考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷11（共89題）

考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷11（共6套）（共89題）考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷第1套一、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)有定義，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax．知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)A，B均為n階矩陣，E+AB可逆，化簡(E+BA)[E－B(E+AB)－1A]．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E+BA)[E－B(E+AB)－1A]=E+BA－B(E+AB)－1A－BAB(E+AB)－1A=E+BA－B(E+AB)(E+AB)－1A=E+BA－BA=E．知識點(diǎn)解析：暫無解析3、求函數(shù)F(x)=的間斷點(diǎn)，并判斷它們的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于函數(shù)F(x)的分段點(diǎn)x=0，因故x=0是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)．當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)=在x=1處沒有定義，且極限不存在．故x=1是函數(shù)F(x)的振蕩間斷點(diǎn)．，k=0，1，2，…處沒有定義，則這些點(diǎn)都是函數(shù)F(x)的間斷點(diǎn)．特別對點(diǎn)故是函數(shù)F(x)的可去間斷點(diǎn)；而點(diǎn)xk=一kπ一，k=1，2，…，顯然是函數(shù)F(x)的無窮間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析4、求y＝f(χ)＝的漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)＝∞，所以y＝f(χ)沒有水平漸近線，由f(χ)＝－∞得χ＝0為鉛直漸近線，由f(χ)＝∞得χ＝2為鉛直漸近線，得y＝χ＋3為斜漸近線．知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)f(x)在[0，+∞]連續(xù)，且=0。證明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：作函數(shù)F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)＋x]dx=∫01f(x)dx+＜0。所以由積分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因?yàn)椋?=1，所以，由極限的保號性，存在b＞a，使＞0，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一個ξ∈[a，b](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。知識點(diǎn)解析：暫無解析6、已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及線性無關(guān)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?為A的特征值，所以解得a=1．由|λE—A|==λ(λ一2)2=0得λ1=0，λ2=λ3=2．λ1=0代入(λE—A)X=0，λ2=λ3=2代入(2E—A)X=0，λ2=λ3=2對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為知識點(diǎn)解析：暫無解析7、將長為a的一段鐵絲截成兩段，用一段圍成正方形，另一段圍成圓，為使兩段面積之和最小，問兩段鐵絲各長多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)圍成圓的鐵絲長為x，則圍成正方形的鐵絲長為a－x，于是圓的半徑r=，正方形邊長(a－x)，問題是求面積S(x)=，x∈(0，a)的最小值點(diǎn)．由=>x=時(shí)面積和最小．知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)二維非零向量α不是二階方陣A的特征向量．(1)證明α，Aα線性無關(guān)；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，討論A可否對角化；標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)若α，Aα線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，可設(shè)k2≠0，所以Aα=，矛盾，所以α，Aα線性無關(guān)．(2)由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因?yàn)棣痢?，所以r(A2+A-6E)＜2，從而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E-A｜=0，則｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，則3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，則2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二階矩陣A有兩個特征值-3，2，故A可對角化．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、變換二次積分的積分次序：。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5—8所示，D=D1+D2，其中知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)和g(x)在[a，b]上連續(xù)．試證：(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx．∫abg2(x)dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮[f(x)+λg(x)]2dx≥0.知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的滿足初始條件y(1)＝0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得令u＝，則原方程化為，積分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即u＋＝Cχ，將初始條件y(1)＝0代入得C＝1．由＝即滿足初始條件的特解為y＝．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(-x)=1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)13、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：即a=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析14、若x→0時(shí),f(x)一a與xk是同階無窮小，求常數(shù)k的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，是等價(jià)無窮小，故由題設(shè)，x→0時(shí)f(x)一a與xk是同階無窮小，所以k=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷第2套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限，其中n為給定的自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識點(diǎn)解析：暫無解析2、計(jì)算二重積分，其中D是由x軸，y軸與曲線所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—17的陰影部分所示。知識點(diǎn)解析：暫無解析3、求常數(shù)a，b使得f(x)=在x=0處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，知識點(diǎn)解析：暫無解析4、試確定常數(shù)a與n的一組值，使得當(dāng)x→0時(shí)，一ln[e(1+x2)]與axn為等價(jià)無窮小．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=1，n=4(利用泰勒公式)知識點(diǎn)解析：暫無解析5、解下列微分方程：(Ⅰ)y"－7y’+12y=x滿足初始條件的特解；(Ⅱ)y"+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0為常數(shù)；(Ⅲ)y"’+y"+y’+y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)相應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2－7λ+12=0，它有兩個互異的實(shí)根：λ1=3，λ2=4，所以，其通解為=C1e3x+C2e4x．由于0不是特征根，所以非齊次方程的特解應(yīng)具有形式y(tǒng)*(x)=Ax+B．代入方程，可得，所以，原方程的通解為y(x)=+C1e3x+C2e4x．代入初始條件，則得因此所求的特解為y(x)=(Ⅱ)由于相應(yīng)齊次方程的特征根為±ai，所以其通解為=C1cosax+C2sinax．求原非齊次方程的特解，需分兩種情況討論：①當(dāng)a≠b時(shí)，特解的形式應(yīng)為Acosbx+Bsinbx，將其代入原方程，則得所以，通解為y(x)=cosbx+C1cosax+C2sinax,其中C1，C2為任意常數(shù)．②當(dāng)a=b時(shí)，特解的形式應(yīng)為Axcosax+Bxsinax，代入原方程，則得A=0．B=原方程的通解為y(x)=xsinax+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2為任意常數(shù)．(Ⅲ)這是一個三階常系數(shù)線性齊次方程，其相應(yīng)的特征方程為λ3+λ2+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ2+1)=0，其特征根為λ1=－1，λ2，3=±i，所以方程的通解為y(x)=C1e－x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e－χ、χ軸、y軸及χ＝a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞χ軸一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)．(2)設(shè)V(c)＝V(a)，求c．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)V(a)＝π∫0ae2χdχ＝(1－e-2a)．(2)由V(c)＝(1－e-2c)，解得c＝ln2．知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy-y=0與ez-xz=0確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：，方程exy-y=0兩邊對x求導(dǎo)得方程ez-xz=0兩邊對x求導(dǎo)得則知識點(diǎn)解析：暫無解析8、已知A＝，求A的特征值、特征向量，并判斷A能否相似對角化，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由特征多項(xiàng)式｜λE－A｜＝(λ－2)(λ＋1)2，得到矩陣A的特征值λ1＝2，λ2＝λ3＝－1．由(2E－A)χ＝0得基礎(chǔ)解系α1＝(5，－2，9)T，即λ＝2的特征向量是k1α1(k1≠0)．由(－E－A)χ＝0得基礎(chǔ)解系α2＝(1，－1，0)T，即λ＝－1的特征向量是k2α2(k2≠0)．因?yàn)榫仃嘇只有2個線性無關(guān)的特征向量，所以A不能相似對角化．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3標(biāo)準(zhǔn)答案：則f(x1，x2，x3)2y1x2-2y2x2+8y1x3+4y2x3=2(y1+2y3)2-2(y2-y3)2-6y32，f(x1，x2，x3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z12-2z22-6z32知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所確定，其中廠是可微函數(shù)，計(jì)算并化成最簡形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊對χ求偏導(dǎo)得2χ＋2z＝y(tǒng)f(z2)＋2χyzf′(z2)，解得χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊對y求偏導(dǎo)得2y＋2z＝χf(z2)＋2χyzf′(z2)，知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，且對任意的x，y∈(-∞，+∞)有｜(fx)-f(y)｜≤｜x-y｜．證明：｜∫abf(x)dx-(b-a)f(a)｜≤(b-a)2標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?b-a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫ab(x)dx-(b-a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)-f(a)dx｜≤∫ab｜f(x)-f(a)｜dx≤知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)點(diǎn)A(1，0，0)，B(0，1，1)，線段AB繞z軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面為S．12、求旋轉(zhuǎn)曲面的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：={-1，1，1)，直線AB的方程為設(shè)對任意的M(x，y，z)∈S，過M垂直于z軸的截口為圓，其與直線AB及z軸的交點(diǎn)為M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜，得x2+y2=x02+y02，因?yàn)镸0在直線AB上，所以有從而代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程為S：x2+y2=(1-z)2+z2，即S：x2+y2=2z2-2z+1．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求曲面S介于平面z=0與z=1之間的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的z∈[0，1]，垂直于z軸的截口圓面積為A(z)=π(x2+y2)=π(2z2-2z+1)知識點(diǎn)解析：暫無解析14、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷第3套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)A，B均為n階方陣，滿足A2=A，B2=B，(A—B)2=A+B，證明：AB=BA=O。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?A—B)2=A2—AB—BA+B2=A+B—(AB+BA)，所以AB+BA=O，(*)用A左乘(*)式得A2B+ABA=O，即有AB=—ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=D，則有BA=—ABA。故有AB=BA=O。知識點(diǎn)解析：暫無解析2、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(x)在[0，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0，證明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，φ(0)=φ(1)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-a[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，故f”(ξ)=f(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)f(x)=x3+4x2一3x一1，試討論方程f(x)=0在(一∞，0)內(nèi)的實(shí)根情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(一5)=一11＜0，f(一1)=5＞0，f(0)=一1＜0，所以f(x)在[一5，一1]及[一1，0]上滿足零點(diǎn)定理的條件，故存在ξ1∈(一5，一1)及ξ2∈(一1，0)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，所以方程f(x)=0在(一∞，0)內(nèi)存在兩個不等的實(shí)根．又因?yàn)閒(1)=1＞0，同樣f(x)在[0，1]上滿足零點(diǎn)定理的條件，在(0，1)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ3，使得f(ξ3)=0，而f(x)=0為三次多項(xiàng)式方程，它最多只有三個實(shí)根，因此方程f(x)=0在(一∞，0)內(nèi)只有兩個不等的實(shí)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)閉區(qū)域D：x2＋y2≤v，x≥0，f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，且求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)x∈(0，1)，證明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，[x一ln(1+x)]＞0．則φ’(x)單調(diào)遞增．從而φ’(x)＞φ‘(0)=0，則φ(x)單調(diào)遞增，則φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．由(1)得，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)f’(x)＜0，知f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)＞f(1)=又因?yàn)楫?dāng)x∈(0，1)時(shí)，f’(x)＜0，知f(x)單調(diào)遞減，且f(x)＜f(0+)=所以知識點(diǎn)解析：暫無解析7、求微分方程y"＋2y’－3y＝e－3x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識點(diǎn)解析：暫無解析8、求曲線y=+ln(1+ex)的漸近線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：只有間斷點(diǎn)x=0，因=∞，故有垂直漸近線x=0．又因此，x→+∞時(shí)有斜漸近線y=x．最后，=0+ln1=0，于是x→－∞時(shí)有水平漸近線y=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(χ)在χ＝a處二階可導(dǎo)，證明＝f〞(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)D是由點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形區(qū)域，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：將區(qū)域向x軸投影，令D1={(x，y)｜0≤x≤1，≤y≤2x}，D2=(x,y)｜1≤x≤2，≤y≤3-x}，則知識點(diǎn)解析：暫無解析11、(1)設(shè)D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy與f"yx在D上連續(xù)，證明：(2)設(shè)D為xOy平面上的區(qū)域，若f"xy與f"yx都在D上連續(xù)，證明：f"xy與f"yx在D上相等．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)f"xy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdf’xy(x，y)=∫abf’x(x，y)∫cddx=∫ab[f’x(x，d)一f’x(x，c)]dx=f(x，d)｜ab—f(x，c)｜ab=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，f"yx(x，y)dxdy=∫cddy∫abf"yx(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．結(jié)論成立．(2)用反證法．設(shè)存在P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)．不妨設(shè)f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0，由于[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]=f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0．由極限的保號性，ε0＞0，δ＞0，當(dāng)P(x，y)∈U(P0，δ)時(shí)有f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0．由(1)有，[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]dxdy=0，這與上述結(jié)論矛盾，故f"xy(x，y)與f"yx(x，y)在D上相等．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、已知A是三階實(shí)對稱矩陣，滿足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩陣A的全部特征值，并求秩r(A+E)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)λ是矩陣A的任一特征值，α(α≠0)是屬于特征值A(chǔ)的特征向量，則Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因?yàn)樘卣飨蛄喀痢?，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于實(shí)對稱矩陣的特征值必是實(shí)數(shù)，從而矩陣A的特征值是0或一2。由于實(shí)對稱矩陣必可相似對角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A一Λ，則有A+E～Λ+E=，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知識點(diǎn)解析：暫無解析飛機(jī)以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機(jī)行至O時(shí)被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機(jī)飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機(jī)，且速度大小為2v．13、求導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得所以導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡滿足的微分方程及初始條件為知識點(diǎn)解析：暫無解析14、導(dǎo)彈運(yùn)行方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識點(diǎn)解析：暫無解析15、已知曲線上任一點(diǎn)切線的斜率為2x，并且曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，－2)，求此曲線的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷第4套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、下列矩陣是否相似于對角矩陣?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)是，因該方陣的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3互不相同；(2)因A的特征值為λ1=λ2=λ3=λ4=1，但r(E-A)=2，A的線性無關(guān)特征向量只有2個(或用反證法)．知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)矩陣A=的特征值之和為1，特征值之積為-12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一個可逆矩陣P，使P-1AP=A為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2．P=，可使P-1AP=.知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)熱水瓶內(nèi)熱水溫度為T，室內(nèi)溫度為T0，t為時(shí)間(以小時(shí)為單位)．根據(jù)牛頓冷卻定律知：熱水溫度下降的速率與T－T0成正比．又設(shè)T0＝20℃，當(dāng)t＝0時(shí)，T＝100℃，并知24小時(shí)后水瓶內(nèi)溫度為50℃，問幾小時(shí)后瓶內(nèi)溫度為95℃．標(biāo)準(zhǔn)答案：溫度變化的速率即，牛頓冷卻定律給出了這個變化率滿足的條件，寫出來它就是溫度T所滿足的微分方程：＝－k(T－T0)，其中k為比例常數(shù)，且k＞0．其通解為T＝T0＋Ce-kt．再由題設(shè)：T0＝20，T(0)＝100，T(24)＝50，所以C＝80，k＝(ln8－ln3)．這樣，溫度T＝20＋80．若T＝95，則t＝＝1．58，即在1．58小時(shí)后熱水的溫度降為95℃．知識點(diǎn)解析：暫無解析4、計(jì)算不定積分∫[x]|sinπx|dx如(x≥0)，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)原函數(shù)為F(x)，分別求出在區(qū)間[0，1)，[1，2)，[2，3)，…，[[x]，x)上滿足F(0)=0的原函數(shù)F(x)的增量如下：在[0，1)上，∫0．sinπxdx=C1,F(1)一F(0)=0；從而，對于x≥0，得到∫[x]sinπx|dx=F(x)+C=(F(1)一F(0))+(F(2)一F(1))+(F(3)一F(2))+…+(F(x)一F([x]))+C知識點(diǎn)解析：暫無解析5、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由2χy＝χ＋y確定，求dy｜χ＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ＝0時(shí)，y＝1．2χy＝χ＋y兩邊關(guān)于χ求導(dǎo)得將χ＝0，y＝1代入得＝ln2－1，故dy｜χ＝0＝(ln2－1)dχ．知識點(diǎn)解析：暫無解析7、(1)求二元函數(shù)f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的極值．(2)求函數(shù)f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)二元函數(shù)f(χ，y)的定義域?yàn)镈＝{(χ，y)｜y＞0}，由得(χ，y)＝(0，)，因?yàn)锳C－B2＞0且A＞0，所以為f(χ，y)的極小點(diǎn)，極小值為．由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(χ，y)＝(－1，0)為f(χ，y)的極小值點(diǎn)，極小值為f(－1，0)＝－1．知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)α1，α2，α3為四維列向量組，α1，α2線性無關(guān)，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求Ax=0的一個基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：由，r(A)=2可知Ax=0的基礎(chǔ)解系含有一個線性無關(guān)的解向量，而3α1+2α2-α3=0，因此ξ=為Ax=0的一個基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)C＝為正定矩陣，令P＝，(1)求PTCP；(2)證明：D－BA-1BT為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)镃＝為正定矩陣，所以AT＝A，DT＝D，(2)因?yàn)镃與合同，且C為正定矩陣，所以為正定矩陣，故A與D－BA-1BT都是正定矩陣．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣且ABA-1=BA-1+3E，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知(A—E)BA-1=3E，兩端右邊乘A，得(A—E)B=3A，兩端左邊乘A-1，得A-1(A-E)B=3E，即(E一A-1)B=3E，則其中|A*|=8=|A|3，|A|=2，從而得(2E一A*)B=6E，B=6(2E一A*)-1，故知識點(diǎn)解析：暫無解析11、二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩陣的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的規(guī)范形為y12+y22，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：①f(x1，x2，x3)的矩陣為記B=．則A=B+aE．求出B的特征多項(xiàng)式｜λE-B｜=λ3+λ2-2λ=λ(λ+2)(λ-1)，B的特征值為-2，0，1，于是A的特征值為a-2，a，a+1．②因?yàn)閒(x1，x2，x3)的規(guī)范形為y2+y2時(shí)，所以A的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0，于是A的特征值2個正，1個0，因此a=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)A是n階正定矩陣，E是n階單位矩陣，證明：A+E的行列式大于1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A為n階正定矩陣，則A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0．因而A+E的特征值分別為λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，則|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、飛機(jī)在機(jī)場開始滑行著陸，在著陸時(shí)刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m／s)，飛機(jī)與地面的摩擦系數(shù)為u，且飛機(jī)運(yùn)動時(shí)所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg．s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg．s2／m2)．設(shè)飛機(jī)的質(zhì)量為m(kg)，求飛機(jī)從著陸到停止所需要的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxv2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2，摩擦力為W=u(mg-Ry)，由牛頓第二定律，有知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。14、證明存在，并求該極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數(shù)學(xué)歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。于是(因當(dāng)x＞0時(shí)，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。設(shè)在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即知識點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：因由(I)知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷第5套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)海涅定理,知識點(diǎn)解析：暫無解析2、已知，XA+2B=AB+2X，求X2017．標(biāo)準(zhǔn)答案：由XA+2B=AB+2X化得：X(A－2E)=(A－2E)B，即X=(A－2E)B(A－2E)－1，則X2017=(A－2E)B2017(A－2E)－1=(A－2E)B(A－2E)－1=X．再從關(guān)于X的矩陣方程X(A－2E)=(A－2E)B用初等變換法求解X：((A－2E)T｜B(A－2E)T)=(AT－2E｜B(AT－2E))知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)A、B為同階實(shí)對稱矩陣，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b為常數(shù)，證明：矩陣A+B的特征值全大于a+b．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)λ為A+B的任一特征值，則有X≠0，使(A+B)X=λX(A+B)X-(a+b)X=λX-(a+b)X[(A=aE)+(B-bE)]X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)為(A-aE)+(B-bE)的特征值，由條件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．設(shè)s為A+B的最小特征值，對應(yīng)的特征向量為X1，設(shè)A、B的最小特征值分別為λ1和μ1，有s=≥λ1+μ1＞a+b．故A+B的特征值全大于a+b．知識點(diǎn)解析：暫無解析4、已知線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為(b11,b12,…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2…，bn,2n)T．試寫出線性方程組的通解，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)方程組(I)與(Ⅱ)的系數(shù)矩陣分別為A和B，則由(I)的基礎(chǔ)解系可知ABT=O，于是BAT=(ABT)T=O，所以A的n個行向量的轉(zhuǎn)置也是方程組(Ⅱ)的n個解向量．由于(b11,b12，…，b1,2n)T，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bb,2n)T為方程組(I)的基礎(chǔ)解系，所以該向量組線性無關(guān)，故r(B)=n，從而方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)為2n—n=n．又由于方程組(I)的未知數(shù)的個數(shù)為2n，基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)為n，所以方程組(I)的系數(shù)矩陣的秩r(A)=n，于是A的n個行向量的轉(zhuǎn)置是線性無關(guān)的，從而構(gòu)成方程組(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系，于是方程組(Ⅱ)的通解為y=k1(a11，a12，…，a1,2n)T+k2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+kn(an1，an2，…，an,2n)T，其中k1，k2，…，kn為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：本題考查齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念和通解的結(jié)構(gòu)以及方程組系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系中解向量個數(shù)的關(guān)系．5、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：先求而且f(x)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合，u是中間變量；φ(xy)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合，v是中間變量。由于方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，且f’(a)=f’(b)=0，證明：∈(a，b)，使標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)在x=a，x=b展開泰勒公式．f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(x-a)2知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3經(jīng)正交變換x=Py化成產(chǎn)f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3維列向量，P是3階正交矩陣.試求常數(shù)α，β．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為因?yàn)镻為正交矩陣，所以即A與B相似，故A與B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，這些特征值滿足｜λE一A｜=0．當(dāng)λ1=0，則由式(1)和(2)，可求得α=β=0．知識點(diǎn)解析：本題主要考查二次型在正交變換下的不變量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為A，由標(biāo)準(zhǔn)形f=y22+2y32，知A的特征值為0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．8、已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交變換化為y12+2y22+5y32，求a和所作正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：原二次型的矩陣A和化出二次型的矩陣B相似．于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9－a2)，得a2=4，a=2．A和B的特征值相同，為1，2，5．對這3個特征值求單位特征向量．對于特征值1：得(A－E)X=0的同解方程組得屬于1的一個特征向量η1=(0，1，－1)T，單位化得γ1=對于特征值2：得(A－2E)X=0的同解方程組得屬于2的一個單位特征向量γ2=(1，0，0)T．對于特征值5：得(A－5E)X=0的同解方程組得屬于5的一個特征向量η3=(0，1，1)T，單位化得γ3=令Q=(γ1，γ2，γ3)，則正交變換X=QY把原二次型化為y12+2y22+532．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、試確定方程xe一x=a(a＞0)的實(shí)根個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=xe一x一a，考慮f(x)的極值，最后結(jié)論是：當(dāng)a＞時(shí)，無實(shí)根．當(dāng)a=時(shí)，唯一實(shí)根．當(dāng)a＜時(shí)，兩個實(shí)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、求由圓x2+y2=2y與拋物線y=x2所圍成的平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由所圍成的面積為知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求解標(biāo)準(zhǔn)答案：方程化為此為齊次方程，故令則x=uy，代入上述方程得整理得上式積分得ln|u+eu|=一ln|y|+C1，(u+eu)y=C，將代入得故原方程的通解為，其中C為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、已知齊次線性方程組其中≠0，試討論a1，a2，…，an和b滿足何種關(guān)系時(shí)．(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)行列式|A|=bn一1，故當(dāng)|A|≠0，即b≠0且b+≠0時(shí)，方程組只有零解．當(dāng)b=0或b+=0時(shí)，方程組有非零解．當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)a1≠0，由系統(tǒng)矩陣A的初等行變換：得方程組的基礎(chǔ)解系可取為：由此得方程組的用自由未知量表示的通解為：x2=x1，x3=x1，…，xn=x1(x1任意)，令自由未知量x1=1，則方程組的基礎(chǔ)解系可取為ξ=(1，1，…，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)矩陣A=13、若A有一個特征值為3，求a；標(biāo)準(zhǔn)答案：｜λE-A｜-(λ2-1)[λ2-(a+2)λ+2a-1]，把λ=3代入上式得a=2，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求可逆矩陣P，使得pTA2P為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-A2｜=0得A2的特征值為λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，-1，1)T；當(dāng)λ=9時(shí)，由(9E-A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．將α1，α2，α3正交規(guī)范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，β3=，將α4規(guī)范化得β4=知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)z＝z(x，y)由方程x2＋y2＋z2＝xf(y／x)確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點(diǎn)模擬試卷第6套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、確定正數(shù)a，b，使得＝2．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然b＝1，且＝2，故a＝1．知識點(diǎn)解析：暫無解析2、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析3、已知3階矩陣A與3維列向量x，使x，Ax，A2x線性無關(guān)，且滿足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X)(1)求3階矩陣B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)則由AP=PB得上式可寫為Ax=a1x+b1Ax+c1A2x，(1)A2x=a2x+b2Ax+c2A2x，(2)A3x=a3x+b3Ax+c3A2x．(3)將A3x=3Ax一2A2x代入(3)式得3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x．(4)整理得a1x+(b1-1)Ax+c1A2x=0，a2x+b2Ax+(c2—1)A2x=0，a3x+(b3-3)Ax+(c3+2)A2x=0．由于x，Ax，A2x線性無關(guān)，故a1=c1=0，b1=1；a2=b2=0，c2=1；a3=0，b3=3，x3=-2．從而(2)由(1)知A與B相似，故A+E與B+E也相似，從而知識點(diǎn)解析：本題是向量與矩陣的綜合題，主要考查向量組的線性相關(guān)性．4、f(x，y)=x3+y3一3xy的極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得(x，y)=(0，0)，(x，y)=(1，1)．fxx"=6x，fxy"=一3，fyy"=6y。當(dāng)(x，y)=(0，0)時(shí)，A=0，B=一3，C=0，因?yàn)锳C—B2＜0，所以(0，0)不是極值點(diǎn)；當(dāng)(x，y)=(1，1)時(shí)，A=6，B=一3，C=6，因?yàn)锳C—B2＞0且A＞0，所以(1，1)為極小值點(diǎn)，極小值為f(1，1)=一1．知識點(diǎn)解析：暫無解析5、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得ln(1－2χ)＝－2χ－2χ2＋o(χ2)，于是arctan2χ[2χ＋ln(1－2χ)]～－2χ4；知識點(diǎn)解析：暫無解析6、求齊次方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：對系數(shù)矩陣作初等變換，有當(dāng)a≠1時(shí)，r(A)=3，取自由變量x4得x4=1，x3=0，x2=－6