專題3旋轉(zhuǎn)中的全等對(duì)角互補(bǔ)模型八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)聚焦課本培優(yōu)專題訓(xùn)練講義（原卷版）

專題3專題3旋轉(zhuǎn)中的全等對(duì)角互補(bǔ)模型知識(shí)梳理知識(shí)梳理對(duì)角互補(bǔ)模型是經(jīng)典的幾何模型，其中會(huì)涉及到全等或相似三角形的證明、倒角的計(jì)算（八字倒角、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的外角等于內(nèi)角的對(duì)角、角的加減等）、線段數(shù)量關(guān)系的證明、旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造等綜合性較高的幾何知識(shí)，無論是在校內(nèi)考試、還是中考中一直都是熱門考點(diǎn)。對(duì)角互補(bǔ)模型在八年級(jí)陸續(xù)就會(huì)出現(xiàn)，一般會(huì)和等腰直角三角形、正方形等特殊圖形結(jié)合起來，既有選填壓軸的題型，也經(jīng)常會(huì)以解答題的題型進(jìn)行考察。此時(shí)是利用構(gòu)造全等進(jìn)行解決問題。九年級(jí)時(shí)會(huì)利用構(gòu)造相似進(jìn)行解決問題。模型分析模型.對(duì)角互補(bǔ)模型模型分析對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。常見的對(duì)角互補(bǔ)模型：含90°90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°60°對(duì)角互補(bǔ)模型、（）對(duì)角互補(bǔ)模型。解題策略：對(duì)角互補(bǔ)模型最常見的兩種處理策略：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等或相似三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等或相似.解題思路：在對(duì)角互補(bǔ)模型的應(yīng)用中，我們可以利用角平分線的性質(zhì)來做垂線，從而構(gòu)造出全等三角形。這種方法在解決幾何題時(shí)非常有用，因?yàn)樗梢詭椭覀冋业揭阎獥l件與未知條件之間的聯(lián)系，從而更快地解決問題。模型展示模型、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型模型展示全等異側(cè)型—90°（共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.【證明】如圖，過點(diǎn)C作CM⊥OA于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N.∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)，在正方形MONC中，由題意可得∠MCN＝360o－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90o，∴∠MCD＋∠DCN＝90o，又∵∠DCE＝90o，∴∠ECN＋∠MCD＝90o，∴∠MCD＝∠ECN，∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴結(jié)論①成立；∵四邊形MONC為正方形，∴OM＝ON＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴結(jié)論②成立；∴，∴結(jié)論③成立.全等同側(cè)型—90°（斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.【證明】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F、G.由角平分線性質(zhì)可得CF＝CG，∴四邊形CFOG為正方形，∵∠1＋∠2＝90o，∠3＋∠2＝90o，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，∴CD＝CE，結(jié)論①成立；在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，結(jié)論②成立；3）全等同側(cè)型—60°和120°（等邊三角形對(duì)120°模型）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.【證明】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F、G.由角平分線性質(zhì)可得CF＝CG，在四邊形OFCG中，∠FCG＝60o，∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60o，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG(ASA)，∴CD＝CE，結(jié)論①成立；在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60o，∴OF＝OG＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，結(jié)論②成立；，結(jié)論③成立.4）全等異側(cè)型—60°和120°（等邊三角形對(duì)120°模型）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.【證明】如圖，過點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N.由角平分線性質(zhì)可得CM＝CN，在四邊形ONCM中，∠MCN＝60°，∵∠DCM+∠MCE=∠ECN+∠MCE=60°∴∠DCM=∠ECN，∴△DCM≌△ECN（ASA）,∴CD=CE，結(jié)論①成立；在Rt△COM和Rt△CON中，∠COM=∠CON=60°，∴OM=ON=OC，又∵DM=EN=ODOM=OE+ON=ODOC=OE+OC，∴OD－OE＝OC，在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60o，∴OF＝OG＝OC，結(jié)論②成立；，結(jié)論③成立.5）全等型（對(duì)模型）條件：如圖，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.【證明】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F、G.證△CDF≌△CEG可得CD＝CE，結(jié)論①成立，在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝，∴OF＝OG＝OC·cosα，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cosα，結(jié)論③成立.經(jīng)典例題精析【典型例題】如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；經(jīng)典例題精析（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．典型典型例題例1、如圖，AC是?ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，則∠BAC是（）A．25° B．30° C．45° D．50°例2、如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例3、如圖，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③例4、如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點(diǎn)F，∠AED和∠AGD互補(bǔ)，若S△ADG＝40，S△AED＝22，則△EDF的面積為．例5、如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為__________例6、如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由例7、(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，對(duì)角線BD=8，求四邊形ABCD的面積；(2)如圖2，園藝設(shè)計(jì)師想在正六邊形草坪一角∠BOC內(nèi)改建一個(gè)小型的兒童游樂場(chǎng)OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，點(diǎn)M，N分別在射線OB和OC上，且∠MAN=90°，為了盡可能的少破壞草坪，要使游樂場(chǎng)OMAN面積最小，你認(rèn)為園林規(guī)劃局的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？若能，請(qǐng)求出游樂場(chǎng)OMAN面積的最小值；若不能，請(qǐng)說明理由．例8、問題背景：“對(duì)角互補(bǔ)”是經(jīng)典的四邊形模型，解決相應(yīng)問題，通常會(huì)涉及到旋轉(zhuǎn)構(gòu)造、全等三角形的證明等綜合性較高的幾何知識(shí)．如果問題中有“45°，60°”角度出現(xiàn)，一般會(huì)和等腰直角三角形、正方形、等邊三角形等特殊圖形結(jié)合起來考察．

(1)【問題解決】如圖①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同學(xué)從P點(diǎn)分別向OA，OB作垂線PE，PF，由此得到正方形OFPE，與△PED全等的三角形是________；(2)【問題探究】如圖②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD=1，OC=2，求OP的長(zhǎng)；(3)【拓展延伸】如圖③，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，∠CPD=90°，∠PCD=30°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP，且OP=6+2例9、如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=12（1）思路梳理將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點(diǎn)E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線上，∠EAF=12（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長(zhǎng)為________________.例10、在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D,（1）如圖1，點(diǎn)M，N分別在AD，AB上，且∠BMN=90°，當(dāng)∠AMN=30°，AB=2時(shí)，求線段AM的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且∠EDF=90°，求證：BE=AF；（3）如圖3，點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在AC上，且∠BMN=90°，求證：AB+AN=2課后專題練課后專題練練1、如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，連接BQ交AC于G，若AP=2，Q為CD①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面積是16；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1練2、如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)練3、如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長(zhǎng)不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正確的序號(hào)為_____．練4、如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2練5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為．練6、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、D重合），同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)沿著線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D、C重合），點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度相同．BE與AF相交于點(diǎn)H，點(diǎn)G為BF中點(diǎn)，則有下列結(jié)論：①∠DEH與∠DFH一定互補(bǔ)；②FB可以平分∠AFC；③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，GH=5④當(dāng)AH+BH=6時(shí)，四邊形HEDF的面積是1其中正確的有.（填寫序號(hào)）練7、如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．練8問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．練9、綜合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個(gè)定理，往往可以讓復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，以下是小明同學(xué)對(duì)一道四邊形問題的分析，請(qǐng)幫助他補(bǔ)充完整．

特殊情況分析(1)如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，將射線PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ADC的度數(shù)，交直線BC于點(diǎn)Q．小明的思考如下：連接DQ，∵AD∥CQ，∴∠ACQ=∠DAC，（依據(jù)1）∵∠DPQ=90°，∴∠DPQ+∠DCQ=180°，∴點(diǎn)D、∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依據(jù)2）∴∠PDQ=∠DQP，∴DP=QP．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應(yīng)為___________，②依據(jù)2應(yīng)為___________，③依據(jù)3應(yīng)為___________；一般結(jié)論探究(2)將圖1中的正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)僅以圖2的形式證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；結(jié)論拓展延伸(3)如圖2，若∠ADC=120°，AD=3，當(dāng)△PQC為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PQ的長(zhǎng)．練10、定義：有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做“準(zhǔn)矩形”，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)準(zhǔn)矩形的直徑．如圖①所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90o，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)矩形”，記作：準(zhǔn)矩形ABCD，其中AC是這個(gè)準(zhǔn)矩形的直徑．（1）在“平行四邊形、矩形、菱形”，一定為“準(zhǔn)矩形”的是哪個(gè)圖形;（回答圖形名稱）（2）如圖②，已知A、B、C在格