新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié) 集合與常用邏輯用語(yǔ)（含解析）

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)單元總結(jié)1．判斷集合與元素的關(guān)系首先要明確集合中元素的特征，其次要看元素是否滿(mǎn)足集合中元素的公共屬性，滿(mǎn)足即為屬于關(guān)系，不滿(mǎn)足即為不屬于關(guān)系．2．集合的表示列舉法是把集合中的元素一一列舉出來(lái)，他適合元素較少或元素較多時(shí)但有一定規(guī)律性的情況；描述法把集合中的元素所具有的特征表示出來(lái)，具有抽象、概括、普遍性的特點(diǎn)；SKIPIF1<0圖表示集合的好處在于易引起清晰地視覺(jué)形象，能直觀地表示集合中元素的構(gòu)成以及集合間的關(guān)系．3．判斷集合相等對(duì)于元素較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來(lái)，若兩個(gè)集合中的元素完全相同，說(shuō)明兩個(gè)集合相等；若為無(wú)限集，則需要同時(shí)說(shuō)明SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．4．有限集的子集個(gè)數(shù)若有限集合A中含有SKIPIF1<0SKIPIF1<0個(gè)元素，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，真子集的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，非空子集為SKIPIF1<0，非空真子集為SKIPIF1<0．5．空集空集是一個(gè)特殊且很重要的集合，它不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽略，特別是在題設(shè)中隱含有空集參與的集合問(wèn)題時(shí)，往往忽視空集的特殊性而導(dǎo)致錯(cuò)誤．6．集合子集的寫(xiě)法在寫(xiě)集合的子集和真子集時(shí)，一般是按照集合中元素的個(gè)數(shù)的多少，遵循由少到多的原則，這樣做，這樣做可以做到不重不漏．需要特別注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此，在寫(xiě)集合的子集和真子集的時(shí)候，不要遺漏空集．7．集合中字母參數(shù)范圍的求解對(duì)于已知集合間的關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，一般是先觀察集合間元素的關(guān)系，在列方程（組）求解．另外，在處理含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以滿(mǎn)足集合中元素的互異性．8．集合的基本運(yùn)算口訣交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)只去一；全集U是大范圍，U中去掉A元素，剩余就成A補(bǔ)集．9．補(bǔ)集思想在解答一些較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，如果從正面直接解決情況較多、較復(fù)雜，可以用“補(bǔ)集”思想，考慮問(wèn)題的方面，再求結(jié)果的補(bǔ)集，從而可以較簡(jiǎn)單的解答．10、命題的概念可以真假的語(yǔ)句叫做命題.一般可以用小寫(xiě)英文字母表示.其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題.11.全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題全稱(chēng)量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱(chēng)為全稱(chēng)量詞.如“所有的”、“任意一個(gè)”、“每一個(gè)”、“一切”、“任給”等.全稱(chēng)命題：含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題.符號(hào)表示為SKIPIF1<0，SKIPIF1<012.存在量詞與存在性命題存在量詞：表示個(gè)別或一部分的含義的量詞稱(chēng)為存在量詞.如“有一個(gè)”，“存在一個(gè)”,“至少有一個(gè)”，“有的”,“有些”等.存在性命題：含有存在量詞的命題，叫做存在性命題.符號(hào)表示為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.13.充分條件、必要條件、充要條件對(duì)于“若p則q”形式的命題：①若pSKIPIF1<0q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；②若pSKIPIF1<0q，但qSKIPIF1<0p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；③若既有pSKIPIF1<0q，又有qSKIPIF1<0p，記作pSKIPIF1<0q，則p是q的充分必要條件（充要條件）.判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價(jià)法：由于原命題與它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時(shí)，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來(lái)判斷．即利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0”SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件.“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0”SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分必要條件.14、對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定（1）對(duì)含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)命題的否定

全稱(chēng)命題p：

SKIPIF1<0，他的否定SKIPIF1<0：

SKIPIF1<0。全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題。

（2）對(duì)含有一個(gè)量詞的特稱(chēng)命題的否定

特稱(chēng)命題p：

SKIPIF1<0，他的否定SKIPIF1<0：

SKIPIF1<0。特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題。類(lèi)型1運(yùn)用集合中元素的性質(zhì)解題考題1設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0中元素的個(gè)數(shù)是【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以對(duì)SKIPIF1<0分別取SKIPIF1<0中的元素，一一列出集合SKIPIF1<0中的元素．于是，依次分別取SKIPIF1<0，并分別求和，注意到集合中元素的互異性，則SKIPIF1<0，故共有8個(gè)元素．【答案】8考題2由實(shí)數(shù)SKIPIF1<0所組成的集合中，最多含有元素的個(gè)數(shù)為（）A．2B．3C．4D．5【解析】本題主要考查集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是從集合中元素的互異性入手考慮，若是相同的元素，在集合中只能用同一個(gè)元素表示．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，這幾個(gè)實(shí)數(shù)均為0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，它們分別是SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，它們分別是SKIPIF1<0，均最多表示兩個(gè)不同的數(shù)．故集合中的元素最多有2個(gè)．【答案】A【題型小結(jié)】集合元素的性質(zhì)包括：確定性、互異性、無(wú)序性．確定性即集合中的元素必須是確定的，對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出來(lái)它是或者不是所給集合中的元素；互異性即集合中任意兩個(gè)元素都是不相同的；無(wú)序性即集合與組成它的元素的順序無(wú)關(guān)．在解題時(shí)，常常因忽略集合中元素的性質(zhì)而出錯(cuò)，所以要加強(qiáng)對(duì)集合中元素性質(zhì)的理解．類(lèi)型2求子集的元素之和問(wèn)題考題3已知集合SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0的所有子集的元素之和為．【解析】集合SKIPIF1<0的所有子集分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，注意到SKIPIF1<0中的每個(gè)元素SKIPIF1<0出現(xiàn)在SKIPIF1<0的4個(gè)子集之中，即在其和中出現(xiàn)4次．故所求之和為SKIPIF1<0．【答案】36【探究】SKIPIF1<0中的每個(gè)元素出現(xiàn)在SKIPIF1<0的4個(gè)子集之中，這是在寫(xiě)出SKIPIF1<0的子集后觀察出來(lái)的結(jié)果，能否不寫(xiě)出SKIPIF1<0的子集也得出這樣的結(jié)論呢？注意到SKIPIF1<0中的元素1，出現(xiàn)在SKIPIF1<0的子集SKIPIF1<0中，如果在這些子集中排除這個(gè)數(shù)1，剩下來(lái)的元素依次組成的集合集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，也就是SKIPIF1<0除元素1組成集合SKIPIF1<0的子集，即有SKIPIF1<0個(gè)．因此，利用“整體思想”可知，再求其和的過(guò)程中，1出現(xiàn)了4次，同理3出現(xiàn)了4次，5出現(xiàn)了4次．故所求的和為SKIPIF1<0．推廣到一般，即已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的所有子集的元素之和．類(lèi)似上面的推導(dǎo)可知，SKIPIF1<0出現(xiàn)在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，即SKIPIF1<0在其和中出現(xiàn)的次數(shù)等價(jià)于集合SKIPIF1<0的子集個(gè)數(shù)（即SKIPIF1<0個(gè)）．同理SKIPIF1<0在其和中也出現(xiàn)了SKIPIF1<0次，SKIPIF1<0在其和中也出現(xiàn)了SKIPIF1<0次，…,SKIPIF1<0在其和中也出現(xiàn)了SKIPIF1<0次,故所求的和為SKIPIF1<0．【題型小結(jié)】在求解子集個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意問(wèn)的是“子集的個(gè)數(shù)”還是“真子集的個(gè)數(shù)”或者是“非空真子集的個(gè)數(shù)”，同時(shí)關(guān)注子集應(yīng)滿(mǎn)足的相應(yīng)條件．類(lèi)型3集合的運(yùn)算及其應(yīng)用考題4若全集為SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的子集，定義SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的運(yùn)算：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】由題可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【答案】B考題5（1）若全集SKIPIF1<0,集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】（1）集合SKIPIF1<0都是點(diǎn)集，集合SKIPIF1<0的關(guān)系式可以變?yōu)镾KIPIF1<0，它的幾何意義是直線SKIPIF1<0上去掉點(diǎn)SKIPIF1<0后所有的點(diǎn)的集合；集合SKIPIF1<0表示直線SKIPIF1<0外所有點(diǎn)的集合．可知SKIPIF1<0，表示直線SKIPIF1<0外所有點(diǎn)及直線SKIPIF1<0上點(diǎn)SKIPIF1<0的集合；SKIPIF1<0，表示直線SKIPIF1<0外所有點(diǎn)的集合．從而可得SKIPIF1<0只有一個(gè)元素SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．【答案】（1）B(2)A【題型小結(jié)】解答集合問(wèn)題的一般步驟：先認(rèn)清集合元素的屬性，然后依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法求解．一般的規(guī)律表現(xiàn)為“若給定的集合是不等式的解集，則用數(shù)軸求解，特別要注意端點(diǎn)的取值；若給定的集合是則用數(shù)形結(jié)合法求解；若給定的集合是抽象集合，則用圖象法（Venn圖）求解”．類(lèi)型4充分條件與必要條件的理解及判定考題6已知SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個(gè)小于1的正實(shí)根，試判斷SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的什么條件．分析：判斷SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的什么條件，要對(duì)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，根據(jù)得出的結(jié)果作出相應(yīng)的判斷．解：若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個(gè)小于1的正實(shí)根，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)方程的兩根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．反之，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么方程變?yōu)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0．此時(shí)方程SKIPIF1<0無(wú)實(shí)根，所以SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件．解后反思：若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件；若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件．考題7設(shè)SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：方法1：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0顯然平行；若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合．故是充分不必要條件．方法2：把命題“SKIPIF1<0”看作集合SKIPIF1<0，把由命題“直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”得出的SKIPIF1<0值的集合看作SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，所以是充分不必要條件．答案：A解后反思：一般地，如果條件甲為SKIPIF1<0,條件乙為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，甲是乙的充分條件；當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，甲是乙的必要條件；當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，甲是乙的充要條件．類(lèi)型5全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題考題8命題“對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0”的否定為（）A．對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0B．不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0解析：題設(shè)命題為全稱(chēng)命題，它的否定為特稱(chēng)命題．需先變換量詞，再否定結(jié)論，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．答案：D解后反思：寫(xiě)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定時(shí)，先變換量詞，再否定結(jié)論．考題9已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若同時(shí)滿(mǎn)足條件：①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是．解析：當(dāng)滿(mǎn)足條件①時(shí)，由SKIPIF1<0