3）由（2）知，，令得，累加得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）記，由題知時(shí)恒成立，由得，，由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，則，故在上單調(diào)遞增，所以恒成立；若，則，故，由于，因此，故不能恒成立.綜上得.（3）證明：由知，令，所以，即所以，故，即.【變式1-2】（2023上·福建廈門·高三廈門市湖濱中學(xué)校考期中）已知函數(shù).(1)若不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求定函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）根據(jù)第一問(wèn)，合理構(gòu)造，利用不等式的性質(zhì)合理變形達(dá)到證明的目的.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，令，又，令解得，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，所以.（2）由（1）知，所以，所以，又，所以，即.【變式1-3】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)已知，，，，求證：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)遞減得恒成立，分離參數(shù)法可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性證明不等式即可；（3）利用（2）結(jié)論，逐個(gè)賦值后累加法可證.【詳解】（1）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立．因?yàn)?，則．（2），只需證明．令，，則在單調(diào)遞減，則，又，則，即成立，得證．（3）由（2）知，令，則有，即，，，…，，累加可得，故，從而命題得證．題型05數(shù)列不等式：累積相消型【解題攻略】累加列項(xiàng)相消證明法證明不等式為例，該不等式左邊是求積式，右邊只有單獨(dú)的一項(xiàng)，但可以通過(guò)變形將右邊也轉(zhuǎn)化為求和式，如轉(zhuǎn)化為累積相消型這樣一來(lái)，設(shè)，則只需證，而要證明這個(gè)式子，可以證明左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系，即如果能夠證出恒成立，則原不等式也就成立.【典例1-1】（2022貴州銅仁·高三貴州省銅仁第一中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2(是f(x)的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；(3)求證：×…×<(n≥2，n∈N*)【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，不是單調(diào)函數(shù)；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式得增區(qū)間，解得減區(qū)間；（2）由切線斜率求得參數(shù)，的不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理得條件結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；（3）由（1）單調(diào)性得，可得出（），個(gè)式子相乘可證結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，()，解得；解得，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）∵，∴得，，，∴∵在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，且，∴，由題意知：對(duì)于任意的，恒成立，所以，，∴.（3）證明如下：由（1）可知當(dāng)時(shí)，即，∴對(duì)一切成立．∵，則有，∴..【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)證明：當(dāng)且時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用成立，求出；（2）由（1），當(dāng)時(shí)，即，令，則有，可得，累乘可證得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，，不合題意；③當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，對(duì)于任意的，，符合題意；④當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，，不合題意．綜上所述，．（2）由（1）知，時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．令，其中且，則有，又，所以，，即所以．所以，原不等式得證．【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：

.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】(1)求出的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定的具體范圍即可；(2)得到，令，得，取不同的值，相乘即可．【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，設(shè)，所以在恒成立，設(shè)，在恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以在恒成立，所以函數(shù)為增函數(shù)；所以，所以的取值范圍為.（2）（2）由（1）知，令，，∴當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)令，則即，，，，，將上述個(gè)式子相乘得：，∴原命題得證【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)整數(shù)，，且，函數(shù)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求證結(jié)論；（2）由（1）結(jié)論（伯努利不等式）有，令，放縮，累乘即可證結(jié)論.【詳解】（1）由，∵，，∴單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∴．（2）由（1）知，，令，，得，∴．【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）等價(jià)于，即，記，只要證明即可，分，和三種情況討論函數(shù)的最值，從而可得出答案；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上成立，即，令，則，由此即可證得結(jié)論.【詳解】（1）解：等價(jià)于，即，記，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，由，，所以，即不恒成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以不恒成立；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即恒成立，所以在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上成立，即，令，則，所以，所以.題型06數(shù)列不等式：取對(duì)數(shù)型【解題攻略】取對(duì)數(shù)型證明不等式為例，該不等式左邊是求積式，右邊只有單獨(dú)的一項(xiàng)常數(shù)，但可以通過(guò)取對(duì)數(shù)，把左邊的積轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)和型，如轉(zhuǎn)化為累加或者累積相消型【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：當(dāng)時(shí)，；(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：，．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)即可求解，（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，．取，可得，利用“累加求和”即可證明不等式的右邊部分．由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，．取，則，利用“累加求和”即可證明不等式的左邊部分．【詳解】（1）令，則，故在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即成立．令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，即成立．綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立．（2）由（1）可知：，．取，，，．，，，．由（1）可知：當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．取，，，．則，，，，，．綜上可得：，．【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.（3）易知，易知在上恒成立，令得到證明.【詳解】（1）解：，∴，∴切線方程為．（2），令，則．令，則．①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴單調(diào)遞增．∴，∴，∴單調(diào)遞增，從而，不符合題意．②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴單調(diào)遞減．∴，∴，∴單調(diào)遞減，從而，符合題意．③當(dāng)，即時(shí)，由，，∴在上存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增，∴，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，∴．又令，求導(dǎo)，得，∴單調(diào)遞減，從而，即在上恒成立．令，得．∴．即，∴，于是得證．【變式1-1】（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)設(shè)為整數(shù)，若對(duì)于成立，求的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)3【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；（3）結(jié)合（2）可得：，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，，可知的定義域?yàn)?，且，令，解得．列表如下?0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增可知當(dāng)時(shí)，取最小值，所以．（3）由（2）可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，可得，即，所以．當(dāng)時(shí)，,所以對(duì)于任意，成立時(shí)，整數(shù)的最小值為3．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩類分別討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知，即，利用累加法可證得命題成立．【詳解】（1）由得知當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即有，，以上各式相加得，【變式1-3】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若單調(diào)遞增，求a的值；(2)判斷（且）與的大小，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分，，討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）可得時(shí)，，然后再由放縮，裂項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由可得，，由于函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，可知時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由可得，，令，則，可知時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，由于恒成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.（2）.理由如下：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即有，則時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，，所以，則，所以.題型07虛設(shè)根型證不等式【解題攻略】虛設(shè)零點(diǎn)法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但是求解相對(duì)比較繁雜甚至無(wú)法求解的情形時(shí)，可以將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來(lái)而不必求出來(lái)，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問(wèn)題的解決【典例1-1】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可求解.【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，即?i)若，則在定義域上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只用證明，令，，令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，所以，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，因?yàn)?，因?yàn)椋圆蝗〉忍?hào)，即，即恒成立，所以，恒成立，得證.【典例1-2】（20122·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可求解.【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，即?i)若，則在定義域上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只用證明，令，，令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，所以，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，因?yàn)?，因?yàn)椋圆蝗〉忍?hào)，即，即恒成立，所以，恒成立，得證.4.【變式1-1】（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)．(1)求時(shí)，的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，結(jié)合隱零點(diǎn)的處理方法，即可得證.【詳解】（1）時(shí)，的定義域?yàn)?，∴，令，則，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）證明：的定義域?yàn)榍遥?dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，假設(shè)存在滿足時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取得最小值，由于，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，故時(shí)，．【變式1-2】（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)參數(shù)分類討論，根據(jù)不同情況下導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得的范圍，滿足的條件，以及，根據(jù)的范圍夾逼的范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且當(dāng)；又當(dāng)；故當(dāng)6.，；當(dāng)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故，且，所以，，又在單調(diào)遞減，所以.【變式1-3】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù),.(1)判斷的單調(diào)性;(2)若,求證:,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解函數(shù)的單調(diào)性，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，進(jìn)而可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：令，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞增．又，，故存在唯一的，使得．從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

又，兩邊取對(duì)數(shù)得，故，，故在上單調(diào)遞增，所以，得證．題型08利用函數(shù)“凸凹反轉(zhuǎn)性”證明不等式【解題攻略】凸凹反轉(zhuǎn)首先是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立.通常情況，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來(lái)完成證明.【典例1-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？迹┮阎瘮?shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，判斷的正負(fù)作答即可；（2）把代入不等式，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，并求出其最小值為，即可判斷原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，可得.當(dāng)時(shí)，可知，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，可得時(shí)，有，時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證成立，只需證成立，只需證即可.因?yàn)?，由?）知，.令，則，可得時(shí)，有；時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知，則有，所以有，所以當(dāng)時(shí)，成立.【典例1-2】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】解：（1）由題意得，恒成立對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，；故若使恒成立對(duì)恒成立，則只需使；（2）證明：；令，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，（1）①．令，，故在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；故（2）②．故由①②可得，．【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，證明：．【答案】（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）分，進(jìn)行討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（Ⅱ）由結(jié)合（Ⅰ）可得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證．【詳解】（Ⅰ）由題可知，．當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：若，則由（Ⅰ）可知，在處取得極大值，．令．，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，，．【變式1-2】已知，（1）對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：對(duì)一切，都有．【解析】解：（1），則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（1），對(duì)一切，恒成立，．證明：（2）問(wèn)題等價(jià)于證明，由（1）可知，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．設(shè)，則，由題意得（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立．【變式1-3】已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣xlnx．（I）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a＝e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xex+．【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用到導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可得到a的取值范圍，（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xex+．不等式等價(jià)于lnx+＞ex﹣ex，分別構(gòu)造函數(shù)h（x）＝lnx+，φ（x）＝ex﹣ex，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可證明【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴f′（x）＝2ax﹣1﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，∴2a≥在（0，+∞）上恒成立，設(shè)g（x）＝，∴g′（x）＝﹣，令g′（x）＝0，解得x＝1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴2a≥1，∴a≥，故a的取值范圍為[，+∞），證明（Ⅱ）當(dāng)a＝e時(shí)，要證f（x）＜xex+，即證ex2﹣xlnx＜xex+，∵x＞0，則需要證ex﹣lnx＜ex+，即證lnx+＞ex﹣ex，設(shè)h（x）＝lnx+，∴h′（x）＝﹣＝，x＞0，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）min＝h（）＝0，∴h（x）≥0，即lnx+≥0，再設(shè)φ（x）＝ex﹣ex，∴φ′（x）＝e﹣ex，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減，∴φ（x）max＝φ（1）＝0，∴φ（x）≤0，即ex﹣ex≤0，∵h(yuǎn)（x）和φ（x）不同時(shí)為0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，lnx+＞ex﹣ex，故原不等式得以證明．題型09同構(gòu)型不等式證明【解題攻略】常見(jiàn)同構(gòu)技巧：【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分類討論求解函數(shù)的極值即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為．令，即證：，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可證明.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無(wú)極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．（2）顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．【典例1-2】（2023上·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；(2)證明：.【答案】(1)兩個(gè)，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，討論其單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）方法一，令，則等價(jià)于，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值判斷證明即可；方法二：令，則等價(jià)于，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值判斷證明即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，故存在，，使得，，所以在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（2）方法一：令，則時(shí)，，且.于是等價(jià)于，令，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，所以時(shí)，函數(shù)取得最大值：，所以，即.方法二：令，則，于是等價(jià)于，即，令，則有.令，即，解得；令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，即.所以，即.【變式1-1】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，(1)試討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明恒成立.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用分類討論思想，可得答案；（2）利用放縮法，整理不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合換元法與導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得答案.【詳解】（1）∵，∴.（i）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)時(shí)，令，得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，即證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以因此，所以從而，所以當(dāng)時(shí)恒成立.【變式1-2】已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分類討論求解函數(shù)的極值即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為．令，即證：，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可證明.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無(wú)極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．（2）顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．題型10雙變量型構(gòu)造【典例1-1】（2022貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對(duì)，且，證明：.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）的定義域?yàn)椋?，?duì)分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性；（2）要證：只需證：

即證：.設(shè)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，且．①?dāng)時(shí)，對(duì)，有，故函數(shù)在單調(diào)遞增；對(duì)，有，故函數(shù)在單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，函數(shù)在單調(diào)遞減；對(duì)，有，函數(shù)在單調(diào)遞增．（2）對(duì)且，要證：只需證：

即證：.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有，故函數(shù)在單調(diào)遞減．又，且，所以，即．成立故原不等式成立．【典例1-2】（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知m，n是正整數(shù)，且，證明．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，結(jié)合定義域?qū)M(jìn)行討論即可；（2）兩邊取對(duì)數(shù)，整理后，構(gòu)造函數(shù)，證明為上的減函數(shù)，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，證明不等式成立等價(jià)于證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，令，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，故，所以，所以為上的減函數(shù)，因?yàn)椋?，即，即．【變?-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，試證明．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可求；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性可證.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?，得；令，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，即，所以，即．【變式1-2】（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法，證明時(shí)，即可；（2）不妨設(shè)，利用作差法得到，然后令，轉(zhuǎn)化為，利用其在上單調(diào)性證明.【詳解】（1）由題意知，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）不妨設(shè)，則，令，則．由（1）知在上單調(diào)遞增，，∵，∴．又，∴．【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)，且，求證.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并解不等式，轉(zhuǎn)化為二次不等式在上恒成立問(wèn)題；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為構(gòu)造為主元的不等式，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明；【詳解】解：（1），因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得：，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最小值2，所以，解得，所以的取值范圍是；（2）設(shè)，要證，只需證，即，即，設(shè)，由（1）知在上是單調(diào)增函數(shù)，又，所以，即成立，得到.題型11極值點(diǎn)偏移型：和型證明【解題攻略】極值點(diǎn)偏移多有零點(diǎn)這個(gè)條件。零點(diǎn)型，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：零點(diǎn)是否是特殊值，或者在某個(gè)確定的區(qū)間之內(nèi)。零點(diǎn)是否可以通過(guò)構(gòu)造零點(diǎn)方程，進(jìn)行迭代或者轉(zhuǎn)化。將方程根的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理【典例1-1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，有，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求的取值范圍得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由，得，證明，得，從而．【詳解】（1）有兩個(gè)兩側(cè)異號(hào)的零點(diǎn)，又，于是，令，則，令，則.當(dāng)時(shí)，，于是，所以在單調(diào)遞減且，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.又且，，所以.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）因?yàn)?，所以，于是，從而，下面證明，即證明，令，即證明，即證明，令，.所以在單調(diào)遞增，所以.從而.所以，于是，由(1)知，從而．【典例1-2】（2023·山西·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)不等式參變分離，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值可解；（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其性質(zhì)，結(jié)合圖象可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性，并令，可得，最后由作差整理可證.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，?設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而.故，即的取值范圍是.（2）證明：由，得，即，即.設(shè)，則等價(jià)于.易證在上單調(diào)遞增，則，即.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，且，當(dāng)x趨于時(shí)，趨于0.方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，不妨設(shè)，由圖可知，.設(shè)則在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?設(shè)，則，即，則.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的正實(shí)根，所以，作差得.因?yàn)?，所以，所以，則，故.【變式1-1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，證明：，且．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）變形為是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，由題意，得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）證明：由，得，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，所以．不妨設(shè)，因?yàn)?，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．要證，只需證．因?yàn)?，，所以只需證．因?yàn)?，所以只需證．今，，則在恒成立．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，．所以，即成立．【變式1-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．(1)求a的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可證明.【詳解】（1）由題意可知：，若，則恒成立，即單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等零點(diǎn)，故，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以若要符合題意，需，此時(shí)有，且，令，而，即在上遞減，故，所以，又，故在區(qū)間和上函數(shù)存在各一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上；（2）結(jié)合（1），不妨令，構(gòu)造函數(shù)，則，即單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，由?）知在上單調(diào)遞增，所以由，故.題型12極值點(diǎn)偏移型：積型證明【解題攻略】處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.【典例1-1】（2023上·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若，，求證：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析極值點(diǎn)情況即可得解.（2）由（1）的信息可設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性推理即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，，不妨令，要證，只證，即證，就證，令，求導(dǎo)得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，則，即，又，因此，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，所以.【典例1-2】（2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若，求函數(shù)的最小值；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后解不等式、即可求得極值.（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可求得其最小值.（3）由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，依次結(jié)合函數(shù)、的單調(diào)性即可證得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值為，無(wú)極小值.（2）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.（3）不妨設(shè)，則由（2）知，.設(shè)，由，得，即，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.構(gòu)造函數(shù)，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即.【變式1-1】（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）在上恒成立，參變分離在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出的最大值，從而求出的取值范圍；（2）由零點(diǎn)得到，令，從而得到，，，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，函?shù)是減函數(shù)，故在上恒成立，即在上恒成立，令，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，且，故，解得，故的取值范圍是；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得．，令，則，故，則，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞增，，即，故.【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明.【答案】(1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及零點(diǎn)的存在性定理求解；（2）根據(jù)題意可得有兩個(gè)不同實(shí)根，進(jìn)而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進(jìn)而要證，只需證，即證，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋院瘮?shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（2）方程有兩個(gè)不同實(shí)根，等價(jià)于有兩個(gè)不同實(shí)根，得，令，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)?shù)拇笾聢D象如圖所示，

所以當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根；證明：不妨設(shè)且兩式相加得，兩式相減得，所以，要證，只需證，即證，設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，原命題得證.題型13極值點(diǎn)偏移型：平方型證明【典例1-1】（2023下·遼寧·高三統(tǒng)考）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【答案】(1)結(jié)論見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類探討的正負(fù)作答.（2）等價(jià)變形給定等式，結(jié)合時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得則，由得，若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，時(shí)，恒成立，因此當(dāng)時(shí)，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，又，則有，則，所以.【典例1-2】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對(duì)稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，所以，即，所?【變式1-1】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)?，，因此要證，只需證.因?yàn)?，所以只需證，即證.因?yàn)?，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.【變式1-2】（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求最大值，從而可求參數(shù)的取值范圍.（2）利用極值點(diǎn)偏移可證，結(jié)合不等式放縮可證.【詳解】（1），，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，要使，則有，而，故，所以的取值范圍為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，設(shè)，所以，，①若，則，成立；②若，先證，此時(shí)，要證，即證，即，，令，，，所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，因?yàn)?，，所以，即．題型14三角函數(shù)型不等式證明【解題攻略】利用導(dǎo)數(shù)證明三角函數(shù)型不等式正余弦的有界性三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：.【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，證明不等式，在上恒成立.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到，即可證明；（2）令，求導(dǎo)，根據(jù)放縮的思路得到，然后利用在上的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）證明：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.（2）令，則，由（1）可得，即，又，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式，在上恒成立.【典例1-2】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，證明：．【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）易知不在上，設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入求出對(duì)應(yīng)，即可求解對(duì)應(yīng)切線方程；（2）構(gòu)造，求得，再令，通過(guò)研究正負(fù)確定單調(diào)性，再由正負(fù)研究最值，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由題，時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，該切線過(guò)點(diǎn)，則，即，所以或．又；；，．所以，切線方程為或；（2）設(shè)，則，令，則，可知，時(shí)，；時(shí)，，故時(shí)均有，則即在上單調(diào)遞增，，因?yàn)闀r(shí)，則，，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)，．所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，均有．【變式1-1】（2022·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，(1)若在處的切線為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)，時(shí)，求證：【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，求解即可；（2）將變形成，故只需證，用導(dǎo)數(shù)法證明即可【詳解】（1）∵，∴，∴（2）要證，即證，只需證，因?yàn)?，也就是要證，令，∵，∴∴在為減函數(shù)，∴，∴，得證【變式1-2】設(shè)函數(shù)，，.(1)求的最小值，并證明：；(2)若不等式：成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值，結(jié)合單調(diào)性，即可證明，（2）根據(jù)和分類討論，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論和基本不等式即可求解.【詳解】（1）由可得，令得，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，化簡(jiǎn)得，；（2）等價(jià)于，當(dāng)，因?yàn)椋?，，所以，由?）得，，所以；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，不成立，即不成立，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型15韋達(dá)定理代換型【解題攻略】利用韋達(dá)定理證明不等式1.題干條件大多數(shù)是與函數(shù)額極值x1，x2有關(guān)。2.利用韋達(dá)定理代換：可以消去參數(shù)【典例1-1】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）先把函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并進(jìn)行化簡(jiǎn)，由題意知，，在對(duì)進(jìn)行討論即可得到答案.（2）由（1）知在時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理求出的關(guān)系式，并用分別表示出和，把代入中進(jìn)行化簡(jiǎn)，，所以可以求出最小值，即可證出.（1）由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，在和遞增，在遞減（2）由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則（用分別表示出和），整理，得，此時(shí)設(shè)，求導(dǎo)得恒成立，在上單調(diào)遞減，【典例1-2】已知函數(shù)f（x）＝lnx＋ax2－x.（1）若a＝－1，求函數(shù)f（x）的極值；（2）設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若x1，x2是函數(shù)f′（x）的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：f（x1）＋f（x2）<x1＋x2－5【答案】（1）極大值是＝－ln2－，無(wú)極小值；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由a＝－1，得到f（x）＝lnx－x2－x，求導(dǎo)=－，令>0，<0求解；（2）由，且x>0，得到x1，x2是方程2ax2－x＋1＝0的兩個(gè)不相等正實(shí)根，利用根的分布，得到0<a<，然后利用韋達(dá)定理，得到f（x1）＋f（x2）－x1－x2＝，利用導(dǎo)數(shù)法證明.（1）解：當(dāng)a＝－1時(shí)，f（x）＝lnx－x2－x，且定義域?yàn)椋?，＋∞）.則＝－2x－1＝－.令>0，得0<x<；令<0，得x>.故f（x）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故f（x）的極大值是＝－ln2－，綜上，函數(shù)f（x）的極大值是＝－ln2－，無(wú)極小值.（2）證明：由題意得，且x>0，則x1，x2是方程2ax2－x＋1＝0的兩個(gè)不相等正實(shí)根，∴解之得0<a<.f（x1）＋f（x2）－x1－x2＝lnx1＋lnx2＋a＋a－2（x1＋x2）＝a（＋）－2（x1＋x2）＋ln（x1x2）＝a[（x1＋x2）2－2x1x2]－2（x1＋x2）＋ln（x1x2）＝，令t＝，g（t）＝lnt－－1，t∈（4，＋∞），則＝，t∈（4，＋∞），故g（t）在（4，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（t）<g（4）＝ln4－7<2－7＝－5，所以f（x1）＋f（x2）<x1＋x2－5.【變式1-1】已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．（2）是的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．【答案】（1）2（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)處的切線的斜率，用點(diǎn)斜式求出切線方程，令和令，得出坐標(biāo)軸上的截距，可得三角形面積；（2）利用函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得a與兩極值的關(guān)系，，，，“證明”等價(jià)于“證明”表達(dá)函數(shù)，可得，，令，，求新函數(shù)在區(qū)間的最值，即可得證．（1）解：由函數(shù)的定義域?yàn)椋傻?，解得，又由，即，故所求切線的斜率為，所以切線方程為，即，令，得；令，得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．（2）證明：．則函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則方程的判別式，且，，所以，由基本不等式得，且，“證明”等價(jià)于“證明”．設(shè)，則在上恒成立．故在上單調(diào)遞減，從而，．因此，的取值范圍是，所以．【變式1-2】已知函數(shù)，（）．（1）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1），，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則與，有兩個(gè)交點(diǎn)，即可得出答案．（2）由（1）知，且，，則，只需證明，即可解得的取值范圍．（1）（1），，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)根，所以有兩個(gè)根，即與，有兩個(gè)交點(diǎn)，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，所以，所以的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，且，，所以，所以只需證明，令，故，原不等式等價(jià)于對(duì)成立，令，，所以單調(diào)遞減，則有（1）．題型16切線放縮型證明【解題攻略】常用的切線放縮有：（1）；（2）；（3）；（4）.【典例1-1】(2023·青島模擬改編)已知x1lnx1＝x2lnx2＝a，且x1<x2，求證：x2－x1<2a＋1＋e－2.求證：|a－b|<eq\f(\r(n,n1－n),lnn)t＋eq\r(n,n).證明設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx(x>0)，f′(x)＝1＋lnx(x>0).設(shè)p(x)＝1＋lnx(x>0)，則p′(x)＝eq\f(1,x)(x>0)，當(dāng)x>0時(shí)，p′(x)>0，因而f′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增，而當(dāng)x＝eq\f(1,e)時(shí)，f′(x)＝0，所以當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))時(shí)，f′(x)<0，f(x)＝xlnx單調(diào)遞減，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))時(shí)，f′(x)>0，f(x)＝xlnx單調(diào)遞增.而f(x)＝xlnx＝0，解得x＝1.取其在x＝e－2和x＝1處的切線，分別為l1：g(x)＝－x－e－2和l2：m(x)＝x－1，令h(x)＝f(x)－g(x)＝xlnx＋x＋e－2(x>0)，則h′(x)＝2＋lnx，當(dāng)0<x<e－2時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>e－2時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.于是h(x)≥h(e－2)＝0，從而f(x)≥g(x)，令φ(x)＝f(x)－m(x)＝xlnx－x＋1(x>0)，則φ′(x)＝lnx，當(dāng)0<x<1時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，于是φ(x)≥φ(1)＝0，從而f(x)≥m(x)，如圖.直線y＝a與直線l1，函數(shù)f(x)的圖象和直線l2分別交于x1′，x1，x2，x2′，則有：x1′<x1<x2<x2′，x2－x1<x2′－x1′＝(a＋1)－(－a－e－2)＝2a＋1＋e－2.【典例1-2】已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）且時(shí)，證明：曲線的圖象恒在切線的上方；（3）證明：不等式：.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1），由曲線在處的切線方程為知：解得，.（2）由題意只需證：當(dāng)且時(shí)，；設(shè)，則，，易知在單調(diào)遞增；且，，∴必定存在，使得，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其中，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即當(dāng)且時(shí)，成立；所以當(dāng)且時(shí)，曲線的圖象在切線的上方.（3）要證：，只需證.由（2）知時(shí)，.故只需證，即證，設(shè)，則，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；即不等式：成立.【變式1-1】已知函數(shù)f(x)＝4ex－1＋ax2，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝bx＋1.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)x>0且x≠1時(shí)，證明：曲線y＝f(x)的圖象恒在切線y＝bx＋1的上方；(3)證明不等式：4xex－1－x3－3x－2lnx≥0.解答：(1)解f′(x)＝4ex－1＋2ax，由曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝bx＋1知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝4＋2a＝b，,f（1）＝4＋a＝b＋1，))解得a＝－1，b＝2.(2)證明由題意只需證：當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，4ex－1－x2>2x＋1；設(shè)g(x)＝4ex－1－x2－2x－1，則g′(x)＝4ex－1－2x－2，g″(x)＝4ex－1－2，易知g″(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；且g″(1)＝2>0，g″(0)＝eq\f(4,e)－2<0，∴必定存在x0∈(0，1)，使得g″(x0)＝0，則g′(x)在(0，x0)單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)單調(diào)遞增，其中g(shù)′(0)＝eq\f(4,e)－2<0，g′(1)＝0，即g(x)在(0，1)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝0，即當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，g(x)>0成立；所以當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，曲線y＝f(x)的圖象在切線y＝bx＋1的上方.(3)證明要證4xex－1－x3－3x－2lnx≥0，只需證4ex－1－x2－3－eq\f(2lnx,x)≥0.由(2)知x>0時(shí)，4ex－1－x2≥2x＋1.故只需證2x＋1≥3＋eq\f(2lnx,x)，即證x2－x－lnx≥0，設(shè)φ(x)＝x2－x－lnx，則φ′(x)＝2x－1－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－x－1,x)＝eq\f(（2x＋1）（x－1）,x)，易知φ(x)在(0，1)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增，∴φ(x)≥φ(1)＝0；即不等式4xex－1－x3－3x－2lnx≥0成立.【變式1-2】（2013·新課標(biāo)II卷）已知函數(shù)①（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求m并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：【解析】（1）由題意，，，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得：，故，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證法1：當(dāng)時(shí)，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合，知存在唯一的使且，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①，因?yàn)椋?，兩邊取?duì)數(shù)得：，代入①得：，所以，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.證法2：當(dāng)時(shí)，，下面先證，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，再證，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，有，且兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.高考練場(chǎng)1.2021·福建莆田·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)．（1）若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式，解出即可；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可【詳解】（1）解：設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以在上恒大于零，所以在上不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的和為增函數(shù)，所以在上為單調(diào)函數(shù)，所以在上若有零點(diǎn)，則僅有1個(gè)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍（2）證明：設(shè)，則，則，所以，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，在上恒成立，所以在上遞增，而，因?yàn)?，所以，所以恒成立，所以?dāng)時(shí)，2.2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論求解導(dǎo)函數(shù)為正為負(fù)的不等式解集即得.（2）由（1）中信息，求出函數(shù)的最小值，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)推理即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增