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§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)X定義:在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標準方程準線方程焦點坐標標準方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新范圍1、由拋物線y2=2px(p>0)有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè),當x的值增大時,︱y︱也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點(x,-y)
也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.則(-y)2=2px若點(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px,頂點3、
定義:拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。y2=2px(p>0)中,令y=0,則x=0.即:拋物線y2=2px(p>0)的頂點(0,0).注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。離心率4、P(x,y)
拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比,叫做拋物線的離心率。
由定義知,拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.
下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)。(二)歸納:拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤
0x∈R(0,0)x軸y軸1特點:1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考:拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊補充(1)通徑:通過焦點且垂直對稱軸的直線,與拋物線相交于兩點,連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度:2PP越大,開口越開闊(2)焦半徑:
連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式:(標準方程中2p的幾何意義)利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。(3)焦點弦:通過焦點的直線與拋物線相交于兩點,連接兩點的線段。焦點弦公式:F|=|AB|=x1+x2+p方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦的長度
y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對稱
關(guān)于x軸對稱
關(guān)于y軸對稱
關(guān)于y軸對稱(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)通徑2P2P2P2P
因為拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經(jīng)過點M(2,),解:所以設(shè)方程為:又因為點M在拋物線上:所以:因此所求拋物線標準方程為:三、典例精析坐標軸當焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論
例1:已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經(jīng)過點M(2,),求它的標準方程.練習(xí):1、已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為x軸,焦點在直線3x-4y-12=0上,那么拋物線通徑長是
.2、已知點A(-2,3)與拋物線的焦點的距離是5,則P=
。4例2、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長。1.已知M為拋物線上一動點,F(xiàn)為拋物線的焦點,定點P(3,1),則的最小值為()(A)3(B)4(C)5(D)6B.M.N.M.P分析:直線與拋物線有一個公共點的情況有兩種情形:一種是直線平行于拋物線的對稱軸;另一種是直線與拋物線相切.判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行相交(一個交點)
計算判別式>0=0<0相交
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