高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))9.6事件、概率、古典概型(精練)(原卷版+解析)

9.6事件、概率、古典概型【題型解讀】【題型一事件與事件的關系與運算】1.(2023·山東·濰坊七中高三階段練習）已知A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相瓦獨立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨立2.(2023·全國·高三專題練習）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③3.(2023·浙江省桐廬中學高三階段練習）下列說法錯誤的個數(shù)為（

）①對立事件一定是互斥事件；②若，為兩個事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．4.(2023·河南高三月考））給出下列說法：①若事件，滿足，則，為對立事件；②把3張紅桃，，隨機分給甲、乙、丙三人，每人張，事件“甲得紅桃”與事件“乙得紅桃”是對立事件；③一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．其中說法正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．5．(2023·全國高三課時練習）（多選題）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出三件產(chǎn)品，設三件產(chǎn)品全不是次品，三件產(chǎn)品全是次品三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，則下列結論中正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥C．任何兩個都互斥 D．與對立6．(2023·棗莊模擬）（多選題）某商場推出抽獎活動，在甲抽獎箱中有四張有獎獎票.六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎箱中中獎的事件，B表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結論中正確的是（

）A．B．事件與事件相互獨立C．與和為D．事件A與事件B互斥【題型二頻率與概率】1.(2023·四川模擬）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其中好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（

）A． B． C． D．2.(2023·武昌模擬））有以下說法:①一年按365天計算,兩名學生的生日相同的概率是;②買彩票中獎的概率為0.001,那么買1000張彩票就一定能中獎;③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個數(shù)字中各抽取1個,再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預報降水概率是90%”是錯誤的.根據(jù)我們所學的概率知識,其中說法正確的序號是___.3．(2023·石家莊模擬）樹人中學進行籃球定點投籃測試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進得3分，未投進得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進一次得2分，未投進得0分，測試者累計得分高于3分即通過測試．甲同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每輪在A處和B處各投10次，根據(jù)統(tǒng)計該同學各輪三分球和兩分球的投進次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率，則該同學通過測試的概率是___________．4.(2023·臨沂二模）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【題型三古典概型】1.(2023·唐山二模）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)大于40的概率為（

）A． B． C． D．2.一袋中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個球．用模擬實驗的方法，讓計算機產(chǎn)生1～9的隨機數(shù)，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個為一組，產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：917

966

191

925

271

932

735

458

569

683431

257

393

627

556

488

812

184

537

989則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（

）A． B． C． D．3．(2023·高三課時練習）從集合中隨機抽取一個數(shù)a，從集合中隨機抽取一個數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．4.(2023·廣東高三模擬）連續(xù)擲骰子兩次得到的點數(shù)分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為___________.5.對于正方體6個面的中心，甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．【題型四概率的基本性質(zhì)】1.(2023·福建泉州科技中學月考）甲?乙兩名同學做同一道數(shù)學題，甲做對的概率為0.8，乙做對的概率為0.9，下列說法錯誤的是（

）A．兩人都做對的概率是0.72 B．恰好有一人做對的概率是0.26C．兩人都做錯的概率是0.15 D．至少有一人做對的概率是0.982．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．13.(2023·濟北中學高三月考從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個數(shù)，則至少有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4.若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.(2023·全國·高三專題練習）下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【題型五概率與統(tǒng)計的綜合問題】1.(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測評）某學校為了解高三尖子班數(shù)學成績，隨機抽查了60名尖子生的期中數(shù)學成績，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：期中數(shù)學成績（單位：分）頻數(shù)頻率30.05xp90.15150.25180.30yq合計601.00若數(shù)學成績超過135分的學生為“特別優(yōu)秀”，超過120分而不超過135分的學生為“優(yōu)秀”，已知數(shù)學成績“優(yōu)秀”的學生與“特別優(yōu)秀”的學生人數(shù)比恰好為．(1)求x，y，p，q的值；(2)學校教務為進一步了解這60名學生的學習方法，從數(shù)學成績“優(yōu)秀”、“特別優(yōu)秀”的學生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查，求至少抽到2名學生數(shù)學成績“特別優(yōu)秀”的概率．2.(2023·四川·高三開學考試）客家文化是指客家人共同創(chuàng)造的物質(zhì)文化與精神文化的總和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家藝術、客家人物、客家山水、客家詩文、客家歷史、客家飲食、海內(nèi)外客家分布等多方面.石城，是客家先民遷徙的重要中轉(zhuǎn)站、客家民系的重要發(fā)源地、中華客家文化的重要發(fā)祥地，素有客家搖籃之美稱.為弘揚和發(fā)展客家文化，石城縣開展了豐富多彩的客家文化活動，引起了廣大中學生對于客家文化的極大興趣，某校從甲、乙兩個班級所有學生中分別隨機抽取8名，對他們的客家文化知識了解程度進行評分調(diào)查（滿分100分），被抽取的學生的評分結果如下莖葉圖所示：(1)分別計算甲、乙兩個班級被抽取的8名學生得分的平均值和方差，并估計兩個班級學生對客家文化知識了解的整體水平差異；(2)若從得分不低于85分的學生中隨機抽取2人參觀客家文化攝影展，求這兩名學生均來自乙班級的概率.3.(2023·陜西·安康市教學研究室高三階段練習）飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎．同時國家提倡節(jié)約用水，全民積極維護飲用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽市考察調(diào)研的習近平總書記來到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程、丹江口水庫，聽取南水北調(diào)中線工程建設管理運行和水源地生態(tài)保護等情況介紹．為了提高節(jié)約用水意識，為此，某校開展了“節(jié)約用水，從我做起”活動，從參賽的學生中隨機選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校此次參賽學生成績的平均分eq\x\to(x)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)在該樣本中，若采用分層隨機抽樣方法，從成績低于65分的學生中隨機抽取6人調(diào)查他們的答題情況，再從這6人中隨機抽取3人進行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率．9.6事件、概率、古典概型【題型解讀】【題型一事件與事件的關系與運算】1.(2023·山東·濰坊七中高三階段練習）已知A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相瓦獨立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨立答案：C【解析】若事件A，B互斥，則，與事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；若事件A，B相互獨立，則，而題設無法判斷是否成立，故無法判斷事件A，B是否相互獨立.故選：C.2.(2023·全國·高三專題練習）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③答案：A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A3.(2023·浙江省桐廬中學高三階段練習）下列說法錯誤的個數(shù)為（

）①對立事件一定是互斥事件；②若，為兩個事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．答案：C【解析】互斥不一定對立，但對立必互斥，①正確；只有A與B是互斥事件時，才有，②錯誤；若事件A，B，C兩兩互斥，則，但不一定是必然事件，例如，設樣本點空間是由兩兩互斥的事件A，B，C，D組成且事件D與為對立事件，當時，，③錯誤．故選：C.4.(2023·河南高三月考））給出下列說法：①若事件，滿足，則，為對立事件；②把3張紅桃，，隨機分給甲、乙、丙三人，每人張，事件“甲得紅桃”與事件“乙得紅桃”是對立事件；③一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．其中說法正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】①，為對立事件，需滿足和，故①錯誤；②事件“甲得紅桃”的對立事件為“甲未得紅桃”，即“乙或丙得紅桃”，故②錯誤；③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“兩次都中靶”，則其對立事件為“兩次都不中靶”，故③正確．所以說法正確的個數(shù)為個.故選：C5．(2023·全國高三課時練習）（多選題）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出三件產(chǎn)品，設三件產(chǎn)品全不是次品，三件產(chǎn)品全是次品三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，則下列結論中正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥C．任何兩個都互斥 D．與對立答案：ABC【解析】由題意可知，三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品兩個事件，三件產(chǎn)品全不是次品，即3件產(chǎn)品全是正品，三件產(chǎn)品全是次品，由此知，與互斥，與互斥，故A，B正確，與互斥，由于總事件中還包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”兩個事件，故與不對立，故C正確，D錯誤，故選：ABC．6．(2023·棗莊模擬）（多選題）某商場推出抽獎活動，在甲抽獎箱中有四張有獎獎票.六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎箱中中獎的事件，B表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結論中正確的是（

）A．B．事件與事件相互獨立C．與和為D．事件A與事件B互斥答案：ABC【解析】，在甲抽獎箱抽獎和在乙抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件B相互獨立，B項正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨立而非互斥，故D錯誤.故選：ABC【題型二頻率與概率】1.(2023·四川模擬）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其中好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知可得這家健身房的總好評率為.故選：B.2.(2023·武昌模擬））有以下說法:①一年按365天計算,兩名學生的生日相同的概率是;②買彩票中獎的概率為0.001,那么買1000張彩票就一定能中獎;③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個數(shù)字中各抽取1個,再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預報降水概率是90%”是錯誤的.根據(jù)我們所學的概率知識,其中說法正確的序號是___.答案：①③【解析】根據(jù)“概率的意義”求解,買彩票中獎的概率0.001,并不意味著買1000張彩票一定能中獎,只有當買彩票的數(shù)量非常大時,我們可以看成大量買彩票的重復試驗,中獎的次數(shù)為;昨天氣象局的天氣預報降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定會下雨.說法②④是錯誤的，而利用概率知識可知①③是正確的.故答案為①③．3．(2023·石家莊模擬）樹人中學進行籃球定點投籃測試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進得3分，未投進得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進一次得2分，未投進得0分，測試者累計得分高于3分即通過測試．甲同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每輪在A處和B處各投10次，根據(jù)統(tǒng)計該同學各輪三分球和兩分球的投進次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率，則該同學通過測試的概率是___________．答案：【解析】依題意甲同學兩分球投籃命中的概率為：，甲同學三分球投籃命中的概率為：，設甲同學累計得分為，則，甲同學通過測試的概率為．故答案為：4.(2023·臨沂二模）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【解析】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6.所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，所以利潤Y的所有可能值為－100,300,900.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.【題型三古典概型】1.(2023·唐山二模）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)大于40的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個位上可用的算籌可以分為共四類情況；第一類：，即十位用4根算籌，個位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個位為1，則兩位數(shù)為41或者81；第二類：，即十位用3根算籌，個位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個位用4根算籌，那么十位為1，個位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：所有的兩位數(shù)有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計12個，其中大于40的有41，63，67，72，76，81共計6個，故這個兩位數(shù)大于40的概率為，故選：B.2.一袋中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個球．用模擬實驗的方法，讓計算機產(chǎn)生1～9的隨機數(shù)，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個為一組，產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：917

966

191

925

271

932

735

458

569

683431

257

393

627

556

488

812

184

537

989則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】20組隨機數(shù)恰好有兩個是的有191，271，932，393，812，184共6個，因此概率為．故選：B．3．(2023·高三課時練習）從集合中隨機抽取一個數(shù)a，從集合中隨機抽取一個數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】從集合中隨機抽取一個數(shù)，從集合中隨機抽取一個數(shù)，可以組成向量的個數(shù)是（個；其中與向量垂直的向量是和，共2個；故所求的概率為．故選：B．4.(2023·廣東高三模擬）連續(xù)擲骰子兩次得到的點數(shù)分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為___________.答案：【解析】連擲骰子兩次試驗結果共有36種，要使直線與圓相交，則，即滿足．符合題意的有，共21種，由古典概型的概率計算公式可得所求概率為．故答案為：5.對于正方體6個面的中心，甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為從正方體6個面的中心中任取兩點連成直線，可得條直線，如圖所示：設正方體的邊長為2，則，，,,由正方體性質(zhì)可得平面,平面,平面,四邊形,四邊形，四邊形均為正方形，故當甲選時,乙選或或或或或時，甲，乙所選的點的連線垂直，甲選時，乙選或或時，甲，乙所選的點的連線垂直，所以甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線共有種選法，所以甲選相對兩個面的中心時，甲乙所選的點的連線垂直的選法有種，若甲選相鄰兩個側面的中心時，滿足甲乙所選的點的連線垂直的選法有種，故甲，乙所選的點的連線垂直的選法共有54種，所以事件甲乙所選的點的連線垂直的概率,故選：A.【題型四概率的基本性質(zhì)】1.(2023·福建泉州科技中學月考）甲?乙兩名同學做同一道數(shù)學題，甲做對的概率為0.8，乙做對的概率為0.9，下列說法錯誤的是（

）A．兩人都做對的概率是0.72 B．恰好有一人做對的概率是0.26C．兩人都做錯的概率是0.15 D．至少有一人做對的概率是0.98答案：C【解析】由于甲做對的概率為0.8，乙做對的概率為0.9，故兩人都做對的概率是，所以A正確；恰好有一人做對的概率是，故B正確；兩人都做錯的概率是，故C錯誤；至少有一人做對的概率是，故D正確，故選：C2．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1答案：B【解析】因為，，則，所以事件與事件不相互獨立，．故選：B3.(2023·濟北中學高三月考從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個數(shù)，則至少有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】區(qū)間的整數(shù)共有7個，則質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個；非質(zhì)數(shù)有3個；設事件：從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個數(shù)，至少有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，由，故選：4.若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因隨機事件，互斥，則，依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C5.(2023·全國·高三專題練習）下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】對于①：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；故①正確；對于②：若為兩個事件，則；故②不正確；對于③：若事件兩兩互斥，若，則，故③不正確；對于④：對于幾何概型而言，若事件滿足，，則不一定是對立事件，故④錯誤.所以錯誤的命題有個，故選：D【題型五概率與統(tǒng)計的綜合問題】1.(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測評）某學校為了解高三尖子班數(shù)學成績，隨機抽查了60名尖子生的期中數(shù)學成績，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：期中數(shù)學成績（單位：分）頻數(shù)頻率30.05xp90.15150.25180.30yq合計601.00若數(shù)學成績超過135分的學生為“特別優(yōu)秀”，超過120分而不超過135分的學生為“優(yōu)秀”，已知數(shù)學成績“優(yōu)秀”的學生與“特別優(yōu)秀”的學生人數(shù)比恰好為．(1)求x，y，p，q的值；(2)學校教務為進一步了解這60名學生的學習方法，從數(shù)學成績“優(yōu)秀”、“特別優(yōu)秀”的學生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查，求至少抽到2名學生數(shù)學成績“特別優(yōu)秀”的概率．【解析】（1）根據(jù)題意有，解得，．（2）用分層抽樣的方法選取5人，則數(shù)學成績“特別優(yōu)秀”的有人，“優(yōu)秀”的有人．設抽到3名數(shù)學成績“特別優(yōu)秀”的學生為，抽到2名數(shù)學成績“優(yōu)秀”的學生為，從5人中選取3人的所有情況為，，共10種情況，至少抽到2人數(shù)學成績”特別優(yōu)秀”的為，有7種情況，∴至少抽到2名學生數(shù)學成績“特別優(yōu)秀”的概率．2.(2023·四川·高三開學考試）客家文化是指客家人共同創(chuàng)造的物質(zhì)文化與精神文化的總和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家藝術、客家人物、客家山水、客家詩文、客家歷史、客家飲食、海內(nèi)外客家分布等多方面.石城，是客家先民遷徙的重要中轉(zhuǎn)站、客家民系的重要發(fā)源地、中華客家文化的重要發(fā)祥地，素有客家搖籃之美稱.為弘揚和發(fā)展客家文化，石城縣開展了豐富多彩的客家文化活動，引起了廣大中學生對于客家文化的極大興趣，某校從甲、乙兩個班級所有學生中分別隨機抽取8名，對他們的客家文化知識了解程度進行評分調(diào)查（滿分100分），被抽取的學生的評分結果如下莖葉圖所示：(1)分別計算甲、乙兩個班級被抽取的8名學生得分的平均值和方差，并估計兩個班級學生對客家文化知識了解的整體水平差異；(2)若從得分不低于85分的學