2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章平面向量第2講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第六章平面對(duì)量其次講平面對(duì)量的數(shù)量積及應(yīng)用練好題﹒考點(diǎn)自測(cè)1.[改編題]下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為 ()(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影是數(shù)量,而不是向量.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.(3)由a·b=0可得a=0或b=0.(4)(a·b)·c=a·(b·c).(5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是[0,π2A.2 B.3 C.4 D.52.[易錯(cuò)題]已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ,則“a·b>0”是“θ為銳角”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.[2024全國(guó)卷Ⅱ,5分]已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC= ()A.-3 B.-2 C.2 D.34.[2024全國(guó)卷Ⅲ,5分]已知向量a,b滿意|a|=5,|b|=6,a·b=-6,則cos<a,a+b>= ()A.-3135 B.-1935 C.175.[2024山東,5分]已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則AP·AB的取值范圍是 ()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)6.[2024青島市質(zhì)檢][多選題]已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),設(shè)a,b的夾角為θ,則 ()A.|a|=|b| B.a⊥cC.b∥c D.θ=135°7.[2024全國(guó)卷Ⅱ,5分]已知單位向量a,b的夾角為45°,ka-b與a垂直,則k=.

8.[2024合肥市調(diào)研檢測(cè)]已知a=(1,1),b=(2,-1),則向量b在a方向上的投影等于.

9.[2017全國(guó)卷Ⅰ,5分]已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.

拓展變式1.(1)已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量CD在BA方向上的投影是 ()A.-35 B.-322 C.35(2)[2024大同市調(diào)研測(cè)試]在直角三角形ABC中,直角邊AB=3,AC=4,則AB·BC+BC·CA+CA·AB= ()A.-25 B.25 C.7 D.-7(3)[2017天津,5分]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

2.(1)[2024安徽省四校聯(lián)考]已知向量a=(-1,m),2a+b=(2,3+2m),且(a+b)⊥(a-b),則實(shí)數(shù)m的值為.

(2)[2024全國(guó)卷Ⅰ,5分]設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=.

(3)[2024全國(guó)卷Ⅲ,5分]已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,則cos<a,c>=.

3.[2016天津,5分]已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為 ()A.-58 B.18 C.14.[2024成都市高三摸底測(cè)試]△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若向量m=(a,-cosA),n=(cosC,2b-c),且m·n=0,則角A的大小為 ()A.π6 B.π4 C.π5.[新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5分]已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若MF1·MA.(-33,33) B.(-36,C.(-223,223) D.(-6.(1)[湖南高考,5分]已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為 ()A.6 B.7 C.8 D.9(2)[2024天津,5分]如圖6-2-15,在四邊形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=-32,則實(shí)數(shù)λ的值為,若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),且|MN|=1,則DM·DN的最小值為圖6-2-15答案其次講平面對(duì)量的數(shù)量積及應(yīng)用1.A對(duì)于(1),向量的投影是數(shù)量,故(1)正確;對(duì)于(2),由數(shù)量積的定義及向量的運(yùn)算法則可知,(2)正確;對(duì)于(3),當(dāng)a⊥b時(shí),a·b=0,故(3)錯(cuò)誤;對(duì)于(4),向量數(shù)量積運(yùn)算不滿意結(jié)合律,故(4)錯(cuò)誤;對(duì)于(5),兩個(gè)向量的夾角的范圍是[0,π],故(5)錯(cuò)誤.綜上選A.2.B由a·b>0,可得到θ∈[0,π2),不能得到θ∈(0,π2);而由θ∈(0,π2),可以得到a3.C因?yàn)锽C=AC-AB=(1,t-3),所以|BC|=1+(t-3)2=1,解得t=3,所以4.D由題意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|=a2+2a·b+b2=25-12+36=7,所以cos<a,5.AAP·AB=|AP|·|AB|·cos∠PAB=2|AP|cos∠PAB,又|AP|cos∠PAB表示AP在AB方向上的投影,所以結(jié)合圖形可知,當(dāng)P與C重合時(shí)投影最大,當(dāng)P與F重合時(shí)投影最小.又AC·AB=23×2×cos30°=6,AF·AB=2×2×cos120°=-2,故當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),AP·AB∈(-2,6),故選A.6.BD∵向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),∴a=(-1,1),b=(2,0),∴|a|=(-1)2+12=2,|b|=2,∴|a|≠|(zhì)b|,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;∵a·c=(-1,1)·(1,1)=0,∴a⊥a·b|7.22由題意,得a·b=|a|·|b|cos45°=22.因?yàn)橄蛄縦a-b與a垂直,所以(ka-b)·a=ka2-a·b=k-228.22由題意,得b在a方向上的投影為a·b|a9.23易知|a+2b|=|a|2+4a1.(1)A依題意,得BA=(-2,-1),CD=(5,5),所以BA·CD=-15,|BA|=5,因此向量CD在BA方向上的投影是BA·CD|BA|(2)A解法一在直角三角形ABC中,因?yàn)锳B=3,AC=4,所以BC=5,于是AB·BC+BC·CA+CA·AB=BC·(AB-AC)+0=-BC2圖D6-2-1解法二以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖D6-2-1所示平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(0,4),AB=(3,0),CA=(0,-4),BC=(-3,4),所以AB·BC+BC·CA+CA·AB=3×(-3)+0×4+(-3)×0+4×(-4)+0×3+(-4)×0=-25,故選A.(3)311解法一AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC.又AB·AC=3×2×12=3,所以AD·AE=(13AB+23AC)·(-AB+λAC)=-13|AB|2+(13λ-23)AB·AC+解法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,不妨假設(shè)點(diǎn)C在第一象限,則A(0,0),B(3,0),C(1,3).由BD=2DC,得D(53,233),由AE=λAC-AB,得E(λ-3,3λ),則AD·AE=(53,233)·(λ-3,3λ)=53(λ-3)+22.(1)±26解法一由題意,得b=(2,3+2m)-2(-1,m)=(4,3),因?yàn)?a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,即1+m2=5,解得m=±2解法二因?yàn)閍+b=2a+b-a=(2,3+2m)-(-1,m)=(3,3+m),a-b=3a-(2a+b)=3(-1,m)-(2,3+2m)=(-5,m-3),(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=3×(-5)+(3+m)×(m-3)=m2-24=0,解得m=±26.(2)3解法一∵a,b為單位向量,且|a+b|=1,∴(a+b)2=1,∴1+1+2a·b=1,∴a·b=-12,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+1-2×(-12)=3,∴|a-b|=圖D6-2-2解法二如圖D6-2-2,設(shè)OA=a,OB=b,利用平行四邊形法則得OC=a+b,∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴△OAC為正三角形,∴|BA|=|a-b|=2×32×|a|=3(3)23設(shè)a=(1,0),b=(0,1),則c=(2,-5),所以cos<a,c>=21×4+53.B圖D6-2-3如圖D6-2-3,設(shè)AC=m,AB=n.依據(jù)已知得,DF=34m,所以AF=AD+DF=34m+12AF·BC=(34m+12n)·(m-n)=34m2-12n2-14m·n=34-4.B解法一由m·n=0,得acosC-(2b-c)cosA=0,由正弦定理,得sinAcosC-(2sinB-sinC)cosA=0,即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA,所以sin(A+C)=2sinBcosA,所以sin(π-B)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA.因?yàn)?<B<π,所以sinB≠0,所以cosA=22,所以A=π解法二由m·n=0,得acosC-(2b-c)cosA=0,由余弦定理,得a·a2+b2-c22ab-25.A由題意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨設(shè)F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1·MF2=x02-3+6.(1)B因?yàn)锳,B,C均在單位圓上,AC為直徑,故PA+PC=2PO=(-4,0),|PA+PB+PC|=|2PO+PB|≤2|PO|+|PB|,又|PB|≤|PO|+1=3,所以|PA+PB+PC|≤4+3=7,故|PA+PB+PC|的最