【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題07】直線和圓（教師版）

第1頁【專題07】直線和圓1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0．（2）傾斜角的范圍：．例1、直線的傾斜角的范圍是________．【答案】例2、過點(diǎn)，的直線的傾斜角的范圍，那么值的范圍是________．【答案】或2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即（）．傾斜角為90°的直線沒有斜率．（2）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率為（）．（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線．例3、兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的________條件．【答案】既不充分也不必要例4、實(shí)數(shù)、滿足（），則的最大值、最小值分別為________．【答案】、3、直線的方程：（1）點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)斜率為，則直線方程為，它不包括垂直于軸的直線．（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為，它不包括垂直于軸的直線．（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線．（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為、，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線．（5）一般式：任何直線均可寫成（、不同時(shí)為0）的形式．特別提醒：①直線方程的各種形式都有局限性，如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？②直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0；直線兩截距相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)．例5、經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線的點(diǎn)斜式方程是________．【答案】例6、直線，不管怎樣變化恒過點(diǎn)________．【答案】例7、若曲線與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】例8、過點(diǎn)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有________條．【答案】34、設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為（它不適用于斜率為0的直線）；（3）知直線過點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為．特別提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解．5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）兩平行線，間的距離為．6、直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且．特別提醒：①、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？②在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；③直線與直線垂直．例9、設(shè)直線和，當(dāng)_______時(shí)，；當(dāng)_______時(shí)，；當(dāng)_______時(shí)，與相交；當(dāng)_______時(shí)，與重合．【答案】；；且；3例10、已知直線的方程為，則與平行，且過點(diǎn)的直線方程是________．【答案】例11、兩條直線與相交于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】例12、設(shè)、、分別是中、、所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是________．【答案】垂直例13、已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程所表示的直線與的關(guān)系是________．【答案】平行例14、直線過點(diǎn)，且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是________．【答案】和7、到角公式和夾角公式：（1）到的角：是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角，且（）；（2）與的夾角：是指不大于直角的角，且（）．特別提醒：解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識求解．例15、已知點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，把直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是________．【答案】8、對稱（中心對稱和軸對稱）問題（代入法）：例16、已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】例17、已知直線與的夾角平分線為，若的方程為（），那么的方程是________．【答案】例18、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則的方程是________．【答案】例19、已知一束光線通過點(diǎn)，經(jīng)直線反射．如果反射光線通過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是________．【答案】例20、已知頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，的平分線所在的方程為，求邊所在的直線方程．【答案】例21、直線上有一點(diǎn)，它與兩定點(diǎn)、的距離之差最大，則的坐標(biāo)是________．【答案】例22、已知軸，，，周長的最小值為________．【答案】特別提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解．9、簡單的線性規(guī)劃：（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①方法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；方法二：用特殊點(diǎn)判斷；②無等號時(shí)用虛線表示不包含直線，有等號時(shí)用實(shí)線表示包含直線；③設(shè)點(diǎn)，，若與同號，則、在直線的同側(cè)，異號則在直線的異側(cè)．（2）線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：①滿足關(guān)于、的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件；②關(guān)于變量、的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量、一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；④滿足線性約束條件的解叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解．（3）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解．（4）在求解線性規(guī)劃問題時(shí)要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范．例23、已知點(diǎn)，，且直線與線段恒相交，則的取值范圍是________．【答案】例24、線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是________．【答案】例25、點(diǎn)在直線的上方，則的取值范圍是________．【答案】例26、不等式表示的平面區(qū)域的面積是________．【答案】8例27、如果實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值________．【答案】2110、圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2）圓的一般方程：（）．特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓．（3）圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為．圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：，；，（）．（4）、為直徑端點(diǎn)的圓方程．例28、二元二次方程表示圓的充要條件是什么？【答案】，且，且例29、圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為________．【答案】例30、圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．【答案】或例31、已知是圓（為參數(shù)，）上的點(diǎn)，則圓的普通方程為________，點(diǎn)對應(yīng)的值為________，過點(diǎn)的圓的切線方程是________．【答案】；；例32、如果直線將圓：平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是________．【答案】例33、方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】例34、若（為參數(shù)，），，若，則的取值范圍是________．【答案】11、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓（）．（1）點(diǎn)在圓外；（2）點(diǎn)在圓內(nèi)；（3）點(diǎn)在圓上．例35、點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是________．【答案】12、直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓（）有相交、相離、相切．可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切．特別提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷．例36、圓與直線（，，）的位置關(guān)系為______．【答案】相離例37、若直線與圓切于點(diǎn)，則的值________．【答案】2例38、直線被曲線所截得的弦長等于________．【答案】例39、一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)軸反射到圓上的最短路程是________．【答案】4例40、已知（）是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則（）A．，且與圓相交B．，且與圓相交C．，且與圓相離D．，且與圓相離【答案】C例41、已知圓，直線．①求證：對，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②設(shè)與圓交于、兩點(diǎn)，若，求的傾斜角；③求直線中，截圓所得的弦最長及最短時(shí)的直線方程．【答案】②或；③最長：，最短：13、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為、，半徑分別為、，則①當(dāng)時(shí)，兩圓外離；②當(dāng)時(shí)，兩圓外切；③當(dāng)時(shí)，兩圓相交；④當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；⑤當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．例42、雙曲線的左焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為、，是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段、為直徑的兩圓位置關(guān)系為________．【答案】內(nèi)切14、圓的切線與弦長：（1）圓的切線：①過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？抓住圓心到直線的距離等于半徑；②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法來求，抓住圓心到直線的距離等于半徑；③過兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程；④切線長