人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 《任意角 弧度制》

5.1.1任意角三角函數(shù)一二三一、任意角1.(1)初中所學(xué)的角是如何定義的?初中學(xué)過(guò)哪些角?初中學(xué)過(guò)的角的范圍是什么?提示:具有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形;銳角、直角、鈍角、平角、周角;0°<α≤360°.(2)在奧運(yùn)會(huì)比賽中,跳水是極具觀賞性的項(xiàng)目,其中解說(shuō)員經(jīng)常播報(bào)出場(chǎng)運(yùn)動(dòng)員完成的動(dòng)作難度系數(shù)和一些動(dòng)作名稱(chēng).比如說(shuō)“107B”就表示向前翻騰3周半屈體,“107C”就是向前翻騰3周半抱膝(第三個(gè)數(shù)字表示翻騰的周數(shù),以“1”為半圓,“2”為一周,“3”為一周半,以此類(lèi)推).若一位跳水運(yùn)動(dòng)員做了一個(gè)“5253B”動(dòng)作,你知道這位運(yùn)動(dòng)員翻騰的周數(shù)嗎?怎樣度量這種形式的角呢?提示:5253B中第3個(gè)數(shù)是5,說(shuō)明該運(yùn)動(dòng)員翻騰兩周半,對(duì)這樣的角的認(rèn)識(shí)必須將以前學(xué)過(guò)的角的概念進(jìn)行推廣.一二三2.填空(1)角的概念:平面內(nèi)的一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的分類(lèi):按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類(lèi)溫馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡(jiǎn)記成“α”;2.如果α是零角,那么記α=0°.一二三二、第幾象限角1.如果將一個(gè)角放到平面直角坐標(biāo)系中,且使角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,回答以下問(wèn)題:(1)α=45°的角終邊落在第幾象限?提示:第一象限.(2)α=120°的角終邊落在第幾象限?提示:第二象限.(3)α=-90°的角終邊落在第幾象限?提示:y軸的負(fù)半軸上.(4)若α終邊落在第二象限,則角φ的范圍是多少?提示:90°+k·360°<φ<180°+k·360°,k∈Z.(5)若將α的終邊再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角β得到的角如何表示?提示:α+β一二三2.填空象限角的定義(1)前提:①角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合;②角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.(2)結(jié)論:角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;角的終邊在坐標(biāo)軸上,就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.一二三三、終邊相同的角1.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出30°,390°,-330°,750°角,觀察它們的終邊有什么關(guān)系,這些角之間相差多少度?提示:終邊在相同的位置,它們之間相差360°的整數(shù)倍.2.填空一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.一二三3.做一做(1)與-40°角終邊相同的角的集合是(

)A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}答案:A(2)與1680°角終邊相同的最大負(fù)角是

.

解析:1

680°=5×360°-120°,故與1

680°角終邊相同的最大負(fù)角是-120°.答案:-120°(3)今天是星期一,那么7k(k∈Z)天后的那一天是

,7k+2(k∈Z)天后的那一天是

,2020天后的那一天是

.

答案:星期一

星期三

星期天探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練任意角的概念及其表示例1(1)經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí),鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是(

)A.60°,720° B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°(2)下圖中的角α的度數(shù)是

.

解析:(1)鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),因此轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是負(fù)的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是-60°,-720°.(2)要正確識(shí)圖,確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小.因?yàn)榻铅列D(zhuǎn)的大小是360°-30°=330°,旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針,所以α=330°.答案:(1)B

(2)330°探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

確定任意角的方法:(1)定方向:明確該角是由順時(shí)針?lè)较蜻€是逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的,由逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角為正角,順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角為負(fù)角.(2)定大小:根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的絕對(duì)量確定角的大小.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1(1)把一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)240°所形成的角是(

)A.120° B.-120°

C.240° D.-240°(2)圖中角α=

,β=

.

解析:(1)一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)240°所形成的角是-240°,故選D.(2)由題圖可知α=-(180°-30°)=-150°,β=30°+180°=210°.答案:(1)D

(2)-150°

210°探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練坐標(biāo)系中角的概念及其表示角度1

終邊相同的角的求解例2寫(xiě)出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角.分析:根據(jù)與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z},寫(xiě)出與75°角終邊相同的角的集合,再取適當(dāng)?shù)膋值,求出360°~1

080°范圍內(nèi)的角.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.當(dāng)360°≤β<1

080°時(shí),即360°≤k·360°+75°<1

080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時(shí),β=435°;當(dāng)k=2時(shí),β=795°.綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1

080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角.反思感悟

求與已知角α終邊相同的角時(shí),要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練角度2

終邊在某條直線上的角的集合例3寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.分析:定0°~360°范圍內(nèi)終邊在所給直線上的兩個(gè)角→分別寫(xiě)出與兩個(gè)角終邊相同的角的集合→寫(xiě)出兩個(gè)集合的并集即可探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個(gè),即0°和180°,又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有與180°角終邊相同的角的集合為S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由圖形易知,在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個(gè),即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z},結(jié)合(2)知所求角的集合為S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

終邊落在x軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸、x軸、y軸的非負(fù)半軸、y軸的非正半軸、y軸、坐標(biāo)軸上的角的集合終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°,k∈Z};終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+180°,k∈Z};終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z};終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+90°,k∈Z};終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°-90°,k∈Z};終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z};終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{x|x=k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練角度3

區(qū)域角的求解例4如圖所示,寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界).分析:(1)要注意角的起始邊界與終止邊界的書(shū)寫(xiě);(2)注意角的終邊所出現(xiàn)的規(guī)律性是每隔180°就會(huì)重復(fù)出現(xiàn).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)對(duì)于陰影部分,先取[-60°,75°]這一范圍,再結(jié)合其規(guī)律性可得終邊落在陰影部分內(nèi)角的集合為{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)對(duì)于陰影部分,先取[60°,90°]這一范圍,再結(jié)合其出現(xiàn)的規(guī)律性可知集合為{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.反思感悟

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.其寫(xiě)法可分為三步:(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)系中先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界;(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始邊界和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β;(3)分別將起始邊界,終止邊界的對(duì)應(yīng)角α,β加上360°的整數(shù)倍,即可求得區(qū)域角.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練象限角及其應(yīng)用角度1

給定一個(gè)角判斷它是第幾象限角例5已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,作出下列各角,指出它們是第幾象限角,并指出在0°~360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角.(1)405°;(2)-45°;(3)495°;(4)-520°.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:作出各角的終邊如圖所示.由圖可知:(1)405°是第一象限角;(2)-45°是第四象限角;(3)495°是第二象限角;(4)-520°是第三象限角角.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(1)405°=45°+360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與405°角終邊相同的角是45°.(2)-45°=315°-360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-45°角終邊相同的角是315°角.(3)495°=135°+360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與495°角終邊相同的角是135°角.(4)-520°=200°-2×360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-520°角終邊相同的角是200°角.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

(1)作給定的各個(gè)角時(shí),可先找出在0°~360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角,然后根據(jù)角的表示方式,利用正角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的圈數(shù),負(fù)角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的圈數(shù),在圖形中標(biāo)注相應(yīng)的圈數(shù)和旋轉(zhuǎn)方向即可.(2)判斷角α是第幾象限角的常用方法為將α寫(xiě)成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范圍內(nèi))的形式,觀察角β的終邊所在的象限即可.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練

探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(1)畫(huà)出區(qū)域:將坐標(biāo)系每個(gè)象限二等分,得到8個(gè)區(qū)域;(2)標(biāo)號(hào):自x軸正向逆時(shí)針?lè)较虬衙總€(gè)區(qū)域依次標(biāo)上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如圖所示);(3)確定區(qū)域:找出與角α所在象限標(biāo)號(hào)一致的區(qū)域,即為所求.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練對(duì)任意角的概念不清導(dǎo)致角的范圍寫(xiě)錯(cuò)典例

寫(xiě)出終邊在如圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合.錯(cuò)解一終邊為OA的角為k·360°+30°(k∈Z),終邊為OB的角為k·360°+150°(k∈Z),所以終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}.錯(cuò)解二終邊為OA的角為k·360°+30°(k∈Z),終邊為OB的角為k·360°+150°(k∈Z),所以終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|k·360°+150°<α<k·360°+30°,k∈Z}.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?怎么防范?探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練提示:錯(cuò)解一考慮了角的大小,但表示的是終邊落在陰影部分以外的角;錯(cuò)解二沒(méi)有注意到角的大小,寫(xiě)出的集合是空集.正解:因?yàn)殛幱安糠趾瑇軸正半軸,所以終邊為OA的角為β=30°+k·360°,k∈Z,終邊為OB的角為γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.防范措施

1.用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí),要注意觀察角的集合形式是否能夠合并,能合并的一定要合并.2.對(duì)于區(qū)域角的書(shū)寫(xiě),一定要看其區(qū)域是否跨越x軸的正方向.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.下列敘述正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.第四象限角一定是負(fù)角D.鈍角比第三象限角小解析:90°角是三角形的內(nèi)角,它不是第一或第二象限角,故A錯(cuò);280°角是第四象限角,它是正角,故C錯(cuò);-100°角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯(cuò).答案:B探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(

)A.315°-5×360° B.45°-4×360°C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°解析:∵0°≤α<360°,∴排除C,D選項(xiàng),經(jīng)計(jì)算可知選項(xiàng)A正確.答案:A3.-495°角的終邊與下列哪個(gè)角的終邊相同(

)A.135° B.45° C.225° D.-225°解析:因?yàn)?495°=-2×360°+225°,所以與-495°角終邊相同的是225°角.故選C.答案:C4.與-2018°角終邊相同的最小正角是

.

解析:∵-2

018°=-6×360°+142°,∴所求值為142°.答案:142°探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練5.若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分中,試寫(xiě)出其集合.解:以O(shè)A為終邊的角為75°+k·360°(k∈Z),以O(shè)B為終邊的角為k·360°-30°(k∈Z),因此終邊落在陰影部分中的角的集合可以表示為{α|k·360°-30°<α<k·360°+75°,k∈Z}.5.1.2

弧度制三角函數(shù)一二三一、弧度制1.(1)在平面幾何中,1°的角是怎樣定義的?提示:將圓周分成360等份,每一段圓弧所對(duì)的圓心角就是1°的角.(2)在我們度量長(zhǎng)度時(shí),有時(shí)用“米”作單位,有時(shí)用“尺”作單位,有不同的單位制,度量質(zhì)量時(shí),可以使用“千克”、“磅”等不同的單位制,角的度量除了角度制外,是否也有不同的單位制呢?提示:有不同的單位制,即弧度制.一二三2.填空弧度制的定義3.將半徑為r的圓的一條半徑OA,繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB,若弧AB長(zhǎng)為2r,則∠AOB的大小為多少弧度?提示:-2弧度.一二三4.填空弧度數(shù)的計(jì)算5.做一做已知半徑為12cm,弧長(zhǎng)為8πcm的弧,其所對(duì)的圓心角為α,則α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是

.

一二三二、角度與弧度的換算1.由360°=2πrad,180°=πrad,你能進(jìn)行角的角度數(shù)與弧度數(shù)的轉(zhuǎn)換嗎?即1°的角等于多少弧度?1rad的角等于多少度?一二三2.角度制與弧度制的換算(1)角度制與弧度制的換算(2)一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

一二三3.做一做下列換算結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)答案:C一二三三、弧度制下扇形的弧長(zhǎng)與面積公式1.在弧度制下,弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式可以寫(xiě)成什么形式?你能推導(dǎo)嗎?一二三2.填空扇形的弧長(zhǎng)及面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,α為其圓心角,則一二三3.做一做已知扇形的半徑r=30,圓心角α=,則該扇形的弧長(zhǎng)等于

,面積等于

,周長(zhǎng)等于

.

答案:5π

75π

60+5π.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練弧度制的概念例1(多選題)下列說(shuō)法中正確的是(

)A.弧度角與實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系C.根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度D.無(wú)論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小有關(guān)解析:無(wú)論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小無(wú)關(guān),而是與弧長(zhǎng)和半徑的比值有關(guān),故D項(xiàng)錯(cuò)誤.答案:ABC探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

1.不管是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑的大小無(wú)關(guān)的定值.2.用角度制和弧度制度量零角,單位不同,但數(shù)量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,單位不同,數(shù)量也不同.3.以弧度為單位表示角的大小時(shí),“弧度”或“rad”通常省略不寫(xiě),但以度為單位表示角的大小時(shí),“度”或“°”不能省去.4.以弧度為單位度量角時(shí),常把弧度數(shù)寫(xiě)成nπ(n∈R)的形式.若無(wú)特別要求,不必把π寫(xiě)成小數(shù),如45°=

rad,不必寫(xiě)成45°≈0.785

rad.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1下列說(shuō)法正確的是(

)A.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的弧B.1弧度是1°的圓心角所對(duì)的弧C.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角D.1弧度等于1°解析:1弧度角的定義:長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.由上可知,只有C正確.答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練弧度與角度的換算例2(1)把112°30'化為弧度;(3)將-1485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法:(1)關(guān)鍵:抓住互化公式π

rad=180°是關(guān)鍵;(3)角度化弧度時(shí),應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度;(4)角度化為弧度時(shí),其結(jié)果寫(xiě)成π的形式,沒(méi)特殊要求,切不可進(jìn)行近似計(jì)算,也不必將π化為小數(shù);(5)注意角度制和弧度制不能混用,如α=2kπ+45°,k∈Z,β=k·360°+,k∈Z都是不正確的寫(xiě)法.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練(1)將α1,α2用弧度表示出來(lái),并指出它們是第幾象限角;(2)將β1,β2用角度表示出來(lái),并在-720°~0°范圍內(nèi),找出與它們有相同終邊的所有角.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練用弧度表示角及其范圍例3用弧度表示終邊落在下列各圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.分析:先將邊界角由角度化為弧度,再根據(jù)陰影部分寫(xiě)出角的集合.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

用弧度制表示角應(yīng)注意的問(wèn)題:(1)用弧度表示區(qū)域角,實(shí)質(zhì)是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用,必要時(shí),需進(jìn)行角度與弧度的換算.注意單位要統(tǒng)一,角度數(shù)與弧度數(shù)不能混用.(2)在表示角的集合時(shí),可以先寫(xiě)出一周范圍(如-π~π,0~2π)內(nèi)的角,再加上2kπ,k∈Z.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3以弧度為單位,寫(xiě)出終邊落在直線y=-x上的角的集合.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練弧長(zhǎng)公式與面積公式的應(yīng)用例4(1)已知扇形的周長(zhǎng)為8cm,圓心角為2,求該扇形的面積;(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積等于4cm2,求其圓心角的弧度數(shù).分析: