2.2.4均值不等式及其應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用

第二章等式與不等式人教B版（2019）嘗試與發(fā)現(xiàn)（1）假設(shè)一個(gè)矩形的長和寬分別為a和b，求與這個(gè)矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個(gè)矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個(gè)邊長的大?。唬?）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測(cè)一般情況下兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對(duì)大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．a(chǎn)12b14131均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．證明因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以即

而且，等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b．

值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實(shí)數(shù)，因此我們可以代入任意滿足條件的數(shù)或式子，比如

一定是正確的．均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得≥ab．

如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個(gè)幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．探索與研究

如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心．

已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點(diǎn)，且DC⊥AB，算出OD和CD，給出均值不等式的另一個(gè)幾何意義.例3

（1）已知矩形的面積為100，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？分析：在（1）中，矩形的長與寬的積是一個(gè)常數(shù)，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個(gè)常數(shù)，要求長與寬之積的最大值.x=y=9當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值.例3的結(jié)論可以表述為：

例5的結(jié)論也是經(jīng)常要用的.不難看出，均值不等式與例5的結(jié)論既有聯(lián)系，又有區(qū)別.區(qū)別在于例5中去掉了a，b是正數(shù)的條件，聯(lián)系在于均值不等式可以看成例5結(jié)論的一種特殊情況.練習(xí)鞏固DCDCDCB