考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷12（共253題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷12（共9套）（共253題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f（x）在點(diǎn)x0處間斷，則在點(diǎn)x0處必定間斷的函數(shù)是（）A、f（x）sinxB、f（x）+sinxC、f2（x）D、|f（x）|標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若f（x）+sinx在x=x0處連續(xù)，則f（x）=[f（x）+sinx]—sinx在x=x0處連續(xù)，與已知矛盾。因此f（x）+sinx在點(diǎn)x0必間斷。故選B。2、設(shè)f（x）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)|f（x）|在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分必要條件是（）A、f（a）=0，且f’（a）=0B、f（a）=0，且f’（a）≠0C、f（a）＞0，且f’（a）＞0D、f（a）＜0，且f’（a）＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若f（a）≠0，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有因此排除C和D。（當(dāng)f（x）在x=a可導(dǎo)，且f（a）≠0時(shí)，|f（x）|在x=a點(diǎn)可導(dǎo)。）當(dāng)f（a）=0時(shí)，上兩式分別是|f（x）|在x=a點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)，因此，當(dāng)f（a）=0時(shí)，|f（x）|在x=a點(diǎn)不可導(dǎo)的充要條件是上兩式不相等，即f’（a）≠0時(shí)，故選B。3、設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f"（x）＞0，令un=f（n）（n=1，2，…），則下列結(jié)論正確的是（）A、若u1＞u2，則{un}必收斂B、若u1＞u2，則{un}必發(fā)散C、若u1＜u2，則{un}必收斂D、若u1＜u2，則{un}必發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題依據(jù)函數(shù)f（x）的性質(zhì)選取特殊的函數(shù)數(shù)列，判斷數(shù)列{un=f（n）}的斂散性。取f（x）=—lnx，f"（x）=＞0，u1=—lnl=0＞—ln2=u2，而f（n）=—lnn發(fā)散，則可排除A；取f（x）=＞0，u1=1＞=u2，而f（n）=收斂，則可排除B；取f（x）=x2，f"（x）=2＞0，u1=1＜4=u2，而f（n）=n2發(fā)散，則可排除C；故選D。事實(shí)上，若u1＜u2，則=f’（ξ1）＞0。而對(duì)任意x∈（ξ1，+∞），由f"（x）＞0，所以f’（x）＞f’（ξ1）＞ξ1∈（1，2）＞0，對(duì)任意ξ2∈（ξ1，+∞），f（x）=f（ξ1）+f’（ξ2）（x—ξ1）→+∞（x→+∞）。故選D。4、已知函數(shù)y=f（x）對(duì)一切的x滿足xf"（x）+3x[f’（x）]2=1—e—x，若f’（x0）=0（x0≠0），則（）A、f（x0）是f（x）的極大值B、f（x0）是f（x）的極小值C、（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)D、f（x0）不是f（x）的極值，（x0，f（x0））也不是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f’（x0）=0知，x=x0是y=f（x）的駐點(diǎn)。將x=x0代入方程，得x0f"（x0）+3x0[f’（x0）]2=1—e—x0，即得f"（x0）=＞0（分x0＞0與x0＜0討論），由極值的第二判定定理可知，f（x）在x0處取得極小值，故選B。5、由曲線y=1—（x—1）2及直線y=0圍成的圖形（如圖1—3—1所示）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積y是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)選項(xiàng)，需要把曲線表示成x=x（y），于是要分成兩部分：則所求立體體積為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積差，其中6、設(shè)函數(shù)f（x，y）可微，且對(duì)任意x，y都有＜0，則使不等式f（x1，y1）＜f（x2，y2）成立的一個(gè)充分條件是（）A、x1＞x2，y1＜y2B、x1＞x2，y1＞y2C、x1＜x2，y1＜y2D、x1＜x2，y1＞y2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由＜0，需對(duì)x和y分開(kāi)考慮，則已知的兩個(gè)不等式分別表示函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x1＜x2，y1＞y2時(shí)，必有f（x1，y1）＜f（x2，y1）＜f（x2，y2），故選D。7、設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，若F（u，υ）=，其中區(qū)域Duυ為圖1—4—1中陰影部分，則A、υf（u2）B、f（u2）C、υf（u）D、f（u）標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)圖像中所示區(qū)域用極坐標(biāo)表示為0≤θ≤v，1≤r≤u因此可知根據(jù)變限積分求導(dǎo)可得=υf（u2）。8、下列命題成立的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于=0中至少有一個(gè)不成立，則級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)發(fā)散，故選C。9、方程y"一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為（）A、y=axex+b+Aexcos2xB、y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）C、y=aex+b+xex（Acos2x+Bsin2x）D、y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：齊次微分方程y"一3y’+2y=0的特征方程為r2一3r+2=0，特征根為r1=1，r2=2，則方程y"-3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(4cos2x+Bsin2x)，故選D。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知?jiǎng)ty’=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊取對(duì)數(shù)，則有等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，有12、設(shè)函數(shù)y=則y（n）（0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用歸納法求解。13、曲線的斜漸近線方程為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)所求斜漸近線方程為y=ax+b。因?yàn)橛谑撬笮睗u近線方程為14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)x—2=t，dx=dt，當(dāng)x=1時(shí)，t=—1；當(dāng)x=4時(shí)，t=2。于是15、設(shè)z=z（x，y）由方程z+ez=xy2所確定，則dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（y2dx+2xydy）知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，16、積分∫01dx標(biāo)準(zhǔn)答案：1—sin1知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D如圖1—4—12所示17、設(shè)a1=1，an=2021，則級(jí)數(shù)（an+1一an）的和為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2020知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)（an+1一an）的部分和數(shù)列為Sn=（a2—a1）+（a3—a2）+…+（an+1一an）=an+1—an=an+1—1。則an+1一1=2021一l=2020。18、微分方程滿足初始條件y|x=1=1的特解是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2+y知識(shí)點(diǎn)解析：將x看作未知函數(shù)，則上式為x對(duì)y的一階線性方程，又因y|x=2=1＞0，則將x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)19、標(biāo)準(zhǔn)答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、證明4arctanx—x+=0恰有兩個(gè)實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f（x）=4arctanx—x+。則有又因?yàn)?一∞，根據(jù)介值定理可知，存在ξ∈（，+∞），使得f（ξ）=0。且當(dāng)x＞時(shí)，f’（x）＜0，f（x）單調(diào)下降，可得x=ξ是區(qū)間（，+∞）內(nèi)的唯一一個(gè)實(shí)根。因此4arctanx—x+=0恰有兩個(gè)實(shí)根x=與x=ξ。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為60000元，可變成本為20元／件，價(jià)格函數(shù)為P=60—（P是單價(jià)，單位：元；Q是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷平衡，求：（Ⅰ）該商品的邊際利潤(rùn)；（Ⅱ）當(dāng)P=50時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；（Ⅲ）使得利潤(rùn)最大的定價(jià)P。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知P=60—，因此Q=1000（60—P）。由總成本C（P）=60000+20Q=1260000—20000P，總收益R（P）=PQ=—100P2+60000P，總利潤(rùn)L（P）=R（P）—C（P）=—1000P2+80000P—1260000。（Ⅰ）邊際利潤(rùn)L’（P）=—2000P+80000。（Ⅱ）當(dāng)P=50時(shí)的邊際利潤(rùn)為L(zhǎng)’（50）=—2000×50+80000=—20000，其經(jīng)濟(jì)意義為在P=50時(shí)，價(jià)格每提高1元，總利潤(rùn)減少20000元。（Ⅲ）由于L（P）在（0，40）遞增，在（40，+∞）遞減，故當(dāng)P=40時(shí)，總利潤(rùn)最大。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f（x），g（x）在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。證明對(duì)任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F（x）=∫0xg（t）f’（t）dt+∫01f（t）g’（t）dt一f（x）g（1），則F（x）在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且F’（x）=g（x）．f’（x）—f’（x）g（1）=f’（x）[g（x）一g（1）]。由于x∈[0，1]時(shí)，f’（x）≥0，g’（x）≥0，因此F’（x）≤0，即F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減。注意到F（1）=∫01g（t）f’（t）dt+∫01（t）g’（t）dt—f（1）g（1），故F（1）=0。因此x∈[0，1]時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）=0，由此可得對(duì)任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。∫0ag（x）f’（x）dx=g（x）f’（x）|0a一∫0af（x）g’（x）dx=f（a）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx，∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx=f（a）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx=f（a）g（a）+∫a1f（x）g’（x）dx，由于x∈[0，1]時(shí)，g’（x）≥0，因此f（x）g’（x）≥f（a）g’（x），x∈[a，1]，∫a1f（x）g’（z）dx≥∫01f（a）g’（x）dx=f（a）[g（1）—g（a）]，從而∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（a）+f（a）[g（1）—g（a）]=f（a）g（1）。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)z=f（x，y），x=g（y，z）+，其中f，g，φ在其定義域內(nèi)均可微，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f（x，y），有dz=f1’dx+f2’dy。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求曲線x3—xy+y3=1（x≥0，y≥0）上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離與最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)L（x，y）=x2+y2+λ（x3—xy+y3—1），令得唯一駐點(diǎn)x=1，y=1，即M1（1，1）?？紤]邊界上的點(diǎn)，M2（0，1），M3（1，0），距離函數(shù)f（x，y）=在三點(diǎn)的取值分別為f（1，1）=，f（0，1）=1，f（1，0）=1，因此可知最長(zhǎng)距離為，最短距離為1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、計(jì)算二重積分，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：D是正方形區(qū)域（如圖1—4—20）。因在D上被積函數(shù)分塊表示為max{x2，y2}=于是要用分塊積分法，用y=x將D分成兩塊：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥x}。則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)an=tannxdx。（Ⅰ）求（an+an+2）的值；（Ⅱ）證明對(duì)任意的常數(shù)λ＞0，級(jí)數(shù)收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)冪級(jí)數(shù)anxn在（一∞，+∞）內(nèi)收斂，其和函數(shù)y（x）滿足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。（Ⅰ）證明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）記n（n一1）anxn—2，代入微分方程y"一2xy’一4y=0有故有（n+2）（n+1）an+2—2nan一4an=0，即an+2=an，n=1，2，…。（Ⅱ）由初始條件y（0）=0，y’（0）=1，知a0=0，a1=1。于是根據(jù)遞推關(guān)系式an+2=an，有a2n=0，a2n+1=。故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)f（u，υ）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（12+υ）eu+υ，求y（x）=e—2xf（x，x）所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y（x）=e2xf（x，x），有y’（x）=一2e—2xf（x，x）+e—2x[f1’（x，x）+f2’（x，x）]，由fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（u+υ）eu+υ可得f1’（x，x）+f2’（x，x）=（sin2x）e2x。于是y（x）滿足一階線性微分方程y’（x）+2y（x）=sin2x。通解為y（x）=e—2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部積分公式，可得∫sin2x．e2xdx=（sin2x—cos2x）e2x，所以y（x）=（sin2x—cos2x）+Ce—2x。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(0)=0，=1，則A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于又f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以f"(0)=0，但不能確定點(diǎn)(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．由=1＞0，根據(jù)極限的保號(hào)性可知，在x=0的某鄰域內(nèi)必有＞0，即f"(x)＞0，從而f’(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加．又因f’(0)=0，所以f’(x)在x=0兩側(cè)變號(hào)，且在x=0的空心鄰域內(nèi)，當(dāng)x＜0時(shí)f’(x)＜f’(0)=0，當(dāng)x＞0時(shí)f’(x)＞f’(0)=0，由極值第一充分條件可知，x=0為f(x)的極小值點(diǎn)．即f(0)是f(x)的極小值，故選(B)．2、設(shè)f(x)，g’(x)，φ"(x)的圖形分別為則曲線y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)中恰有兩個(gè)拐點(diǎn)的是A、y=f(x)．B、y=f(x)，y=g(x)．C、y=f(x)，y=φ(x)．D、y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(1)由f(x)的圖形可知，在(x0，1)上為凸弧，(1，x2)上為凹弧，(x2，+∞)為凸弧，故(1，f(1))，(x2，f(x2))是y=f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)．又因f(x)在點(diǎn)x=x0處不連續(xù)，所以點(diǎn)(x0，f(x0))不是拐點(diǎn)．(拐點(diǎn)定義要求函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù))(2)由g’(x)的圖形可知，在x=1和x=x2處有g(shù)"(x)=0，且在x=1，x=x2的左右兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)升降性相反或二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，故有兩個(gè)拐點(diǎn)(x1，g(1))與(x2，g(x2))．由于在x0附近，當(dāng)x＜x0和x＞x0時(shí)g’(x)均單調(diào)上升或均有g(shù)"(x)＞0，故點(diǎn)(x0，g(x0))不是拐點(diǎn)．因此g(x)只有兩個(gè)拐點(diǎn)．(3)由φ"(x)的圖形可知，在點(diǎn)x=x0與x=x2處φ(x)的二階導(dǎo)數(shù)等于零，且二階導(dǎo)數(shù)在其左右異號(hào)，故點(diǎn)(x0，φ(x0))與(x2，φ(x2))為拐點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)1的附近二階導(dǎo)數(shù)均為正，故點(diǎn)(1，φ(1))不是拐點(diǎn)．綜上所述，曲線y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)均有兩個(gè)拐點(diǎn)．故選(D)．3、曲線y=+ln(1+ex)的漸近線的條數(shù)為A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先考察垂直漸近線．間斷點(diǎn)為x=0與x=1，因=∞，所以x=0，x=分別是該曲線的垂直漸近線．再考察水平漸近線．由于所以沿x→+∞方向無(wú)水平漸近線．又所以沿x→一∞方向有水平漸近線y=0．最后考察斜漸近線．由于所以沿x→+∞方向有一條斜漸近線y=x．因沿x→一∞方向有水平漸近線，當(dāng)然就沒(méi)有斜漸近線，所以共有4條，故選(D)．4、設(shè)f(x)在x=x0可導(dǎo)，且f(x0)=0，則f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可導(dǎo)的()條件．A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按定義｜f(x)｜在x0可導(dǎo)存在．因｜f(x)｜在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù)分別是由可導(dǎo)的充要條件知｜f’(x0)｜=一｜f’(x0)｜←→｜f’(x0)｜=0，故選(B)．5、設(shè)F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a連續(xù)但不可導(dǎo)，又g’(a)存在，則g(a)=0是F(x)在x=a可導(dǎo)的()條件．A、充分必要B、充分非必要C、必要非充分D、既非充分也非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：①因?yàn)棣铡?a)不存在，所以不能對(duì)g(x)φ(x)用乘積的求導(dǎo)法則；②當(dāng)g(a)≠0時(shí)，若F(x)在x=a可導(dǎo)，可對(duì)用商的求導(dǎo)法則．(Ⅰ)若g(a)=0．按定義考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反證法證明：若F’(a)存在，則必有g(shù)(a)=0．若g(a)≠0，則由商的求導(dǎo)法則即知φ(x)=在x=a可導(dǎo)，與假設(shè)條件φ(x)在x=a不可導(dǎo)矛盾．因此應(yīng)選(A)．6、函數(shù)f(x)=(x2一x一2)｜x3一x｜的不可導(dǎo)點(diǎn)有A、3個(gè)．B、2個(gè)．C、1個(gè)．D、0個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)｜x｜，｜x一1｜，｜x+1｜分別僅在x=0，x=1，x=一1不可導(dǎo)且它們處處連續(xù)．因此只需在這些點(diǎn)考察f(x)是否可導(dǎo)．f(x)=(x2一x一2)｜x｜｜x一1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，一1是否可導(dǎo)．考察x=0，令g(x)=(x2一x一2)｜x2一1｜，則f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，故f(x)在x=0不可導(dǎo)．考察x=1，令g(x)=(x2一x一2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x—1｜，則g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1連續(xù)但不可導(dǎo)，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可導(dǎo)．考察x=一1，令g(x)=(x2一x一2)｜x2一x｜，φ(x)=｜x+1｜，則g’(一1)存在，g(一1)=0，φ(x)在x=一1連續(xù)但不可導(dǎo)，故f(x)=g(x)φ(x)在x=一1可導(dǎo)．因此選(B)．7、設(shè)f(x+1)=af(x)總成立，f’(0)=b，其中a≠1，b≠1為非零常數(shù)，則f(x)在點(diǎn)x=1處A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(1)=a．C、可導(dǎo)且f’(1)=b．D、可導(dǎo)且f’(1)=ab．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：按定義考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，應(yīng)選(D)．二、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)8、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：對(duì)于x，x0∈(a，b)且x≠x0時(shí)，f’(x)在(a，b)單調(diào)減少的充要條件是f(x0)+f’(x0)(x一x0)＞f(x)．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：充分性：設(shè)(*)成立，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，則f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2一x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1一x2)．兩式相加可得[f’(x1)一f’(x2)](x2一x1)＞0，于是由x1＜x2知f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)單調(diào)減少．必要性：設(shè)f’(x)在(a，b)單調(diào)減少．對(duì)于x，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得f(x)一[f(x0)+f’(x0)(x一x0)]=[f’(ξ)一f’(x0)](x一x0)＜0，其中ξ在x與x0之間，即(*)成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、求y(x)=的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、凹凸區(qū)間與漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)．由當(dāng)x＜x1時(shí)y’＞0，y=y(x)：為增函數(shù)；當(dāng)x1＜x＜1時(shí)y’＜0，y=y(x)為減函數(shù)；當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)無(wú)定義，y=y(x)不可導(dǎo)；當(dāng)1＜x＜x2時(shí)y’＜0，y=y(x)為減函數(shù)；當(dāng)x＞x2時(shí)y’＞0，y=y(x)為增函數(shù)．于是x=x1為極大值點(diǎn)，x=x2為極小值點(diǎn)，x=1為不可導(dǎo)點(diǎn)．(Ⅱ)再考慮凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)．由令y"=0，解得x1=；在x=1處y"不存在．當(dāng)x＜＜x＜1時(shí)y"＞0，y=y(x)圖形為凹；當(dāng)x＞1時(shí)y"(x)＞0，y=y(x)圖形為凹，于是y=y(x)圖形的拐點(diǎn)為．(Ⅲ)最后考察漸近線．由于因此x=1為曲線y=y(x)的垂直漸近線．又=∞，因此無(wú)水平漸近線．由可知曲線y=y(x)有斜漸近線y=x+1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、(Ⅰ)求曲線y=xe—x在點(diǎn)(1，)處的切線方程；(Ⅱ)求曲線y=∫0x(t一1)(t一2)dt上點(diǎn)(0，0)處的切線方程；(Ⅲ)設(shè)曲線y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在點(diǎn)(1，一1)處相切，求常數(shù)a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)閥’=(1一x)e—x，于是y’(1)=0．從而曲線y=xe—x在點(diǎn)(1，)．(Ⅱ)因y’(0)=[∫0x(t—1)(t一2)dt]’｜x=0=(x—1)(x一2)｜x=0=2，于是曲線在點(diǎn)(0，0)處的切線方程是y=2x．(Ⅲ)曲線y=x2+ax+b過(guò)點(diǎn)(1，一1)，所以1+a+b=一1，在點(diǎn)(1，一1)處切線的斜率為y’=(x2+ax+b)｜x=0=2+a．將方程2y=一1+xy3對(duì)x求導(dǎo)得2y’=y3+3xy2y’．由此知，該曲線在點(diǎn)(1，一1)處的斜率y’(1)滿足2y’(1)=(一1)3+3y’(1)，解出得y’(1)=1．因這兩條曲線在點(diǎn)(1，一1)處相切，所以在該點(diǎn)它們切線的斜率相同，即2+a=1，即a=一1．再由1+a+b=一1得b=一2—a=一1．因此a=一1，b=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)總成本關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)為C(x)=400+3x+x2，需求量x關(guān)于價(jià)格P的函數(shù)為P=．求邊際成本，邊際收益，邊際利潤(rùn)以及收益對(duì)價(jià)格的彈性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由邊際成本的定義知，邊際成本MC=C’(x)=3+x．又因總收益函數(shù)R=Px=．從而邊際利潤(rùn)ML=MR—MC=一x一3．由于函數(shù)P=，由此可得收益對(duì)價(jià)格的彈性知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=Q(P)是單調(diào)減少的，收益函數(shù)R=PQ，當(dāng)價(jià)格為P0，對(duì)應(yīng)的需求量為Q0時(shí)，邊際收益R’(Q0)=2，而R’(P0)=一150，需求對(duì)價(jià)格的彈性EP滿足｜EP｜=．求P0和Q0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因需求函數(shù)Q=Q(P)單調(diào)減少，故需求對(duì)價(jià)格的彈性EP＜0，且反函數(shù)P=P(Q)存在．由題設(shè)知Q0=Q(P0)，P0=P(Q0)，且．把它們代入分析中所得的關(guān)系式就有R’(Q0)=P0(1一)=一150，即Q0=300．知識(shí)點(diǎn)解析：為了解決本題，必須建立R’(Q)，R’(P)與EP之間的關(guān)系．因R=PQ=PQ(P)，于是R’(P)=Q(P)+=Q(1+EP)．設(shè)P=P(Q)是需求函數(shù)Q=Q(P)的反函數(shù)，則R=PQ=QP(Q)，于是13、設(shè)某商品需求量Q是價(jià)格p的單調(diào)減函數(shù)Q=Q(p)，其需求彈性η=＞0．(Ⅰ)設(shè)R為總收益函數(shù)，證明=Q(1—η)；(Ⅱ)求p=6時(shí)總收益對(duì)價(jià)格的彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)R(p)=pQ(p)，兩邊對(duì)p求導(dǎo)得經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格p=6時(shí)，若價(jià)格上漲1％，則總收益將增加0．54％．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、在橢圓=1內(nèi)嵌入最大面積的四邊平行于橢圓軸的矩形，求該最大面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形在第一象限中的頂點(diǎn)為M(x，y)，則矩形的面積為S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得x==2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即內(nèi)接矩形最大面積為2ab．設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，又f(x)=+∞(一∞)，則f(x)在(a，b)存在最小(大)值．求這個(gè)最值歸結(jié)為求f(x)在(a，b)的駐點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求f(x)=在(0，+∞)內(nèi)的最大、最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)=(2+lnx)=0，解得唯一駐點(diǎn)x0=e—2∈(0，+∞)．(分析單調(diào)性)．x∈(0，+∞)時(shí)f(x)可導(dǎo)．當(dāng)x∈(0，e—2)時(shí)f’(x)＜0，f(x)在(0，e—2]單調(diào)減少；當(dāng)x∈(e—2，+∞)時(shí)f’(x)＞0，f(x)在[e—2，+∞)單調(diào)增加，于是x0=e—2為f(x)在(0，+∞)的最小值點(diǎn)．f(x)在(0，+∞)內(nèi)的最小值為f(e—2)=一2e—1，再由上述單調(diào)性可知f(x)在(0，+∞)無(wú)最大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求cosx的帶皮亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求arctanx帶皮亞諾余項(xiàng)的5階麥克勞林公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求極限I=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、確定常數(shù)a和b的值，使f(x)=x一(a+b)sinx當(dāng)x→0時(shí)是x的5階無(wú)窮小量．標(biāo)準(zhǔn)答案：不難看出當(dāng)1一a一b=0與一b=0同時(shí)成立f(x)才能滿足題設(shè)條件．由此可解得常數(shù)a=x5+o(x5)，f(x)是x的5階無(wú)窮小量(x→0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)在x=0處n(n≥2)階可導(dǎo)且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)再用當(dāng)x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小替換ln[1+f(x)]～f(x)，可得=4．2)用o(1)表示當(dāng)x→0時(shí)的無(wú)窮小量，由當(dāng)x→0時(shí)的極限與無(wú)窮小的關(guān)系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．從而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n—1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)0＜x＜．標(biāo)準(zhǔn)答案：由帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x)在[0，1]二階可導(dǎo)，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b為非負(fù)常數(shù)，求證：對(duì)任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．標(biāo)準(zhǔn)答案：考察帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f"(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0<θ<1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+f"(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f"(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面兩式相減得f(1)一f(0)=f，(c)+[f"(ξ2)(1一c)2一f"(ξ1)c2]．從而f’(c)=f(1)一f(0)+[f"(ξ1)c2一f"(ξ2)(1一c)2]，兩端取絕對(duì)值并放大即得其中利用了對(duì)任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．知識(shí)點(diǎn)解析：證明與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)取值有關(guān)的不等式時(shí)，常常需要利用函數(shù)在某點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式．本題涉及證明｜f’(c)｜≤2a+，自然聯(lián)想到將f(x)在點(diǎn)x=c處展開(kāi)．24、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，f()=一1．證明：≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)在x0=處展成帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式，有在上式中分別令x=0，x=1，并利用f(0)=f(1)=0即得將①式與②式相加消去未知的一階導(dǎo)數(shù)值f’()可得知識(shí)點(diǎn)解析：為了得到f"(x)的估值可以利用泰勒公式找出它與f(0)，f(1)及minf(x)之間的關(guān)系．由于題設(shè)條件中給出了f(0)與f(1)的函數(shù)值，又涉及二階導(dǎo)數(shù)f"(x)，因此可考慮利用f(0)和f(1)在展開(kāi)點(diǎn)x0=處的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式．25、設(shè)f’(0)=1，且f(0)=0，求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是型極限，因?yàn)樵陬}目中沒(méi)有假設(shè)當(dāng)x≠0時(shí)f(x)可導(dǎo)，故不能使用洛必達(dá)法則求極限．由導(dǎo)數(shù)定義可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、已知函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)且f(x)＞0，f(x)=1，又滿足求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)f(χ)＝則在點(diǎn)χ＝1處函數(shù)f(χ)【】A、不連續(xù)．B、連續(xù)但不可導(dǎo)．C、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不連續(xù)．D、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)f(χ)在χ＝a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(χ)在χ＝a處可導(dǎo)的一個(gè)充要條件是：【】A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)f(0)＝0，則f(χ)在χ＝0可導(dǎo)的充要條件是【】A、f(1－cosh)存在．B、f(1－eh)存在．C、f(h－sinh)存在．D、[f(2h)－f(h)]存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)f(χ)可導(dǎo)，F(xiàn)(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)，則f(0)00是F(χ)在χ＝0處可導(dǎo)的【】A、充分必要條件．B、充分條件但非必要條件．C、必要條件但非充分條件．D、既非充分條件又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、函數(shù)f(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ3－χ｜不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：【】A、3B、2C、1D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)函數(shù)f(χ)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(χ)的圖形如圖2．2所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(χ)的圖形如(圖2．3)【】A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)上可導(dǎo)，且對(duì)任意的χ1和χ2，當(dāng)χ1＞χ2時(shí)都有f(χ1)＞f(χ2)，則【】A、對(duì)任意χ，f′(χ)＞0．B、對(duì)任意χ，f′(－χ)≤0．C、函數(shù)f(－χ)單調(diào)增加．D、函數(shù)－f(－χ)單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、已知f(χ)在χ＝0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)＝0，＝2，則在點(diǎn)χ＝0處．f(χ)【】A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)，且f′(0)≠0．C、取得極大值．D、取得極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)函數(shù)f(χ)在χ＝a的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(a)為極大值．則存在δ＞0，當(dāng)χ∈(a－δ，a＋δ)時(shí)必有：【】A、(χ－a)[f(χ)－f(a)]≥0B、(χ－a)[f(χ)－f(a)]≤0C、≥0(χ≠a)D、≤0(χ≠a)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)f(χ)滿足y〞×y′－esinχ＝0，且f′(χ0)＝0．則f(χ)在【】A、χ0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加．B、χ0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少．C、χ0處取得極小值．D、χ0處取極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、已知函數(shù)y＝f(χ)對(duì)一切χ滿足χf〞(χ)＋3χ[f′(χ)]2＝1－e－χ．若f′(χ0)＝0．(χ0≠0)，則【】A、f(χ0)是f(χ)的極大值．B、f(χ0)是f(χ)的極小值．C、(χ0，f(χ0))是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．D、f(χ0)不是f(χ)的極值，(χ0，f(χ0))也不是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、曲線y＝【】A、沒(méi)有漸近線．B、僅有水平漸近線．C、僅有鉛直漸近線．D、既有水平漸近線也有鉛直漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如圖所示，則f(χ)有【】A、一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)．B、兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)．C、兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)．D、三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f′(0)＞0，則存在δ＞0，使得【】A、f(χ)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加．B、f(χ)在(－δ，0)內(nèi)單調(diào)減少．C、對(duì)任意的χ∈(0，δ)有f(χ)＞f(0)．D、對(duì)任意的χ∈(－δ，0)有f(χ)＞f(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、若＝0，則為【】A、0．B、6．C、36．D、∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)16、已知f′(3)＝2，_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(1＋χ)－3f(1－χ)＝8χ(1＋｜sinχ｜)，其中f(χ)連續(xù)，則f′(1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f′(1)＝2．極限存在，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由方程ln(χ2＋y)＝χ3y＋sinχ確定，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(a)＝1，f′(a)＝2．則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(χ)＝χ(χ－1)(χ－2)…(χ－n)，則f′(0)＝_______，f(n+1)(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－1)nn!，(n＋1)!知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由方程y－χey＝1所確定，試求＝_______和＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e，2e2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由y＝tan(χ＋y)所確定，試求y′＝_______，y〞＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(χ)＝，求f(n)(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)y＝sin4χ＋cos4χ，求y(n)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)f(0)＝0，g(χ)＝則a＝_______使g(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f′(0)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、做半徑為R的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高h(yuǎn)＝_______何值，其體積最小，最小值是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4R；πR3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(χ)＝400＋3χ＋χ2而需求函數(shù)p＝，其中χ為產(chǎn)量(假定等于需求量)，p為價(jià)格，試求：1)邊際成本為_(kāi)______；2)邊際收益為_(kāi)______；3)邊際利潤(rùn)為_(kāi)______；4)收益的價(jià)格彈性為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)3＋χ；2)；3)－3－χ；4)－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、已知某廠生產(chǎn)χ件產(chǎn)品的成本是C＝25000＋200χ＋χ2(元)問(wèn)(1)要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)_______件產(chǎn)品．(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)_______件產(chǎn)品．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)1000；(2)6000知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由參數(shù)方程確定，則曲線y＝y(tǒng)(χ)向上凸的χ取值范圍為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－∞，1)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、已知f(χ)在(0，＋∞)上可導(dǎo)，f(χ)＞0，f(χ)＝1，且滿足，求f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)36、已知某企業(yè)的總收入函數(shù)為R＝26χ－2χ2－4χ3．總成本函數(shù)為C＝8χ＋χ2．其中χ表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，求利潤(rùn)函數(shù)．邊際收入函數(shù)，邊際成本函數(shù)，以及企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量和最大利潤(rùn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利潤(rùn)函數(shù)L＝18χ－3χ2－4χ3．邊際收入函數(shù)MR＝26－4χ－12χ2．邊際成本函數(shù)MC＝8＋2χ；產(chǎn)量為1時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為11．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)和φ(x)在(－∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點(diǎn)，則()A、φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)．B、[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)．C、f[φ(x)]必有間斷點(diǎn)．D、必有間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的()A、充分必要條件．B、充分條件但非必要條件．C、必要條件但非充分條件．D、既非充分條件又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、已知函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x滿足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e－x．若f’(x0)=0．(x0≠0)，則()A、f(x0)是f(x)的極大值．B、f(x0)是f(x)的極小值．C、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)與xk是同階無(wú)窮小，則k等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)f(x，y)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)，且則()A、點(diǎn)(0，0)不是f(x，y)的極值點(diǎn)．B、點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極大值點(diǎn)．C、點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極小值點(diǎn)．D、根據(jù)所給條件無(wú)法判斷(0，0)點(diǎn)是否為f(x，y)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、當(dāng)x→0時(shí)，a(x)=kx2與是等價(jià)無(wú)窮小，則k=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)f(a)=1，f’(a)=2．則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(e2+1)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、曲線y=xex與直線y=ex所圍成圖形的面積是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)f(x，y)=xy，則_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：xy－1+yxy－1lnx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、差分方程6yt+1+9yt=3的通解為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=ex(C1cosx+C2sinx+1)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知試確定常數(shù)a，b，使得當(dāng)x→0時(shí)，f(x)～axb．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2A，b=3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)求f(n)(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為而需求函數(shù)其中x為產(chǎn)量(假定等于需求量)，P為價(jià)格，試求：1)邊際成本；2)邊際收益；3)邊際利潤(rùn)；4)收益的價(jià)格彈性．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)3+x2)3)4)－1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(0)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知曲線L的方程為1)討論L的凹凸性；2)過(guò)點(diǎn)(一1，0)引L的切線，求切點(diǎn)(x0，y0)，并寫出切線方程；3)求此切線與L(對(duì)應(yīng)x≤x0的部分)及x軸所圍成平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)上凸．2)切點(diǎn)為(2，3)，切線方程為y=x+1．3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(1，1)處可微，且f(1，1)=1，φ(x)=f(x，f(x，x))．求標(biāo)準(zhǔn)答案：51知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、計(jì)算二次積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求下列二重極限標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)0(2)0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、計(jì)算二重積分其中D由不等式0≤x≤y≤2π所確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：[0，6)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)減少，且是否收斂?并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一個(gè)解，求此微分方程滿足條y｜x=ln2=0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)曲線L位于xoy平面韻第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)M處的切線與Y軸總相交，交點(diǎn)記為A，已知求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、當(dāng)χ→0時(shí)，變量是【】A、無(wú)窮?。瓸、無(wú)窮大．C、有界的，但不是無(wú)窮?。瓺、無(wú)界的，但不是無(wú)窮大．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)數(shù)列χn與yn滿足χnyn＝0，則下列斷言正確的是【】A、若χn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若χn無(wú)界，則yn必?zé)o界．C、若χn有界，則yn必為無(wú)窮?。瓺、若為無(wú)窮小，則yn必為無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)χ→0時(shí)，etanχ－eχ是與χn同階的無(wú)窮小，則n為【】A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)＝2，其中a2＋c2≠0，則必有【】A、b＝4dB、b＝－4dC、a＝4cD、a＝－4c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、當(dāng)χ→1時(shí)，函數(shù)的極限【】A、等于2．B、等于0．C、為∞．D、不存在但不為∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)函數(shù)f(χ)＝在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，且f(χ)＝0，則常數(shù)a、b滿足【】A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)上有定義，f(χ)為連續(xù)函數(shù)，且f(χ)≠0，φ(χ)有間斷點(diǎn)，則【】A、φf(shuō)(χ)]必有間斷點(diǎn)．B、[φ(χ)]2必有間斷點(diǎn)．C、f[φ(χ)]必有間斷點(diǎn)．D、必有間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)f(χ)＝－eχ，則當(dāng)χ→0時(shí)【】A、f(χ)是χ的等價(jià)無(wú)窮?。瓸、f(χ)與χ是同階但非等價(jià)無(wú)窮?。瓹、f(χ)是比χ更高階的無(wú)窮?。瓺、f(χ)是比χ較低階的無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè){an}，{bn}，{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且＝∞，則必有【】A、an＜bn對(duì)任意n成立．B、bn＜cn對(duì)任意n成立．C、極限ancn不存在．D、極限bncn不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)函數(shù)f(χ)＝aχ(a＞0，a≠1)，則[f(1)f(2)…f(n)]＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、已知當(dāng)χ→0時(shí)，－1與cos－1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知f(χ)＝在χ＝0處連綏，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、確定a＝________、b＝_______，使得當(dāng)χ→0時(shí)，a－cosbχ＋sin3χ與χ3為等價(jià)無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：1；0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求極限＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求極限＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求極限＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求極限＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知＝0，求a＝________、b＝________的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求極限＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、已知＝A(A≠0)，試確定常數(shù)a＝_______，b＝_______，使得當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)～aχb．標(biāo)準(zhǔn)答案：2A，3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(χ)＝，則f(χ)的間斷點(diǎn)為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、當(dāng)χ→0時(shí)，α(χ)＝kχ2與β(χ)＝是等價(jià)無(wú)窮小，則k＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)28、求極限，記此極限函數(shù)為f(χ)，求函數(shù)f(χ)的間斷點(diǎn)并指出其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝，χ＝0為f(χ)的可去間斷點(diǎn)，χ＝kπ(k＝±1，±2…)為f(χ)的第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)f(χ)＝，f[φ(χ)]＝1－χ，且φ(χ)≥0，求φ(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(χ)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求f(χ)＝的間斷點(diǎn)，并判定類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝0是無(wú)窮間斷點(diǎn)，χ＝1是跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂，則()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)區(qū)域D由x＝0，y＝0，x＋y＝，x＋y＝1圍成，若I1＝[ln(x＋y)]3dxdy，I2＝(x＋y)3dxdy，I3＝sin3(x＋y)dxdy，則()．A、I1≥I2≥I3B、I2≥I3≥I1C、I1≤I2≤I3D、I2≤I3≤I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由≤x＋y≤1得[ln(x＋y)]3≤0，于是I1＝[ln(x＋y)]3dxdy≤0；當(dāng)≤x＋y≤1時(shí)，由(x＋y)3≥sin3(x＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，選(B)．3、設(shè)f(x)具有二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝2，則()．A、x＝1為f(x)的極大點(diǎn)B、x＝1為f(x)的極小點(diǎn)C、(1，f(1))是曲線y＝f(x)的拐點(diǎn)D、x＝1不是f(x)的極值點(diǎn)，(1，f(1))也不是y＝f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由＝2及f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)得f’’(1)＝0，因?yàn)椋?＞0，所以由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x－1｜＜δ時(shí)，＞0，從而，故(1，f(1))是曲線y＝f(x)的拐點(diǎn)，選(C)．4、函數(shù)f(x)＝｜xsinx｜ecosx，－∞＜x＜＋∞是()．A、有界函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然函數(shù)為偶函數(shù)，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)＝可導(dǎo)，則a＝______，b＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3，－2知識(shí)點(diǎn)解析：f(1－0)＝f(1)＝a＋b，f(1＋0)＝1，因?yàn)閒(x)在x＝1處連續(xù)，所以a＋b＝1．，且f(x)在x＝1處可導(dǎo)，所以a＝3．故a＝3，b＝－2．7、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＝＋∫01，則f(x)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)z＝f(x＋y，y＋z，z＋x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：z＝f(x＋y，y＋z，z＋x)兩邊求x求偏導(dǎo)得9、連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)＝3∫0xf(x－t)dt＋2，則f(x)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e3x知識(shí)點(diǎn)解析：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)＝∫0xf(u)du得f(x)＝3∫0xf(u)du＋2，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f’(x)－3f(x)＝0，解得f(x)＝＝Ce3x，取x＝0得f(0)＝2，則C＝2，故f(x)＝2e3x．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、確定常數(shù)a，b，c的值，使得當(dāng)x→0時(shí)，ex(1＋bx＋cx2)＝1＋ax＋ο(x3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：(3)y＝x(sinx)cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由y＝得(2)lny＝[ln(x2＋1)－ln(1－x)]，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，故y’＝．(3)lny＝lnx＋cosxlnsinx，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得故y’＝x(sinx)cosx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)＝求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，f’(x)＝；當(dāng)x＜－1時(shí)，f’(x)＝－1；當(dāng)x＞1時(shí)，f’(x)＝1；又則f(x)在x＝－1處不連續(xù)，故也不可導(dǎo)．由f(1＋0)＝f(1－0)＝f(1)－0得f(x)在x＝1處連續(xù)．因?yàn)樗詅(x)在x＝1處也不可導(dǎo)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求f(x)＝∫01｜x－t｜dt在[0，1]上的最大值、最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝∫01｜x－t｜dt＝∫0x(x－t)dt＋∫x1(t－x)dt＝－x(1－x)＝x2－x＋．由f’(x)＝2x－1＝0得x＝，因?yàn)閒(0)＝，所以f(x)在[0，1]上的最大值為，最值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(tǒng)(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)＝f(b)＝0，∫abf2(x)dx＝1，f’(x)∈С[a，b]．(1)求∫abf(x)f’(x)dx；(2)證明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫abxf(x)f’(x)dx＝．(2)∫abxf(x)f’(x)dx＝(∫abxf(x)f’(x)dx)2＝≤∫abf’2(x)dx∫abx2f2(d)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知u(x，y)＝，其中f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xu’’xx＋yu’’xy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)z＝f[x＋φ(x－y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，φ二階可導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：z＝f[x＋Pφ(x－y)，y]兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得＝－f’1．φ’＋f’2＝－(－f’’11＋f’’12)φ’＋f’1φ’’－f’’21φ’＋f’’22＝f’’11(φ’)2－2φ’f’’12＋f’1φ’’＋f’’22知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x,y)＝f(x,y)dxdy．其中D＝{(x，y)｜a≤x＋y≤b)(0＜a＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(x，y)｜0≤x≤a，a－x≤y≤b－x}，D2＝{(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b－x}，則f(x,y)dxdy＝∫0ae－xdx∫a－xb－xe－ydy＋∫abe－xdx∫0b－xe－ydy＝∫0aee－x(ex－a－ex－b)dx＋∫abe－x(1－ex－b)dx＝(a＋1)(e－a－e－b)－(b－a)e－b．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)un＞0(n＝1，2，…)，Sn＝u1＋u2＋…＋un．證明：收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求微分方程xy’＝y(tǒng)ln的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(lnu－1)＝ln｜x｜＋lnC，即lnu－1＝Cx，或u＝eCx＋1，故原方程的通解為y＝xeCx＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問(wèn)t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v(t)，阻力F＝ma＝解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝,得t＝ln3，從開(kāi)始到t＝ln3的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)φ1(x)，φ2(x)為一階非齊次線性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(x)＋φ2(x)]B、C[φ1(x)－φ2(x)]C、C[φ1(x)－φ2(x)]＋φ2(x)D、[φ1(x)－φ2(x)]＋Cφ2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x)，φ2(x)為方程y’＋P(x)y＝Q(x)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，所以φ1(x)－φ2(x)為方程y’＋P(x)y＝0的一個(gè)解，于是方程y’＋P(x)y＝Q(x)的通解為C[φ1(x)－φ2(x)]＋φ2(x)，選(C)．2、設(shè)D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)，(一1，一1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1為區(qū)域D位于第一象限的部分，則(xy＋cosxsiny)dσ等于()．A、2cosxsinydxdyB、2xydxdyC、4(xy＋cosxsiiny)dzdyD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)(1，1)，B(0，1)，C(－1，1)，D(－1，0)，E(－1，－1)，記三角形△OAB，△OBC，△OCD，△ODE所在的區(qū)域分別記為D1，D2，D3，D4，3、設(shè)＝－1，則在x＝a處()．A、f(x)在x＝a處可導(dǎo)且f’(a)≠0B、f(a)為f(x)的極大值C、f(a)不是f(x)的極值D、f(x)在x＝a處不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由＝－1，根據(jù)極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x－a｜＜δ時(shí)，有＜0，從而有f(x)＜f(a)，于是f(a)為f(x)的極大值，選(B)．4、設(shè)f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0，則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0得從而為單調(diào)減函數(shù)，由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，．6、∫01sin2xtdt＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)y＝y(tǒng)(x，z)是由方程ex＋y＋z＝x2＋y2＋z2確定的隱函數(shù)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：ex＋y＋z＝x2＋y2＋z2兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得ex＋y＋z，從而9、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，4)知識(shí)點(diǎn)解析：令x－2＝t，對(duì)級(jí)數(shù)，所以收斂半徑為R＝2，當(dāng)t＝±2時(shí)，的收斂域?yàn)?－2,2)，于是原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0，4)．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(6)當(dāng)x→0時(shí)，1－，由sinx＝x＋ο(x2)，ex＝1＋x＋＋ο(x2)得sinx－ex＋1～，故．(7)由ln(1＋x)＝x－＋ο2(x2)得ln(1－2x)＝－2x－2x2＋ο(x2)，于是當(dāng)x→0時(shí)，arctan2x[2x＋ln(1－2x)]～－2x4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)＝sinx，求f(x)的間斷點(diǎn)及分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然x＝0及x＝1為f(x)的間斷點(diǎn)．則x＝0為f(x)的可去間斷點(diǎn)；因?yàn)閒(1－0)≠f(1＋0)，所以x＝1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)對(duì)一切的x，有f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f(x)＝x(x2－1)，討論函數(shù)f(x)在x＝0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[一1，0]時(shí)，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)(x2＋2x)，因?yàn)閒’－(0)≠f’＋(0)，所以f(x)在x＝0處不可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(1＋x)ln2(1＋x)＜x2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x2－(1＋x)ln2(1＋x),f(0)＝0；f’(x)＝2x－ln2(1＋x)－2ln(1＋x)，f’(0)＝0；f’’(x)＝2－＞0(0＜x＜1)，由得f’(x)＞0(0＜x＜1)；再由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(1＋x)ln2(1＋x)＜x2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在。證明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得．(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ一1)f’(η)ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令h(x)＝lnx，F(xiàn)(x)＝∫1xf(t)dt，且F’(x)＝f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1,2)，使得(2)由得f(1)＝0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)＝f(ξ)－f(1)＝f’(η)(ξ－1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f’(η)ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，(1)證明：∫0π(sinx)dx＝[∫0πinx]dx＝πf(sinx)dx；(2)證明：∫02πf(｜sinx｜)dx＝4f(sinx)dx；(3)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令I(lǐng)＝∫0πxf(sinx)dx，則I＝∫0πxf(sinx)dx∫π0(π－t)f(sint)(－dt)＝∫0π(π－t)f(sint)dt＝∫0π(π－x)f(sinx)dx＝π∫0πf(sinx)dx－∫0πxf(sinx)dx＝π∫0πf(sinx)dx－I則I＝∫0πxf(sinx)dx＝．(2)∫02πf(｜sinx｜)dx＝∫－ππf(｜sinx｜)dx＝2∫0πf(｜sinx｜)dx＝2∫0πf(sinx)dx＝4f(sinx)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)一拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)(0，0)與(1，2)，且a＜0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€過(guò)原點(diǎn)，所以c＝0，又曲線過(guò)點(diǎn)(1，2)，所以a＋b＝2，b＝2－a．因?yàn)閍＜0，所以b＞0，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為0，，所以令S’(a)＝0，得a＝－4，從而b＝6，所以當(dāng)a＝－4，b＝6，c＝0時(shí)，拋物線與x軸所圍成的面積最小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)y＝y(tǒng)(x)，z＝z(x)是由方程z＝xf(x＋y)和F(x，y，z)＝0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：z＝xf(x＋y)及F(x，y，z)＝0兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算I＝y(tǒng)2dσ，其中D由X＝－2，y＝2，X軸及曲線x＝圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，又an≤bn≤cn(n＝1，2，…)．證明：級(jí)數(shù)bn收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn－an≤cn－an．因?yàn)?cn－an)收斂，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法得(bn－an)收斂，又bn＝(bn－an)＋an，則bn收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、將f(x)＝lnx展開(kāi)成x－2的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求微分方程y’’＋2y’－3y＝(2x＋1)ex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋2λ－3＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝－3，則y’’＋2y’－3y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e－3x．令原方程的特解為y0＝x(ax＋b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解為y＝C1ex＋C2e－3x＋(2x2＋x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第8套一、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)1、求函數(shù)y=(x∈(0，+∞))的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)及漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)y=在定義域(0，+∞)上處處連續(xù)，先求y’，y"和它們的零點(diǎn)及不存在的點(diǎn)．由y’=0得x=1；x=時(shí)y"不存在；無(wú)y"=0的點(diǎn)．現(xiàn)列下表：因此得y=單調(diào)減少區(qū)間是(0，1)，單調(diào)增加區(qū)間是(1，+∞)，x=1是極小值點(diǎn)，凹區(qū)間是(0，，0)是拐點(diǎn)．最后求漸近線．因y==0，所以無(wú)垂直漸近線．由于因此只有斜漸近線y=x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、作函數(shù)y=x+的圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：1°定義域x≠±1，間斷點(diǎn)x=±1，零點(diǎn)x=0，且是奇函數(shù)．2°求y’，y"和它們的零點(diǎn)．由y’=0得三個(gè)駐點(diǎn)x=0，x=，由y"=0得x=0，用這些點(diǎn)及間斷點(diǎn)x=±1把函數(shù)的定義域分成六個(gè)區(qū)間(一∞，一，+∞)．由此可列出函數(shù)如下分段變化表：3°求漸近線．有兩個(gè)間斷點(diǎn)x=±1，由∞→x=±1為垂直漸近線．又即y=x是斜漸近線，無(wú)水平漸近線．綜上所述，作函數(shù)圖形在x≥0部分如圖2．11．(由于奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以只作右半平面的圖形，列表也可以只列右半部分．)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且又f(x0)＞0(＜0)，f(x)＜0(＞0)(如圖2．12)，求證：f(x)在(a，b)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由x1∈(a，x0)使f(x1)＜0，]x2∈(x0，b)使f(x2)＜0，又f(x0)＞0，則f(x)在(x1，x0)與(x0，x2)內(nèi)各至少存在一個(gè)零點(diǎn)．因f’(x)＞0(x∈(a，x0))，從而f(x)在(a，x0)單調(diào)增加；f’(x)＜0(x∈(x0，b))，從而f(x)在(x0，b)單調(diào)減少．因此，f(x)在(a，x0)，(x0，b)內(nèi)分別存在唯一零點(diǎn)，即在(a，b)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、求證：方程lnx=在(0，+∞)內(nèi)只有兩個(gè)不同的實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證f(x)=lnx一在(0，+∞)只有兩個(gè)零點(diǎn)．先考察它的單調(diào)性：由于f(x)在(0，e)與(e，+∞)分別單調(diào)上升與下降，3f(e)=＞0，故只需證明：x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因則x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別只有一個(gè)零點(diǎn)，即在(0，+∞)內(nèi)只有兩個(gè)零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、就a的不同取值情況，確定方程lnx=xa(a＞0)實(shí)根的個(gè)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx—xa，即討論f(x)在(0，+∞)有幾個(gè)零點(diǎn)．用單調(diào)性分析方法．求f(z)的單調(diào)區(qū)間．則當(dāng)0＜x≤x0時(shí)，f(x)單調(diào)上升；當(dāng)x≥x0時(shí)，f(x)單調(diào)下降；當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取最大值f(x0)=(1+lna)．從而f(x)在(0，+∞)有幾個(gè)零點(diǎn)，取決于y=f(x)屬于圖2．13中的哪種情形．萬(wàn)程f(x)=0的買根個(gè)數(shù)有下列三種情形：(Ⅰ)當(dāng)f(x0)=一x∈(0，+∞))，故f(x)=0沒(méi)有根．(Ⅱ)當(dāng)f(x0)=一時(shí)，由于x∈(0，+∞)，當(dāng)x≠x0=ee時(shí)，f(x)＜0，故f(x)=0只有一個(gè)根，即x=x0=ee．(Ⅲ)當(dāng)f(x0)=一時(shí)，因?yàn)楣史匠蘤(x)=0在(0，x0)，(x0，+∞)各只有一個(gè)根．因此f(x)=0在(0，+∞)恰有兩個(gè)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、討論曲線y=2lnx與y=2x+ln2x+k在(0，+∞)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(其中k為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2x+ln2x+k一2lnx(x∈(0，+∞))，于是本題兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．由f’(x)=2+(x+lnx一1)，令f’(x)=0，可解得唯一駐點(diǎn)x0=1∈(0，+∞)．當(dāng)0＜x＜1時(shí)f’(x)＜0，f(x)在(0，1]單調(diào)減少；而當(dāng)x＞1時(shí)f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加．于是f(1)=2+k為f(x)在(0，+∞)最小值．因此f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與最小值f(1)=2+k的符號(hào)有關(guān)．當(dāng)f(1)＞0即k＞一2時(shí)，f(x)在(0，+∞)內(nèi)恒為正值函數(shù)，無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)f(1)=0即k=一2時(shí)，f(x)在(0，+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)x0=1．當(dāng)f(1)＜0即k＜一2時(shí)，需進(jìn)一步考察f(x)在x→0+與x→+∞的極限：由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可得，x1∈(0，1)與x2∈(1，+∞)使得f(x1)=f(x2)=0，且由f(x)在(0，1)與(1，+∞)內(nèi)單調(diào)知f(x)在(0，1)內(nèi)與(1，+∞)內(nèi)最多各有一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)k＜一2時(shí)，f(x)在(0，+∞)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、某商品的需求價(jià)格彈性為｜Ep｜，某人的收入為M，全部用于購(gòu)買該商品，求他的需求收入彈性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)某人的收入M全部用于購(gòu)買該商品時(shí)，M=pQ．由需求收入彈性EM的定義知道EM=．在M=pQ時(shí)，兩邊求微分可得dM=pdQ+Qdp．因此知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Q為需求量，則｜Ep｜=一，找出EM與｜Ep｜的關(guān)系即可．8、設(shè)某廠商生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其產(chǎn)量與人們對(duì)該產(chǎn)品的需求量Q相同，其價(jià)格為p．試?yán)眠呺H收益與需求價(jià)格彈性之間的關(guān)系解釋：當(dāng)｜Ep｜＜1時(shí)價(jià)