廣東省中山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試統(tǒng)一考試試題含解析

PAGE1廣東省中山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試統(tǒng)一考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，，則（）A.2 B.3 C.7 D.82．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝2acosB，則△ABC的形態(tài)是（）A．銳角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．直角三角形3．某水平放置的△OAB用斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖△O'A'B'，若O'B'＝A'B'，則△OAB中（）A．∠OBA＝90° B．OB＝BA C．OB＝OA D．OB＞OA4．上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代超群的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的親密聯(lián)系．圖2為骨笛測量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽視不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角．由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年頭如表：黃赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年頭公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年依據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年頭是（）A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β B．若m∥n，n?β，則m∥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β6．2024年4月21日，習(xí)近平總書記在學(xué)?？疾煺{(diào)研時提出“文明其精神，野蠻其體魄”，“野蠻其體魄”就是強(qiáng)身健體．青少年的體質(zhì)狀況不僅關(guān)乎個人成長和家庭華蜜，也關(guān)乎國家將來和民族希望，為落實(shí)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校在高二年級隨機(jī)抽取部分男生，測試立定跳遠(yuǎn)項目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．已知立定跳遠(yuǎn)200cm以上成果為及格，255cm以上成果為優(yōu)秀，依據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)估計該校高二年級男生立定跳遠(yuǎn)項目的及格率和優(yōu)秀率分別是（）A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%7．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)記為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃）：①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，極差不超過2；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8．其中確定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（PlatonicSolids）．某些病毒，如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼．正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿意：頂點(diǎn)數(shù)﹣棱數(shù)+面數(shù)＝2，則正二十面體的頂點(diǎn)的個數(shù)為（）A．30 B．20 C．12 D．10二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.對于隨意非零向量，，，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，，則D.若，則10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC是鈍角三角形 C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為11．為了解中學(xué)生課外閱讀狀況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取200名學(xué)生，收集了他們一年內(nèi)的課外閱讀量（單位：本）等數(shù)據(jù)，以下是依據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．閱讀量人數(shù)學(xué)生類別[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性別男73125304女82926328學(xué)段初中25364411中學(xué)下面推斷合理的是（）A．這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本 B．這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間[30，40）內(nèi) C．這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)確定在區(qū)間[20，30）內(nèi) D．這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間[20，30）內(nèi)12．蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的．從正面看，蜂巢口是由很多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個角度是109°28'，這樣的設(shè)計含有深刻的數(shù)學(xué)原理．我國聞名數(shù)學(xué)家華羅庚曾特地探討蜂巢的結(jié)構(gòu)，著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》，用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖1．在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'的三個頂點(diǎn)A，C，E處分別用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三個相等的三棱錐M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于點(diǎn)P，就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu)．如圖2，設(shè)平面PBOD與正六邊形底面所成的二面角的大小為θ，則下列結(jié)論正確的有（）A．異面直線DO與FP所成角的大小為109°28' B．BF＜MN C．B，M，N，D四點(diǎn)共面 D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數(shù)圖象的解析式為______；平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是______.（本題第一空2分，其次空3分）14．新冠肺炎疫情期間，為確?！巴Ｕn不停學(xué)”，各校細(xì)心組織了線上教學(xué)活動．開學(xué)后，某校采納分層抽樣的方法從三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施狀況的問卷調(diào)查．已知該校高一年級共有學(xué)生660人，高三年級共有540人，抽取的樣本中高二年級有50人，則該校高二學(xué)生總數(shù)是．15．若，則cosα+sinα＝．16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝1，點(diǎn)M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，延長BA和CD交NM的延長線于不同的兩點(diǎn)P，Q，則的值為．四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）這種抽樣方法是哪一種？（2）估計甲、乙兩個車間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？18．空間四邊形PABC中，PA，PB、PC兩兩相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M為AB的中點(diǎn)．（1）求BC與平面PAB所成的角；（2）求證：AB⊥平面PMC．19.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.20.已知中，，，所對的邊分別為，，且.（1）推斷△ABC的形態(tài)，并求sinA+sinB的取值范圍；（2）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在l1、l2上運(yùn)動，AC＝2，BC＝1，若直線l1⊥直線l2，且相交于點(diǎn)O，求O，B間距離的取值范圍．21．2024年廣東省高考實(shí)行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，全部學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在中學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4個科目中選擇2科，共計6個考試科目．并規(guī)定：化學(xué)、生物、政治、地理4個選考科目的考生原始成果從高到低劃分為A，B+，B，C+，C，D+，D，E八個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．選考科目成果計入考生總成果時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成果，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成果．假設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級成果為x分，則，所以x＝63.45≈63（四舍五入取整），小明最終成果為63分．某校2024級學(xué)生共1000人，以期末考試成果為原始成果轉(zhuǎn)換了本校的等級成果，為學(xué)生合理選科供應(yīng)依據(jù)，其中化學(xué)成果獲得等級A的學(xué)生原始成果統(tǒng)計如表：成果93919088878685848382人數(shù)1142433327（1）求化學(xué)獲得等級A的學(xué)生等級成果的平均分（四舍五入取整數(shù)）；（2）從化學(xué)原始成果不小于90分的學(xué)生中任取2名同學(xué)，求2名同學(xué)等級成果不相等的概率．22．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)G在棱D1C1上，且，點(diǎn)E、F、M分別是棱AA1、AB、BC的中點(diǎn)，P為線段B1D上一點(diǎn)，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直線l，求證：l∥A1B；（Ⅱ）若直線B1D⊥平面EFP．（i）求三棱錐B1﹣EFP的表面積；（ii）試作出平面EGM與正方體ABCD﹣A1B1C1D1各個面的交線，并寫出作圖步驟，保留作圖痕跡．設(shè)平面EGM與棱A1D1交于點(diǎn)Q，求三棱錐Q﹣EFP的體積．

參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，則?＝（）A．2 B．3 C．7 D．8解：因?yàn)椋僵仯剑?，t﹣1）；∵||＝1，∴12+（t﹣1）2＝12?t＝0；∴＝（3，1），∴?＝2×3+1×1＝7；故選：C．2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝2acosB，則△ABC的形態(tài)是（）A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．直角三角形解：由正弦定理可得sin（A+B）＝2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，故△ABC的形態(tài)為等腰三角形，故選：B．3．某水平放置的△OAB用斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖△O'A'B'，若O'B'＝A'B'，則△OAB中（）A．∠OBA＝90° B．OB＝BA C．OB＝OA D．OB＞OA解：因?yàn)椤螧'O'A'＝45°，所以∠BOA＝90°，則∠OBA≠90°，故選項A錯誤；設(shè)O'B'＝A'B'＝x，則O'A'＝，還原后，OB＝2x，∠BOA＝90°，OA＝，所以AB＝，所以O(shè)B＞OA，故選項C錯誤，選項D正確．故選：D．4．上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代超群的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的親密聯(lián)系．圖2為骨笛測量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽視不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角．由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年頭如表：黃赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年頭公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年依據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年頭是（）A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為α，春秋分日光與垂直線夾角為β，則α﹣β即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則tanα＝＝1.6，tanβ＝＝0.66，tan（α﹣β）＝＝≈0.457．∵0.455＜0.457＜0.461，∴估計該骨笛的大致年頭早于公元前6000年．故選：D．5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β B．若m∥n，n?β，則m∥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β解：對于A：由于m⊥α，故直線m相當(dāng)于平面α的法向量，由于m∥n，所以n⊥α，由于n∥β，則α⊥β，故A正確；對于B：由于m∥n，n?β，則m∥β或m?β，故B錯誤；對于C：當(dāng)m⊥n，m?α，n?β，則可能α∥β，故C錯誤；對于D：m?α，n?α，當(dāng)m和n為相交直線時，m∥β，n∥β，則α∥β，故D錯誤；故選：A．6．2024年4月21日，習(xí)近平總書記在學(xué)校考察調(diào)研時提出“文明其精神，野蠻其體魄”，“野蠻其體魄”就是強(qiáng)身健體．青少年的體質(zhì)狀況不僅關(guān)乎個人成長和家庭華蜜，也關(guān)乎國家將來和民族希望，為落實(shí)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校在高二年級隨機(jī)抽取部分男生，測試立定跳遠(yuǎn)項目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．已知立定跳遠(yuǎn)200cm以上成果為及格，255cm以上成果為優(yōu)秀，依據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)估計該校高二年級男生立定跳遠(yuǎn)項目的及格率和優(yōu)秀率分別是（）A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%解：立定跳遠(yuǎn)200cm以上成果為及格，255cm以上成果為優(yōu)秀，由頻率分布直方圖得立定跳遠(yuǎn)200cm以上的頻率為：1﹣（0.00750×20+0.01250××20）＝0.7875，由頻率分布直方圖得立定跳遠(yuǎn)255cm以上的頻率為：0.00500×20＝0.1，∴依據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)估計該校高二年級男生立定跳遠(yuǎn)項目的及格率和優(yōu)秀率分別是78.75%和10%．故選：B．7．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)記為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃）：①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，極差不超過2；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8．其中確定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：對于甲地，由于5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，若有低于22，假設(shè)取21，此時極差超過2，故假設(shè)不成立，甲地連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃，故甲地確定進(jìn)入夏季，故①正確，對于乙地，5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24，當(dāng)5個數(shù)據(jù)為19，20，27，27，27時，可得其連續(xù)5天的日平均氣溫有低于22，故乙地不確定進(jìn)入夏季，故②錯誤，對于丙地，5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，若有低于22，假設(shè)取21，此時＞10.8，故假設(shè)不成立，丙地連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃，丙地確定進(jìn)入夏季，故③正確，綜上所述，正確的為①③．故選：B．8．正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（PlatonicSolids）．某些病毒，如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼．正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿意：頂點(diǎn)數(shù)﹣棱數(shù)+面數(shù)＝2，則正二十面體的頂點(diǎn)的個數(shù)為（）A．30 B．20 C．12 D．10解：解法一、設(shè)正二十面體共有n個頂點(diǎn)，且每個頂點(diǎn)處都有5條棱，有20個面，依據(jù)“頂點(diǎn)數(shù)﹣棱數(shù)+面數(shù)＝2”，列方程得n﹣n+20＝2，解得n＝12，即正二十面體的頂點(diǎn)個數(shù)為12．解法二、由20個三角形，每個三角形有3條邊，每條邊被用了兩次，所以正二十邊形共有棱數(shù)為20×3÷2＝30（條），依據(jù)歐拉公式“頂點(diǎn)數(shù)﹣棱數(shù)+面數(shù)＝2”，得正二十面體的頂點(diǎn)個數(shù)為2+30﹣20＝12．故選：C．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．對于隨意非零向量，，，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若?＝?，則 C．若，，則 D．若|﹣|＝|+|，則?＝0解：對于A選項：因?yàn)闉榉橇阆蛄?，則∥成立，故A正確；對于B選項：若?＝?，則或⊥（），故B錯誤；對于C選項：若，，則，故C正確；對于D選項：若|﹣|＝|+|，即有||2+||2﹣2＝||2+||2+2，故有＝0，故D正確；故選：ACD．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC是鈍角三角形 C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可設(shè)a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正確；由c為最大邊，可得cosC＝＝＝＞0，即C為銳角，故B錯誤；由cosA＝＝＝，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝＝cosC，由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正確；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圓半徑為，故D正確．故選：ACD．11．為了解中學(xué)生課外閱讀狀況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取200名學(xué)生，收集了他們一年內(nèi)的課外閱讀量（單位：本）等數(shù)據(jù)，以下是依據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．閱讀量人數(shù)學(xué)生類別[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性別男73125304女82926328學(xué)段初中25364411中學(xué)下面推斷合理的是（）A．這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本 B．這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間[30，40）內(nèi) C．這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)確定在區(qū)間[20，30）內(nèi) D．這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間[20，30）內(nèi)解：由圖表知，男生共7+31+25+30+4＝97人，女生共103人，這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)為20.5×+25.5×＝23.075，故A錯，∵200×75%＝150，∴這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)是從小到大排序后的第150與第151個數(shù)的平均值，由表格知第150與第151個數(shù)都在區(qū)間[30，40）內(nèi)，故B對，閱讀量在區(qū)間[0，10）內(nèi)共有15人，若初中生閱讀量在區(qū)間[0，10）內(nèi)共有0人，則其中位數(shù)在區(qū)間[20，30）內(nèi)，若初中生閱讀量在區(qū)間[0，10）內(nèi)共有15人，則其中位數(shù)在區(qū)間[20，30）內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)確定在區(qū)間[20，30）內(nèi)，故C對，當(dāng)時中生閱讀量在區(qū)間[0，10）內(nèi)共有0人時，（25+36+44+11）×25%＝29，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)是從小到大排序后的第29與第30個數(shù)的平均值，在區(qū)間[20，30）內(nèi)，故D對，故選：BCD．12．蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的．從正面看，蜂巢口是由很多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個角度是109°28'，這樣的設(shè)計含有深刻的數(shù)學(xué)原理．我國聞名數(shù)學(xué)家華羅庚曾特地探討蜂巢的結(jié)構(gòu)，著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》，用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖1．在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'的三個頂點(diǎn)A，C，E處分別用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三個相等的三棱錐M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于點(diǎn)P，就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu)．如圖2，設(shè)平面PBOD與正六邊形底面所成的二面角的大小為θ，則下列結(jié)論正確的有（）A．異面直線DO與FP所成角的大小為109°28' B．BF＜MN C．B，M，N，D四點(diǎn)共面 D．cosθ＝tan54°44'解：A選項，異面直線所成角的范圍為（0°，90°]，故A不正確．B選項，由△BDF與△MON都是邊長為的等邊三角形，∴BF＝MN，因此B不正確；C選項，因?yàn)锽D＝NM，且BD∥NM，所以四邊形BMND是平行四邊形，因此B，M，N，D四點(diǎn)共面，正確；D：利用其次個圖：取BF的中點(diǎn)P，連接PA，PM，則∠MPA＝θ，不妨取AB＝2，在等腰三角形ABF中，∠BAF＝120°，則PB＝，PA＝1．在這直角三角形PMB中，PM＝．∴cosθ＝＝tan54°44′，正確．故選：CD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數(shù)圖象的解析式為y＝3sin（2x﹣）；平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是x＝﹣．解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數(shù)圖象的解析式為y＝3sin（2x﹣+）＝3sin（2x﹣）．令2x﹣＝kπ+，求得x＝+，k∈Z．令k＝﹣1，可得平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程為x＝﹣，故答案為：y＝3sin（2x﹣）；x＝﹣．14．新冠肺炎疫情期間，為確保“停課不停學(xué)”，各校細(xì)心組織了線上教學(xué)活動．開學(xué)后，某校采納分層抽樣的方法從三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施狀況的問卷調(diào)查．已知該校高一年級共有學(xué)生660人，高三年級共有540人，抽取的樣本中高二年級有50人，則該校高二學(xué)生總數(shù)是600．解：高一、高三年級共有660+540＝1200人，設(shè)高二年級有x人，則，解得x＝600；故答案為：600．15．若，則cosα+sinα＝．解：由公式cos2α＝cos2α﹣sin2α，及等式，代入＝＝，則cosα+sinα＝．故答案應(yīng)填．16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝1，點(diǎn)M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，延長BA和CD交NM的延長線于不同的兩點(diǎn)P，Q，則的值為0．解：設(shè)∠ABC＝α，BC＝a，∠BCD＝β，則A（cosα，sinα），B（0，0），C（a，0），D（a﹣cosβ，sinβ），∴M（，），N（，0），∴＝（，），＝（﹣cosα，﹣sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），∴＝（﹣cosα﹣cosβ，﹣sinα+sinβ），∴＝﹣（cos2α﹣cos2β）+（sin2β﹣sin2α）＝﹣（cos2α+sin2α）+（cos2β+sin2β）＝0，又∥，∴＝0，故答案為：0．四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）這種抽樣方法是哪一種？（2）估計甲、乙兩個車間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？解：（1）由題意知這個抽樣是在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；（2）＝100，＝100；，，s2甲＜s2乙∴甲車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．18．空間四邊形PABC中，PA，PB、PC兩兩相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M為AB的中點(diǎn)．（1）求BC與平面PAB所成的角；（2）求證：AB⊥平面PMC．解：（1）∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP．∴∠CBP是CB與平面PAB所成的角，∵∠PBC＝60°，∴BC與平面PBA的角為60°．證明：（2）∵PA⊥PB，∠PBA＝45°，∴PA＝PB，∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA＝PB，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC，∴AB＝AC，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)．∴PM⊥AB，CM⊥AB，∵PM∩CM＝M，∴AB⊥平面PMC．19．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ＝﹣，sin（α+β）＝．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝．20．已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2＝?+?+?．（1）推斷△ABC的形態(tài)，并求sinA+sinB的取值范圍；（2）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在l1、l2上運(yùn)動，AC＝2，BC＝1，若直線l1⊥直線l2，且相交于點(diǎn)O，求O，B間距離的取值范圍．解：（1）∵，∴c2＝c?bcosA+c?acosB+b?acosC，∴，∴c2＝a2+b2，∴為直角三角形，∴sinA+sinB＝，∵，∴，∴，∴sinA+sinB∈（1，]；（2）簡解：不妨設(shè)，B（x，y），則x＝2cosθ+sinθ，y＝cosθ，∴，∴．21．2024年廣東省高考實(shí)行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，全部學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在中學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4個科目中選擇2科，共計6個考試科目．并規(guī)定：化學(xué)、生物、政治、地理4個選考科目的考生原始成果從高到低劃分為A，B+，B，C+，C，D+，D，E八個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．選考科目成果計入考生總成果時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成果，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成果．假設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級成果