四川省綿陽市三臺縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

三臺縣2024年春高二半期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)一、單選題；本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求解．【詳解】對A,,故A錯誤；對B,,故B正確；對C,,故C錯誤；對D,,故D錯誤.故選：B2.數(shù)列中，，，則（）A.230 B.210 C.190 D.170【答案】D【解析】【分析】借助等差數(shù)列的定義及相關(guān)公式計算即可.【詳解】由題知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.故選:D.3.若上的可導(dǎo)函數(shù)在處滿足，則（）A.6 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)定義即可求解.【詳解】因為，所以，故選：A.4.在數(shù)列中，若，，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期，從而可求的值.【詳解】因為，，故，，，故為周期數(shù)列且周期為3，而，故，故選：C.5.定義數(shù)列的公共項組成的新數(shù)列為,則數(shù)列的第101項為（）A.2025 B.2021 C.2017 D.2013【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的通項公式為，可得數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，所以它們的公共項組成的新數(shù)列的公差為，再兩個數(shù)列的第1個公共項為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則第101項為.故選：D.6.已知函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，有恒成立，參變分離求在區(qū)間上最大值，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】解：因為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，并且在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，則，即恒成立，，因在上最大值為，所以.故選：.7.長征五號B運載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運載火箭，是中國近地軌道運載能力最大的新一代運載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個半罩組成，某學(xué)校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為，則該模型的體積最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出圓錐的高，由圓錐與圓柱的體積公式列式，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最值，【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓柱的高為，底面圓半徑為，則該模型的體積，令，則，由得，當(dāng)時，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故選：C8.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)判斷的奇偶性與單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.【詳解】因為的定義域為，又，所以是偶函數(shù)，又，令，則恒成立，所以當(dāng)時，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，所以，所以.故選：B.二、多選題：共4小題，每題5分，共20分，每個題目有兩個或兩個以上選項符合，錯選不得分，少選得2分9.已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”.則下列函數(shù)中有“巧值點”的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合“巧值點”的定義，逐個求解是否有解即可．【詳解】對于A，，令，得或，有“巧值點”，故A正確；對于B，，令，無解，無“巧值點”．故B錯誤；對于C，，令，作出與的圖象，如圖，結(jié)合，的圖象，知方程有解，有“巧值點”,故C正確對于D，,令，則，得，故D正確.故選：ACD．10.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得，從而判斷AB；利用作差法，結(jié)合遞推關(guān)系可得，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項公式，從而判斷CD.【詳解】對于AB，因為數(shù)列滿足，，所以當(dāng)時，，此時，故A正確，B錯誤；對于CD，當(dāng)時，，兩式相減，得，整理得，又，，即當(dāng)時，不滿足上式，所以是從第二項起首項為的常數(shù)列，故當(dāng)時，，則，綜上，，故C錯誤，D正確.故選：AD．11.設(shè)定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知函數(shù)的圖象（如圖）與軸的交點分別為.則下列選項正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C.是函數(shù)的極小值點D.是函數(shù)的極小值點【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)分析在某一區(qū)間上的正負(fù)，從而判斷在該區(qū)間上的單調(diào)性，再逐項判斷即可.【詳解】由函數(shù)和圖象可知，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增.所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點.所以A錯誤，B正確；C錯誤，D正確.故選：BD.12.如圖，等邊的邊長為，取等邊各邊的中點，作第2個等邊，然后再取等邊各邊的中點，作第3個等邊，依此方法一直繼續(xù)下去.設(shè)等邊的面積為，后繼各等邊三角形的面積依次為，則下列選項正確的是（）A.B.是和的等比中項C.從等邊開始，連續(xù)5個等邊三角形的面積之和為D.如果這個作圖過程一直繼續(xù)下去，那么所有這些等邊三角形的面積之和將趨近于【答案】ACD【解析】【分析】利用邊長關(guān)系，得到，即可得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可判斷A、B，然后利用等比數(shù)列求和公式判斷C、D.【詳解】設(shè)三角形的邊長為數(shù)列，由題意知，三角形的邊長是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，根據(jù)三角形面積公式，，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，令，，選項A正確；，則，，兩邊取對數(shù),，，，，選項B錯誤；根據(jù)等比數(shù)列求和公式，，選項C正確；，當(dāng)趨向于無窮大時，趨向于0，面積和將趨近于，選項D正確；故選：ACD三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把答案直接填答題卷的橫線上.13.數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的通項公式為______.【答案】【解析】【分析】由可求得數(shù)列的通項公式.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.不滿足.所以，.故答案為：.14.已知函數(shù)，若時，取得極值0，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，列方程組可求出，然后再檢驗時，函數(shù)是否能取得極值，即可得答案【詳解】由，得，因為時，取得極值0，所以，，解得或，當(dāng)時，，此時函數(shù)在在處取不到極值，經(jīng)檢驗時，函數(shù)在處取得極值，所以，所以.故答案為：1815.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則的值是___________.【答案】32【解析】【分析】根據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】由是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則可得，故，所以，故答案為：32.16.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】直接求導(dǎo)得，再設(shè)新函數(shù)，首先討論的情況，當(dāng)時，求出導(dǎo)函數(shù)的極值點，則由題轉(zhuǎn)化為，解出即可.【詳解】，，令,函數(shù)有兩個極值點,則在區(qū)間上有兩個實數(shù)根.當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個實數(shù)根,應(yīng)舍去.當(dāng)時,令,解得.令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞增;令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時,函數(shù)取得極大值.當(dāng)趨近于0與趨近于時,,要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根,只需,解得.故答案為：.四、解答題：本大題共6個小題，其中第17題10分，其余每小題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項，（1）求數(shù)列{an}的首項，公差；（2）求數(shù)列{an}的前n項和.【答案】（1）a1=4，d=0或a1=1，d=3；（2）前n項和為Sn=4n或.【解析】【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得，然后結(jié)合用基本量法求解．【詳解】（1）由題意，又，∴，解得，∴（2），直接利用等差數(shù)列求和公式得，．【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵就是利用等差數(shù)列的通項和求和公式進(jìn)行求解18.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)切線的方程可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可比較端點值以及極值點處的函數(shù)值得最值.【小問1詳解】，，所以，解得，【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)，令，解得或，故在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，由于，，所以19.已知數(shù)列，______．在①數(shù)列的前項和為，；②數(shù)列的前項之積為這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選______”）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）選①，當(dāng)時，,當(dāng)時，，求出通項公式；選②，當(dāng)時，，當(dāng)時，求出通項公式；（2）由，求出，利用裂項相消，求出，進(jìn)而得到結(jié)論.【小問1詳解】選①，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，①②①②得：，即，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以．選②，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，符合上式，所以．【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以．20.某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因為企業(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進(jìn)行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．（1）設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為萬元；進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元，求和；（2）設(shè)從2024年起第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元，依上述預(yù)測，從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？【答案】（1）（2）4【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式求和；(2)是數(shù)列前項和，是數(shù)列的前項和減去600，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式求出即可；作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得是等差數(shù)列，，所以，由題意得，所以，所以是首項為250，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】是數(shù)列的前項和，所以，是數(shù)列的前項和減去600，所以，，又當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且時，時，所以至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上存2個零點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）討論當(dāng)時，方程變形為，設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與有2個交點，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，且.當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】若，在上無零點，不合題意；若，由，得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，又，所以要使直線與的圖象有兩個交點，則，所以，即實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）設(shè)，若對且，都有，求