高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.6事件、概率、古典概型(精練)(原卷版+解析)

9.6事件、概率、古典概型【題型解讀】【題型一事件與事件的關(guān)系與運(yùn)算】1.(2023·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）已知A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相瓦獨(dú)立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨(dú)立2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③3.(2023·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若，為兩個(gè)事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．4.(2023·河南高三月考））給出下列說(shuō)法：①若事件，滿足，則，為對(duì)立事件；②把3張紅桃，，隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人張，事件“甲得紅桃”與事件“乙得紅桃”是對(duì)立事件；③一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．5．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選題）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出三件產(chǎn)品，設(shè)三件產(chǎn)品全不是次品，三件產(chǎn)品全是次品三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．與對(duì)立6．(2023·棗莊模擬）（多選題）某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.六張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，B表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．事件與事件相互獨(dú)立C．與和為D．事件A與事件B互斥【題型二頻率與概率】1.(2023·四川模擬）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià)．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（

）A． B． C． D．2.(2023·武昌模擬））有以下說(shuō)法:①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰(shuí)先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒(méi)有下雨,則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說(shuō)法正確的序號(hào)是___.3．(2023·石家莊模擬）樹(shù)人中學(xué)進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)得0分，測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過(guò)測(cè)試．甲同學(xué)為了通過(guò)測(cè)試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每輪在A處和B處各投10次，根據(jù)統(tǒng)計(jì)該同學(xué)各輪三分球和兩分球的投進(jìn)次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測(cè)試時(shí)每次投籃命中的概率，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率是___________．4.(2023·臨沂二模）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．【題型三古典概型】1.(2023·唐山二模）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（

）A． B． C． D．2.一袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個(gè)球．用模擬實(shí)驗(yàn)的方法，讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)數(shù)，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個(gè)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：917

966

191

925

271

932

735

458

569

683431

257

393

627

556

488

812

184

537

989則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（

）A． B． C． D．3．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．4.(2023·廣東高三模擬）連續(xù)擲骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為_(kāi)__________.5.對(duì)于正方體6個(gè)面的中心，甲，乙兩人分別從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．【題型四概率的基本性質(zhì)】1.(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）甲?乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．兩人都做對(duì)的概率是0.72 B．恰好有一人做對(duì)的概率是0.26C．兩人都做錯(cuò)的概率是0.15 D．至少有一人做對(duì)的概率是0.982．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．13.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4.若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件；②若為兩個(gè)事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對(duì)立事件.其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【題型五概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題】1.(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）某學(xué)校為了解高三尖子班數(shù)學(xué)成績(jī)，隨機(jī)抽查了60名尖子生的期中數(shù)學(xué)成績(jī)，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：期中數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）頻數(shù)頻率30.05xp90.15150.25180.30yq合計(jì)601.00若數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)135分的學(xué)生為“特別優(yōu)秀”，超過(guò)120分而不超過(guò)135分的學(xué)生為“優(yōu)秀”，已知數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)秀”的學(xué)生與“特別優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)比恰好為．(1)求x，y，p，q的值；(2)學(xué)校教務(wù)為進(jìn)一步了解這60名學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，從數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)秀”、“特別優(yōu)秀”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求至少抽到2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)“特別優(yōu)秀”的概率．2.(2023·四川·高三開(kāi)學(xué)考試）客家文化是指客家人共同創(chuàng)造的物質(zhì)文化與精神文化的總和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家藝術(shù)、客家人物、客家山水、客家詩(shī)文、客家歷史、客家飲食、海內(nèi)外客家分布等多方面.石城，是客家先民遷徙的重要中轉(zhuǎn)站、客家民系的重要發(fā)源地、中華客家文化的重要發(fā)祥地，素有客家搖籃之美稱.為弘揚(yáng)和發(fā)展客家文化，石城縣開(kāi)展了豐富多彩的客家文化活動(dòng)，引起了廣大中學(xué)生對(duì)于客家文化的極大興趣，某校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)所有學(xué)生中分別隨機(jī)抽取8名，對(duì)他們的客家文化知識(shí)了解程度進(jìn)行評(píng)分調(diào)查（滿分100分），被抽取的學(xué)生的評(píng)分結(jié)果如下莖葉圖所示：(1)分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的8名學(xué)生得分的平均值和方差，并估計(jì)兩個(gè)班級(jí)學(xué)生對(duì)客家文化知識(shí)了解的整體水平差異；(2)若從得分不低于85分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參觀客家文化攝影展，求這兩名學(xué)生均來(lái)自乙班級(jí)的概率.3.(2023·陜西·安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ)．同時(shí)國(guó)家提倡節(jié)約用水，全民積極維護(hù)飲用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽(yáng)市考察調(diào)研的習(xí)近平總書記來(lái)到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程、丹江口水庫(kù)，聽(tīng)取南水北調(diào)中線工程建設(shè)管理運(yùn)行和水源地生態(tài)保護(hù)等情況介紹．為了提高節(jié)約用水意識(shí)，為此，某校開(kāi)展了“節(jié)約用水，從我做起”活動(dòng)，從參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人的成績(jī)作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校此次參賽學(xué)生成績(jī)的平均分eq\x\to(x)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)在該樣本中，若采用分層隨機(jī)抽樣方法，從成績(jī)低于65分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人調(diào)查他們的答題情況，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績(jī)低于55分的概率．9.6事件、概率、古典概型【題型解讀】【題型一事件與事件的關(guān)系與運(yùn)算】1.(2023·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）已知A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相瓦獨(dú)立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨(dú)立答案：C【解析】若事件A，B互斥，則，與事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；若事件A，B相互獨(dú)立，則，而題設(shè)無(wú)法判斷是否成立，故無(wú)法判斷事件A，B是否相互獨(dú)立.故選：C.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③答案：A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A3.(2023·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若，為兩個(gè)事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．答案：C【解析】互斥不一定對(duì)立，但對(duì)立必互斥，①正確；只有A與B是互斥事件時(shí)，才有，②錯(cuò)誤；若事件A，B，C兩兩互斥，則，但不一定是必然事件，例如，設(shè)樣本點(diǎn)空間是由兩兩互斥的事件A，B，C，D組成且事件D與為對(duì)立事件，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤．故選：C.4.(2023·河南高三月考））給出下列說(shuō)法：①若事件，滿足，則，為對(duì)立事件；②把3張紅桃，，隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人張，事件“甲得紅桃”與事件“乙得紅桃”是對(duì)立事件；③一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】①，為對(duì)立事件，需滿足和，故①錯(cuò)誤；②事件“甲得紅桃”的對(duì)立事件為“甲未得紅桃”，即“乙或丙得紅桃”，故②錯(cuò)誤；③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“兩次都中靶”，則其對(duì)立事件為“兩次都不中靶”，故③正確．所以說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C5．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選題）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出三件產(chǎn)品，設(shè)三件產(chǎn)品全不是次品，三件產(chǎn)品全是次品三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．與對(duì)立答案：ABC【解析】由題意可知，三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品兩個(gè)事件，三件產(chǎn)品全不是次品，即3件產(chǎn)品全是正品，三件產(chǎn)品全是次品，由此知，與互斥，與互斥，故A，B正確，與互斥，由于總事件中還包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”兩個(gè)事件，故與不對(duì)立，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：ABC．6．(2023·棗莊模擬）（多選題）某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.六張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，B表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．事件與事件相互獨(dú)立C．與和為D．事件A與事件B互斥答案：ABC【解析】，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，B項(xiàng)正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨(dú)立而非互斥，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【題型二頻率與概率】1.(2023·四川模擬）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià)．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知可得這家健身房的總好評(píng)率為.故選：B.2.(2023·武昌模擬））有以下說(shuō)法:①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰(shuí)先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒(méi)有下雨,則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說(shuō)法正確的序號(hào)是___.答案：①③【解析】根據(jù)“概率的意義”求解,買彩票中獎(jiǎng)的概率0.001,并不意味著買1000張彩票一定能中獎(jiǎng),只有當(dāng)買彩票的數(shù)量非常大時(shí),我們可以看成大量買彩票的重復(fù)試驗(yàn),中獎(jiǎng)的次數(shù)為;昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定會(huì)下雨.說(shuō)法②④是錯(cuò)誤的，而利用概率知識(shí)可知①③是正確的.故答案為①③．3．(2023·石家莊模擬）樹(shù)人中學(xué)進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)得0分，測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過(guò)測(cè)試．甲同學(xué)為了通過(guò)測(cè)試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每輪在A處和B處各投10次，根據(jù)統(tǒng)計(jì)該同學(xué)各輪三分球和兩分球的投進(jìn)次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測(cè)試時(shí)每次投籃命中的概率，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率是___________．答案：【解析】依題意甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為：，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為：，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，甲同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為．故答案為：4.(2023·臨沂二模）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．【解析】(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6.所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，所以利潤(rùn)Y的所有可能值為－100,300,900.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.【題型三古典概型】1.(2023·唐山二模）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個(gè)位上可用的算籌可以分為共四類情況；第一類：，即十位用4根算籌，個(gè)位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個(gè)位為1，則兩位數(shù)為41或者81；第二類：，即十位用3根算籌，個(gè)位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個(gè)位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個(gè)位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個(gè)位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個(gè)位用4根算籌，那么十位為1，個(gè)位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：所有的兩位數(shù)有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計(jì)12個(gè)，其中大于40的有41，63，67，72，76，81共計(jì)6個(gè)，故這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為，故選：B.2.一袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個(gè)球．用模擬實(shí)驗(yàn)的方法，讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)數(shù)，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個(gè)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：917

966

191

925

271

932

735

458

569

683431

257

393

627

556

488

812

184

537

989則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】20組隨機(jī)數(shù)恰好有兩個(gè)是的有191，271，932，393，812，184共6個(gè)，因此概率為．故選：B．3．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，可以組成向量的個(gè)數(shù)是（個(gè)；其中與向量垂直的向量是和，共2個(gè)；故所求的概率為．故選：B．4.(2023·廣東高三模擬）連續(xù)擲骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為_(kāi)__________.答案：【解析】連擲骰子兩次試驗(yàn)結(jié)果共有36種，要使直線與圓相交，則，即滿足．符合題意的有，共21種，由古典概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為．故答案為：5.對(duì)于正方體6個(gè)面的中心，甲，乙兩人分別從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)閺恼襟w6個(gè)面的中心中任取兩點(diǎn)連成直線，可得條直線，如圖所示：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，，,,由正方體性質(zhì)可得平面,平面,平面,四邊形,四邊形，四邊形均為正方形，故當(dāng)甲選時(shí),乙選或或或或或時(shí)，甲，乙所選的點(diǎn)的連線垂直，甲選時(shí)，乙選或或時(shí)，甲，乙所選的點(diǎn)的連線垂直，所以甲，乙兩人分別從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線共有種選法，所以甲選相對(duì)兩個(gè)面的中心時(shí)，甲乙所選的點(diǎn)的連線垂直的選法有種，若甲選相鄰兩個(gè)側(cè)面的中心時(shí)，滿足甲乙所選的點(diǎn)的連線垂直的選法有種，故甲，乙所選的點(diǎn)的連線垂直的選法共有54種，所以事件甲乙所選的點(diǎn)的連線垂直的概率,故選：A.【題型四概率的基本性質(zhì)】1.(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）甲?乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．兩人都做對(duì)的概率是0.72 B．恰好有一人做對(duì)的概率是0.26C．兩人都做錯(cuò)的概率是0.15 D．至少有一人做對(duì)的概率是0.98答案：C【解析】由于甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，故兩人都做對(duì)的概率是，所以A正確；恰好有一人做對(duì)的概率是，故B正確；兩人都做錯(cuò)的概率是，故C錯(cuò)誤；至少有一人做對(duì)的概率是，故D正確，故選：C2．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1答案：B【解析】因?yàn)?，，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B3.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】區(qū)間的整數(shù)共有7個(gè)，則質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個(gè)；非質(zhì)數(shù)有3個(gè)；設(shè)事件：從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，由，故選：4.若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因隨機(jī)事件，互斥，則，依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件；②若為兩個(gè)事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對(duì)立事件.其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】對(duì)于①：對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件；故①正確；對(duì)于②：若為兩個(gè)事件，則；故②不正確；對(duì)于③：若事件兩兩互斥，若，則，故③不正確；對(duì)于④：對(duì)于幾何概型而言，若事件滿足，，則不一定是對(duì)立事件，故④錯(cuò)誤.所以錯(cuò)誤的命題有個(gè)，故選：D【題型五概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題】1.(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）某學(xué)校為了解高三尖子班數(shù)學(xué)成績(jī)，隨機(jī)抽查了60名尖子生的期中數(shù)學(xué)成績(jī)，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：期中數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）頻數(shù)頻率30.05xp90.15150.25180.30yq合計(jì)601.00若數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)135分的學(xué)生為“特別優(yōu)秀”，超過(guò)120分而不超過(guò)135分的學(xué)生為“優(yōu)秀”，已知數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)秀”的學(xué)生與“特別優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)比恰好為．(1)求x，y，p，q的值；(2)學(xué)校教務(wù)為進(jìn)一步了解這60名學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，從數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)秀”、“特別優(yōu)秀”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求至少抽到2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)“特別優(yōu)秀”的概率．【解析】（1）根據(jù)題意有，解得，．（2）用分層抽樣的方法選取5人，則數(shù)學(xué)成績(jī)“特別優(yōu)秀”的有人，“優(yōu)秀”的有人．設(shè)抽到3名數(shù)學(xué)成績(jī)“特別優(yōu)秀”的學(xué)生為，抽到2名數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)秀”的學(xué)生為，從5人中選取3人的所有情況為，，共10種情況，至少抽到2人數(shù)學(xué)成績(jī)”特別優(yōu)秀”的為，有7種情況，∴至少抽到2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)“特別優(yōu)秀”的概率．2.(2023·四川·高三開(kāi)學(xué)考試）客家文化是指客家人共同創(chuàng)造的物質(zhì)文化與精神文化的總和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家藝術(shù)、客家人物、客家山水、客家詩(shī)文、客家歷史、客家飲食、海內(nèi)外客家分布等多方面.石城，是客家先民遷徙的重要中轉(zhuǎn)站、客家民系的重要發(fā)源地、中華客家文化的重要發(fā)祥地，素有客家搖籃之美稱.為弘揚(yáng)和發(fā)展客家文化，石城縣開(kāi)展了豐富多彩的客家文化活動(dòng)，引起了廣大中學(xué)生對(duì)于客家文化的極大興趣，某校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)所有學(xué)生中分別隨機(jī)抽取8名，對(duì)他們的客家文化知識(shí)了解程度進(jìn)行評(píng)分調(diào)查（滿分100分），被抽取的學(xué)生的評(píng)分結(jié)果如下莖葉圖所示：(1)分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的8名學(xué)生得分的平均值和方差，并估計(jì)兩個(gè)班級(jí)學(xué)生對(duì)客家文化知識(shí)了解的整體水平差異；(2)若從得分不低于85分的學(xué)