函數(shù)的概念（八大考點(diǎn)）

.1函數(shù)的概念1．理解函數(shù)的概念，能識(shí)別是否是函數(shù)2．了解構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系及值域3．能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號(hào)．一、函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義：設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù),按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù),記作.2．函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)中,叫做自變量,x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然,值域是集合的子集．3．對(duì)應(yīng)關(guān)系除解析式、圖象表格外,還有其他表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法,引進(jìn)符號(hào)統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系．注意：（1）當(dāng)為非空數(shù)集時(shí),符號(hào)“”表示到的一個(gè)函數(shù)．（2）集合中的數(shù)具有任意性,集合中的數(shù)具有唯一性．（3）符號(hào)“”它表示對(duì)應(yīng)關(guān)系,在不同的函數(shù)中的具體含義不一樣．二、同一個(gè)函數(shù)1．函數(shù)三要素：由函數(shù)的定義可知,一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．2．相同函數(shù)：值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．兩個(gè)函數(shù)如果僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同,則它們不是相同的函數(shù)．三、區(qū)間1．區(qū)間的概念(為實(shí)數(shù),且)定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間開(kāi)區(qū)間半閉半開(kāi)區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間2．其他區(qū)間的表示定義符號(hào)四、常見(jiàn)函數(shù)的定義域和值域函數(shù)函數(shù)關(guān)系式定義域值域正比例函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)考點(diǎn)01函數(shù)概念的辨析1．判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù).(1)，，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng)；(2)，，對(duì)應(yīng)法則，，；(3)，，對(duì)應(yīng)法則，，；(4)三角形，，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，可依次判斷得解.【詳解】（1）對(duì)于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù).（2）對(duì)于A中的元素，在f的作用下與B中的1對(duì)應(yīng)，A中的元素，在f的作用下與B中的4對(duì)應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對(duì)應(yīng)，是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，故是函數(shù).（3）對(duì)于A中的任一元素，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，如對(duì)應(yīng)1，對(duì)應(yīng)4，所以是函數(shù).（4）集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù).2．判斷正誤（正確的填“正確”，錯(cuò)誤的填“錯(cuò)誤”）（1）“”表示的是“y等于f與x的乘積”.()（2）根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個(gè)x可以對(duì)應(yīng)著值域中不同的y.()（3）在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域.()（4）在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)外，還可用，，等來(lái)表示函數(shù).()【答案】錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一分析即可.【詳解】（1）是一個(gè)符號(hào)，“”是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，故（1）錯(cuò)誤；（2）根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域中的任何一個(gè)x，在值域中都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，故（2）錯(cuò)誤；（3）在函數(shù)的定義中，函數(shù)的值域是集合B的子集，故（3）錯(cuò)誤；（4）同一個(gè)題中，為了區(qū)別不同的函數(shù)，常采用，，等來(lái)表示函數(shù)，故（4）正確.故答案為：錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；正確.3．某電器商店以2000元/臺(tái)的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批電視機(jī)，然后以2100元/臺(tái)的價(jià)格售出．隨著售出臺(tái)數(shù)的變化，商店的利潤(rùn)是怎樣變化的？利潤(rùn)和售出的臺(tái)數(shù)之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？【答案】見(jiàn)解析【分析】求得利潤(rùn)與售出臺(tái)數(shù)的函數(shù)解析式，即可求解.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為，售出臺(tái)數(shù)為，則，所以利潤(rùn)隨著售出臺(tái)數(shù)的增加而增加，利潤(rùn)與售出的臺(tái)數(shù)之間存在函數(shù)關(guān)系.4．下列變化過(guò)程中，變量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中，二者間的距離與時(shí)間的關(guān)系；(2)在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距地面的高度與時(shí)間的關(guān)系；(3)某超市一天的銷售額與客流量之間的關(guān)系；(4)某十字路口，通過(guò)汽車的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系；(5)往燒杯中注水，杯中水的體積與注水時(shí)間的關(guān)系；(6)拋擲一枚均勻硬幣的次數(shù)與硬幣正面朝上的次數(shù)之間的關(guān)系．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析(4)答案見(jiàn)解析(5)答案見(jiàn)解析(6)答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】（1）地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，二者的距離與時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系，其中時(shí)間時(shí)自變量，距離是因變量（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距地面的高度與時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系，其中時(shí)間為自變量，高度是因變量（3）某超市一天的銷售額與客流量之間存在函數(shù)關(guān)系，其中客流量是自變量，銷售額是因變量（4）某十字路口，通過(guò)汽車的數(shù)量與時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系，其中時(shí)間是自變量，通過(guò)汽車的數(shù)量是因變量（5）往燒杯中注水，杯中水的體積與注水時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系，其中時(shí)間是自變量，杯中水的體積是因變量（6）拋擲一枚均勻硬幣的次數(shù)與硬幣正面朝上的次數(shù)之間不存在函數(shù)關(guān)系.5．如圖圖形，其中能表示函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義即可得解.【詳解】由函數(shù)的定義可知，對(duì)定義域內(nèi)的任何一個(gè)變量有唯一的一個(gè)變量與對(duì)應(yīng)，由圖可知，ACD三個(gè)選項(xiàng)不符合函數(shù)的定義，B選項(xiàng)符合函數(shù)的定義.故選：B.6．（多選）下列各圖中，可能是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)任意取一個(gè)值，都有唯一的一個(gè)函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，由此可得結(jié)論.【解答】B選項(xiàng)，x＞0時(shí)有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不為函數(shù)，B錯(cuò)誤，其它均符合函數(shù)的定義，故選：ACD.7．判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：(1)，，；(2)，這里，，；(3)當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，.【答案】(1)是函數(shù)(2)不是函數(shù)(3)是函數(shù)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義這個(gè)函數(shù)可以表示為()進(jìn)行判斷；（2）利用函數(shù)定義及特殊值進(jìn)行判斷；（3）可以表示為，是一個(gè)函數(shù).【詳解】（1）對(duì)于任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，由x唯一確定，所以當(dāng)時(shí)是函數(shù)，這個(gè)函數(shù)也可以表示為().（2）考慮輸入值為4，即當(dāng)時(shí)輸出值y由給出，得和.這里一個(gè)輸入值與兩個(gè)輸出值對(duì)應(yīng)，所以，（，，）不是函數(shù).（3）由題意知，對(duì)于任意的有理數(shù)x，總有唯一的元素1與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于任意的無(wú)理數(shù)x，總有唯一的元素0與之對(duì)應(yīng)，.因此，根據(jù)函數(shù)的定義，可知這個(gè)對(duì)應(yīng)是函數(shù)，可以表示為.所以（1）是函數(shù)；（2）不是函數(shù)；（3）是函數(shù).考點(diǎn)02區(qū)間的表示及運(yùn)算8．已知區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由區(qū)間的定義列式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，解得.故選：A.9．，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義，直接計(jì)算求解即可.【詳解】，所以，=故選：D10．不等式組的解集用區(qū)間表示為：．【答案】【分析】先解不等式組，再將結(jié)果用區(qū)間表示.【詳解】解：∵不等式組，∴，∴不等式組的解集為．故答案為：．11．用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【分析】根據(jù)區(qū)間的定義逐個(gè)分析可得結(jié)果.【詳解】；；且；；.故答案為：；；；；.12．已知區(qū)間，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)區(qū)間的概念，得到不等式，即可求解．【詳解】由題意，區(qū)間，則滿足，解得，即的取值范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了區(qū)間的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記區(qū)間的概念，列出不等式是解答的關(guān)鍵，屬于容易題．13．（1）用區(qū)間表示且為．（2）已知區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【分析】（1）根據(jù)區(qū)間的表示方法表示即可，（2）由題意可得，從而可求出的取值范圍.【詳解】（1）且用區(qū)間可表示為，（2）由題意得，得，即的取值范圍.故答案為：；.14．用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)區(qū)間的定義即可逐一求解.【詳解】（1）（2）（3）（4）考點(diǎn)03求具體函數(shù)的定義域15．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)開(kāi)偶數(shù)次發(fā)根號(hào)里的數(shù)大于等于零，分母不等于零計(jì)算即可.【詳解】由，得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.16．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足，解得且.故答案為：.17．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域.故答案為：18．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用函數(shù)有意義，列式求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：19．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得，所以的定義域是.故答案為：20．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件，列出不等式組，解出即可.【詳解】由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?21．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)且(4)且，(5)【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的定義列出不等式解出即可.【詳解】（1）由題意得，即，故定義域?yàn)?；?）由題意得，解得，故定義域?yàn)椋唬?）由題意得，解得且，故定義域?yàn)榍?（4）由題意得，解得且，故定義域?yàn)榍遥?）由題意得，解得，故定義域?yàn)?考點(diǎn)04同一個(gè)函數(shù)的判斷22．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合選項(xiàng)判斷兩個(gè)函數(shù)的三要素是否相同即可得答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，的定義域?yàn)?，不是同一函?shù)；對(duì)于B，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，的定義域?yàn)?，不是同一函?shù)；對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域均相同，是同一函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，的定義域?yàn)?，不是同一函?shù)；故選：C23．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同一函數(shù)的判定方法，結(jié)合定義域和對(duì)應(yīng)法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)與的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)和，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于D中，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：B.24．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與.②與.③與.④與.A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)同一函數(shù)的判定方法，結(jié)合函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐個(gè)判定，即可求解.【詳解】①中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，但與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，所以①不是同一函數(shù).②中，函數(shù)與的定義域都是，但與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，所以②不是同一函數(shù).③中，函數(shù)與的定義域都是，且與的對(duì)應(yīng)關(guān)系一致，所以③是同一函數(shù).④中，函數(shù)與的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都一致，所以④是同一函數(shù).故選：C.25．（多選）下列各組函數(shù)能表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則判斷即可.【詳解】的定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，即定義域一樣，且，即值域一樣，故能表示同一個(gè)函數(shù)，故A選項(xiàng)符合題意；的定義域?yàn)椋x域?yàn)?，定義域不一樣，故不能表示同一函數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；定義域?yàn)椋x域?yàn)?，二者定義域不一樣，故不能表示同一函數(shù)，故C選項(xiàng)不符合題意；定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，且?duì)應(yīng)法則一樣，值域一樣，故能表示同一函數(shù)，故D選項(xiàng)正確.故選：AD26．（多選）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】利用同一函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域均為R，且，A是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域均為，而，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域均為R，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，D是.故選：ACD27．下列各組函數(shù)：①，；②；③，；④，；⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系與一次函數(shù)．其中表示相等函數(shù)的是填上所有正確的序號(hào)．【答案】③⑤【分析】逐個(gè)判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則是否相同即可．【詳解】對(duì)于①，定義域?yàn)椋x域?yàn)?，所以定義不相同，所以不是相等的函數(shù)；對(duì)于②，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，因?yàn)閮珊瘮?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，所以兩函數(shù)不是相等的函數(shù)，對(duì)于③，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以定義域相同，因?yàn)?，所以這兩函數(shù)是相等的函數(shù)，對(duì)于④，兩函數(shù)的定義域均為，因?yàn)?，所以兩函?shù)不是相等的函數(shù)，對(duì)于⑤，汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系與一次函數(shù)是相同的函數(shù)，所以表示相等函數(shù)的是③⑤，故答案為：③⑤．28．下列各對(duì)函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是(填序號(hào))．①與；②與；③與；④與.【答案】②④【分析】根據(jù)函數(shù)定義的三要素即可判斷.【詳解】①函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一個(gè)函數(shù)；②與的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)；③與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一個(gè)函數(shù)；④與的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)．故答案為：②④考點(diǎn)05求自變量或函數(shù)值29．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】將代入求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故選：B30．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法求解即可；【詳解】令，解得或由此解得，故選：D31．已知，且，則a的值為．【答案】【分析】由列式求解即可.【詳解】∵，且，∴，解得.故答案為：.32．設(shè)函數(shù)，若，則＝．【答案】2【分析】由得到關(guān)于的方程，用因式分解法求解.【詳解】令，整理得.因?yàn)榈呐袆e式，則無(wú)實(shí)根，所以.故答案為：2.33．求下列函數(shù)的函數(shù)值：(1)已知，求；(2)已知求，；(3)已知，，求，．【答案】(1)(2)；(3)；【分析】（1）先求出，再求出；（2）根據(jù)自變量范圍代入即可；（3）先求出，即可求出，同理可得.【詳解】（1），，；（2），，，，；（3），，，.34．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)和，計(jì)算下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)12；(2)1；(3)3.【分析】（1）（2）（3）利用給定的函數(shù)式，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）函數(shù)，，所以（2）函數(shù)，，所以（3）函數(shù)，則，，所以．35．設(shè)，，若，求的值．【答案】或【分析】將代入等式即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，即，解得：或.考點(diǎn)06求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域36．（多選）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A．， B．C．， D．【答案】AC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C，利用基本不等式計(jì)算D.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)，在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以，故A正確；對(duì)于B：由，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)，在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC37．設(shè)集合，，則.【答案】【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：38．求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由可推導(dǎo)得到函數(shù)值域；（2）將的取值代入解析式即可求得結(jié)果；（3）采用分離常數(shù)法可求得函數(shù)值域；（4）采用換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的值域求解問(wèn)題.【詳解】（1），，即，的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，的值域?yàn)?（3），，，的值域?yàn)?（4）令，則且，，則當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?39．求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)（）；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】分別利用直接法，分離常數(shù)法，基本不等式法，換元法求解函數(shù)的值域.【詳解】（1）∵，∴,∴的值域?yàn)?（2），顯然,所以,故函數(shù)的值域?yàn)?（3）由,知.則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取“”．∴（）的最小值為8.故函數(shù)（）的值域?yàn)?（4）設(shè),則,且,所以，由,結(jié)合函數(shù)的圖象得原函數(shù)的值域?yàn)?40．求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)且(4)【分析】（1）由，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可求解；（3）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（4）令，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）解：由，可得其對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，則，即，所以函數(shù)的值域?yàn)榍?（4）解：令，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?41．求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)．【分析】（1）可由觀察法求解；（2）函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像求解；（3）函數(shù)是一個(gè)分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個(gè)常數(shù)加一個(gè)分式，或用表示出，由求解；（4）利用變量的代換，即換元法求值域；（5）通過(guò)變形，利用基本不等式求最值；（6）通過(guò)變形，利用基本不等式求最值；（7）通過(guò)變形利用判別式法求解．【詳解】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（分離常數(shù)法）

，因?yàn)?，所以，所以故函?shù)的值域?yàn)椋?）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?）由知，整理得．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，即．故所求函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查求函數(shù)得值域，常見(jiàn)的方法有：（1）觀察法，對(duì)解析式簡(jiǎn)單變形觀察，利用熟知的初等函數(shù)的值域，求解；（2）配方法，函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像或單調(diào)性求解；（3）分離常數(shù)法，反解法，函數(shù)是一個(gè)分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個(gè)常數(shù)加一個(gè)分式，或用表示出，求解；（4）換元法，通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而求值域；（5）通過(guò)對(duì)解析式變形，利用基本不等式求最值；（6）通過(guò)對(duì)解析式變形，將看成自變量，看成常數(shù)，關(guān)于的方程有解，利用判別式法求解．42．試求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)，(2)(3)(4)【答案】(1)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?(2)定義域?yàn)?，值域?yàn)?3)定義域?yàn)椋涤?(4)定義域是，值域.【分析】（1）定義域已知，代入計(jì)算得到值域.（2）變換，得到答案.（3）確定定義域，變換，得到值域.（4）設(shè)，，計(jì)算得到定義域和值域.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（4）要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設(shè)，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?考點(diǎn)07求抽象函數(shù)的定義域43．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用抽象函數(shù)的定義域的求解方法可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，解得，即的定義域?yàn)?故選：A44．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合抽象函數(shù)的定義域求解作答.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋矗?，因此由函?shù)有意義，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D45．函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零指數(shù)冪底數(shù)不為零以及抽象函數(shù)的定義域的求解方法得到結(jié)果.【詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)，則且解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.46．（多選）已知函數(shù)的定義域和值域均為，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域列不等式求解判斷AB；求出抽象函數(shù)的值域判斷CD.【詳解】函數(shù)中的x需滿足，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；函數(shù)中的x需滿足解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蔅正確；函數(shù)和的值域都為，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．47．若的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥拷Y(jié)合抽象函數(shù)定義域的求法可得答案.【詳解】由已知可得，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：,48．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)求定義域的方法和的解析式求定義域即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以函?shù)中，解得，因?yàn)椋?，即，綜上可得，的定義域?yàn)?故答案為：.49．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域．【答案】【分析】抽象函數(shù)定義域求解注意兩點(diǎn)，一是定義域?yàn)榈娜≈捣秶?，二是同一個(gè)函數(shù)符號(hào)下，括號(hào)內(nèi)的取值范圍一致.【詳解】由題意得，解得，故的定義域?yàn)?考點(diǎn)08根據(jù)函數(shù)的值域求定義域50．若函數(shù)的值域是，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論解不等式即可.【詳解】由函數(shù)的值域是，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海蔬x：D51．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”.那么函數(shù)解析式為f(x)＝x2，值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義確定．，只要在定義域中，中至少有一個(gè)，中至少有一個(gè)即可．【詳解】值域?yàn)閧1,4}，∴其定義域由1，－1，2，－2組成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9種情況.故選：C．52．（多選）若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，以及值域，結(jié)合其函數(shù)特點(diǎn)，即可容易求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域?yàn)?，滿足題意的選項(xiàng)是：BC.故選：BC.53．（多選）定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，則區(qū)間長(zhǎng)度可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】作出函數(shù)的圖象，求出的最大值和最小值，即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，若，即，解得或；當(dāng)時(shí)，若，即，解得或，此時(shí).所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長(zhǎng)度取最小值；當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長(zhǎng)度取最大值.所以，區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍是.故選：BC.54．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)題意，列出不等式求解，即可得到結(jié)果.【詳解】由函數(shù)的值域?yàn)?，可知，解得，因此函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：55．為不超過(guò)的最大整數(shù)，若函數(shù)，，的值域?yàn)?，則的最大值為．【答案】4【分析】根據(jù)的定義，函數(shù)的定義域和值域分析求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，的值域?yàn)?，所以最大取?，最小取到，所以的最大值為，故答案為：4基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在圖中的三個(gè)圖形中，是函數(shù)圖象的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2） D．（3）【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)定義結(jié)合圖象的特點(diǎn)即可判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)對(duì)應(yīng)唯一的，這樣的圖象才是函數(shù)圖象，所以（2）（3）是函數(shù)圖象.故選：B2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）集合可用區(qū)間表示為A． B． C． D．【答案】A【分析】集合中的取值范圍為為開(kāi)區(qū)間，故使用圓括號(hào)．【詳解】由題得，用開(kāi)區(qū)間表示為，故選A．【點(diǎn)睛】用區(qū)間表示時(shí)，端點(diǎn)值不能取則用圓括號(hào)表示，能取得則用方括號(hào)表示．3．（2023秋·山東煙臺(tái)·高一萊陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)，分母不為零進(jìn)行求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則解得，且，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C4．（2022秋·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出的定義域，再可求出的定義域【詳解】由，得，所以的定義域?yàn)?，由，得，所以的定義域?yàn)?，故選：D5．（2023秋·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列各組函數(shù)不是同一函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同是同一個(gè)函數(shù)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，，，所以與不是同一函數(shù)；對(duì)于B，，，，所以與不是同一函數(shù)；對(duì)于C，，，，，所以與是同一函數(shù)；對(duì)于D，，，，，所以與不是同一函數(shù).故選：ABD.6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）函數(shù)的最大值與最小值分別為M和m，則的值為．【答案】2【分析】先求出函數(shù)的定義域，從而求出的取值范圍，從而求出，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】依題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，即，則，所以，所以，，即．故答案為：2．7．（2022秋·福建·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的值域是，則其定義域可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.【詳解】函數(shù)，當(dāng)定義域是時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故其值域?yàn)?，不合題意；當(dāng)定義域是時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故其值域?yàn)?，符合題意；當(dāng)定義域是時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故其值域?yàn)椋项}意；當(dāng)定義域是時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故其值域?yàn)?，不合題意.故選：BC.8．（2023秋·河南南陽(yáng)·高一河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】,,【分析】將原函數(shù)變成，因?yàn)?，所以，這樣就求得了函數(shù)的值域；【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,∵；又，；函數(shù)的值域?yàn)?,.故答案為：,,.9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用抽象函數(shù)的定義域可得出關(guān)于的不等式組，即可求得函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)，則有，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：10．（2020·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知(1)求和；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1)，，.(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，代入即可求解；（2）解法1：由，得到，函數(shù)的值域；解法2：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為應(yīng)該有解，結(jié)合，即可求得函數(shù)的值域．【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，，.（2）解法1：因?yàn)?，可得恒成立，可得，所以，即函?shù)的值域?yàn)?解法2：假設(shè)是所求值域中的元素，則關(guān)于的方程應(yīng)該有解，即應(yīng)該有解，從而，即，解得，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)分別求,,的值；(2)若，求a的值.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由分段函數(shù)解析式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由分段函數(shù)解析式，分別討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）當(dāng)時(shí)，由，可得，則（舍），當(dāng)時(shí)，由，可得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，由，可得，則（舍），綜上，.12．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）采用分離常數(shù)法可知即可得其值域?yàn)?；?）利用換元法，將原函數(shù)表示為，根