2024-2025學(xué)年四川省成都市成都實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題試卷含解析

2024-2025學(xué)年四川省成都市成都實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．2．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，3．A． B． C． D．4．如圖，矩形ABCD中，，，E是AD的中點(diǎn)，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線(xiàn)與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個(gè)命題：①對(duì)滿(mǎn)足題意的任意的的位置，；②對(duì)滿(mǎn)足題意的任意的的位置，，則()A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立5．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．6．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個(gè)單位B．向左平移πC．向右平移π3個(gè)單位D．向右平移π7．已知變量x，y間存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線(xiàn)方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.58．已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．9．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．10．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．611．已知圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．412．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_______．14．已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．15．一次考試后，某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù)，若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為，則_________．16．已知向量滿(mǎn)足，，則______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設(shè)角，周長(zhǎng)為y，求的最大值．18．（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線(xiàn)交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求證：.20．（12分）已知函數(shù)（1）已知直線(xiàn)：，：.若直線(xiàn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在處的切線(xiàn)與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．2．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．4．A【解析】

作出二面角的補(bǔ)角、線(xiàn)面角、線(xiàn)線(xiàn)角的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】①如圖所示，過(guò)作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，，所以，所以①正確.②由于，所以與所成角，所以，所以②正確.綜上所述，①②都正確.故選：A本題考查了折疊問(wèn)題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5．A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計(jì)算．【詳解】，∴．故選：A.本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6．D【解析】試題分析：因?yàn)椋詾榈玫統(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換．7．A【解析】

計(jì)算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.本題考查線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：線(xiàn)性回歸直線(xiàn)一定過(guò)中心點(diǎn)．8．C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程即可求出雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸，所以，得離心率,故選C.此題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問(wèn)題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)．

答案：C本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

因?yàn)閳A與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?2．B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)，由可得，整理得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．又點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為，所以當(dāng)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得．14．【解析】

令可得各項(xiàng)系數(shù)和為，得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開(kāi)式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開(kāi)式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開(kāi)式中含項(xiàng)，可得解.【詳解】令，則得，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為：，故答案為：本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和，二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)，賦值法，屬于中檔題.15．1【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題．16．1【解析】

首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以又所以所以故答案為：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）．【解析】

（1）利用正弦定理，結(jié)合題中條件，可以得到，之后應(yīng)用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）由已知可得，結(jié)合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴當(dāng)，即時(shí)，．該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理，屬于簡(jiǎn)單題目.18．（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線(xiàn)．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.19．（1），；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)的方程與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可得出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可化為，即，將代入曲線(xiàn)的方程得，所以，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點(diǎn)、，因此，線(xiàn)段的中點(diǎn)為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.本題考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線(xiàn)參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20．（1）（2）①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線(xiàn)與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí)，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡(jiǎn)后得到.【詳解】（1）由解得必過(guò)與的交點(diǎn).在上取點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，即為直線(xiàn)，所以的方程為，即，其斜率為.又因?yàn)?，所以，，由題意，解得.（2）因?yàn)?，所?①令，則，則，且，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以存在，使時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，即時(shí)，.本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識(shí).21．（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）對(duì)a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)a分三種情況，先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，∴成立.當(dāng)時(shí)，，，∴.當(dāng)時(shí)，，，∴，即.綜上.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.22．（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,從而B(niǎo)D⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)O且與CE平行的直線(xiàn)為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：，即，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，所以，因?yàn)椋云矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危运倪呅问橇庑?，故；解法一：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫?，平面平面于，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，?/p>