高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))1.5基本不等式8大題型(精講)(原卷版+解析)

1.5基本不等式8大題型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”．【題型精講】【題型一基本不等式及其應(yīng)用】例1(2023·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)）下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．例2（多選題）(2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【題型精練】1.(2023·寧夏·銀川一中二模）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．2．（多選題）(2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【題型二直接法求最值】例3(2023·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)（理））若x，y為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．18 B．27 C．54 D．90例4(2023·河北·高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足條件，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【題型精練】1．(2023·湖北十堰·三模）函數(shù)的最小值為（

）A．4 B． C．3 D．2.（多選）(2023·河北石家莊·二模）設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．上的最小值為2 B．的最大值為1C．的最大值為4 D．的最小值為【題型三湊配法求最值】必備技巧通過(guò)配湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．例5(2023·山西·懷仁市第一中學(xué)校二模（文））函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5例6(2023·上海虹口·高三期末）已知，則的最大值為______．【題型精練】1．(2023·北京大興·高一期末）當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.【題型四“1”的代換法求最值】必備技巧“1”的代換法求最值(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．例7(2023·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，均為正數(shù)，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A．16 B．4 C．24 D．12例8(2023·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·安徽·高三階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．62.(2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為____________，此時(shí)____________．【題型五消元法求最值】必備技巧消元法求最值消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．但應(yīng)注意保留元的范圍．例9(2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6例10(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且滿足，則的最小值為_______.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．2.(2023·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．【題型六二次商式求最值】例11(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例12(2023·江西·寧岡中學(xué)高三階段練習(xí)）的最大值為______.【題型精練】1．(2023河南平頂山模擬）若對(duì)于任意x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【題型七基本不等式求參】例13(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例14(2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．10 B．12 C．16 D．92.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，若不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A． B． C．3 D．【題型八基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】例15(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實(shí)心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型．如圖所示的空心模型是體積為的球挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體，其中，平面PAB，．不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最省時(shí)，AC的長(zhǎng)．【題型精練】1．(2023·北京市十一學(xué)校高三期末）某公司要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）A．72元 B．300元 C．512元 D．816元2.(2023·廣東·高三階段練習(xí)）在足球比賽中，球員在對(duì)方球門前的不同的位置起腳射門對(duì)球門的威脅是不同的，出球點(diǎn)對(duì)球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為室內(nèi)5人制足球場(chǎng)示意圖，設(shè)球場(chǎng)（矩形）長(zhǎng)大約為40米，寬大約為20米，球門長(zhǎng)大約為4米.在某場(chǎng)比賽中有一位球員欲在邊線上某點(diǎn)處射門（假設(shè)球貼地直線運(yùn)行），為使得張角最大，則大約為（

）（精確到1米）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米1.5基本不等式8大題型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”．【題型精講】【題型一基本不等式及其應(yīng)用】例1(2023·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)）下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；只有在時(shí)才成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.例2（多選題）(2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，D對(duì).故選：ACD.【題型精練】1.(2023·寧夏·銀川一中二模）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D2．（多選題）(2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．答案：BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.【題型二直接法求最值】例3(2023·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)（理））若x，y為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．18 B．27 C．54 D．90答案：C【解析】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立.故選：C．例4(2023·河北·高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足條件，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2答案：D【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2故選：D.【題型精練】1．(2023·湖北十堰·三模）函數(shù)的最小值為（

）A．4 B． C．3 D．答案：A【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4.故選：A2.（多選）(2023·河北石家莊·二模）設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．上的最小值為2 B．的最大值為1C．的最大值為4 D．的最小值為答案：AB【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最大值為2，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：AB【題型三湊配法求最值】必備技巧通過(guò)配湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．例5(2023·山西·懷仁市第一中學(xué)校二模（文））函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5答案：D【解析】因?yàn)?，所?x－1>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為5．故選：D．例6(2023·上海虹口·高三期末）已知，則的最大值為______．答案：4【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最大值為4.故答案為：4【題型精練】1．(2023·北京大興·高一期末）當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為故選：B2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.答案：（1）函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【解析】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）令，將代入得：，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【題型四“1”的代換法求最值】必備技巧“1”的代換法求最值(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．例7(2023·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，均為正數(shù)，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A．16 B．4 C．24 D．12答案：A【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，所以，，所?故選：A.例8(2023·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)椋?，所以，又所以?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，取等號(hào)所以故選：A【題型精練】1．(2023·安徽·高三階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6答案：C【解析】解：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)；故選：C2.(2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為____________，此時(shí)____________．答案：

【解析】,為正實(shí)數(shù),且,當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“=”故答案為:【題型五消元法求最值】必備技巧消元法求最值消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．但應(yīng)注意保留元的范圍．例9(2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6答案：B【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故選：B.例10(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且滿足，則的最小值為_______.答案：##【解析】∵，且滿足，∴，=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由正實(shí)數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值是1．故選：D2.(2023·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．答案：【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足b+3a＝2ab，所以a＝，則＝＝＝﹣2（）2+，當(dāng)，即b＝2時(shí)取得最大值．故答案為：．【題型六二次商式求最值】例11(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值答案：A【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A例12(2023·江西·寧岡中學(xué)高三階段練習(xí)）的最大值為______.答案：【解析】令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：.【題型精練】1．(2023河南平頂山模擬）若對(duì)于任意x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))答案：A【解析】由x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t＝x＋eq\f(1,x)，則t≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，t取得最小值2.eq\f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq\f(1,5)，所以對(duì)于任意的x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a≥eq\f(1,5).2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值答案：A【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A【題型七基本不等式求參】例13(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得故選：C例14(2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.答案：2【解析】解：因?yàn)椋瑒t，則，即，又，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．10 B．12 C．16 D．9答案：D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等所以．故選：D．2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，若不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值為（