新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第32講 計數(shù)原理（解析版）

第32講計數(shù)原理學(xué)校____________姓名____________班級____________知識梳理基本計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列組合并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示.(2)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有組合的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)二項式定理1.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞減的二項式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值3.各二項式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.考點和典型例題1、基本計數(shù)原理【典例1-1】（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）甲乙丙丁四個同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（

）種.A．24 B．96 C．174 D．175【答案】D【詳解】若4人均去茶經(jīng)樓，則有1種參觀方式，若有3人去茶經(jīng)樓，則從4人中選擇3人，另1人從另外3處景點選擇一處，有SKIPIF1<0種參觀方式；若有2人去茶經(jīng)樓，則從4人中選擇2人，另外2人從另外3處景點任意選擇一處，有SKIPIF1<0種參觀方式；若有1人去茶經(jīng)樓，則從4人中選擇1人，另外3人從另外的3處景點任意選擇一處，有SKIPIF1<0種參觀方式，綜上：共有SKIPIF1<0種參觀方式.故選：D【典例1-2】（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一?二?三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

）A．72 B．144 C．48 D．36【答案】A【詳解】先將選擇性必修有一?二?三這三本書排成一排，有SKIPIF1<0種方法，再將必修一?必修二這兩本書插入兩個空隙中，有SKIPIF1<0種方法，所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是：SKIPIF1<0.故選：A.【典例1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））2010年世界杯足球賽預(yù)計共有24個球隊參加比賽，第一輪分成6個組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每兩個隊都要比賽），決出每個組的一、二名，然后又在剩下的12個隊中按積分取4個隊（不比賽），共計16個隊進(jìn)行淘汰賽來確定冠亞軍，則一共需比賽（

）場次．A．53 B．52 C．51 D．50【答案】C【詳解】第一輪分成6個組進(jìn)行單循環(huán)賽共需要SKIPIF1<0場比賽，淘汰賽有如下情況：16進(jìn)8需要8場比賽，8進(jìn)4需要4場比賽，4進(jìn)2需要2場比賽，確定冠亞軍需要1場比賽，共需要SKIPIF1<0場比賽故選：C．【典例1-4】（2022·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））某醫(yī)院從7名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師），6名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中選派4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生支援抗疫工作，若要求選派的醫(yī)生中有主任醫(yī)師，則不同的選派方案數(shù)為（

）A．350 B．500 C．550 D．700【答案】C【詳解】所選醫(yī)生中只有一名男主任醫(yī)師的選法有SKIPIF1<0，所選醫(yī)生中只有一名女主任醫(yī)師的選法有SKIPIF1<0，所選醫(yī)生中有一名女主任醫(yī)師和一名男主任醫(yī)師的選法有SKIPIF1<0，故所選醫(yī)師中有主任醫(yī)師的選派方法共有SKIPIF1<0種，故選：C【典例1-5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國古代SKIPIF1<0種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等SKIPIF1<0種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有（

）種.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】分以下兩種情況討論：①若甲只收集一種算法，則甲有SKIPIF1<0種選擇，將其余SKIPIF1<0種算法分為SKIPIF1<0組，再分配給乙、丙、丁三人，此時，不同的收集方案種數(shù)為SKIPIF1<0種；②若甲收集兩種算法，則甲可在運(yùn)籌算、成數(shù)算和把頭算SKIPIF1<0種算法中選擇SKIPIF1<0種，其余SKIPIF1<0種算法分配給乙、丙、丁三人，此時，不同的收集方案種數(shù)為SKIPIF1<0種.綜上所述，不同的收集方案種數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：C.2、排列與組合【典例2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有SKIPIF1<0種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：SKIPIF1<0種不同的排列方式，故選：B【典例2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市3所高校的校長計劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．64種 C．72種 D．80種【答案】A【詳解】解：3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：SKIPIF1<0種又每家企業(yè)至少接待1名校長，故3名校長選的3家企業(yè)，不全相同，因為3名校長選的3家企業(yè)完全相同有SKIPIF1<0種，則不同的安排方法共有：SKIPIF1<0種.故選：A.【典例2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校在高一開展了選課走班的活動，已知該校提供了3門選修課供學(xué)生選擇，現(xiàn)有5名同學(xué)參加選課走班的活動，要求這5名同學(xué)每人選修一門課程且每門課程都有人選，則5名同學(xué)選課的種數(shù)為（

）A．150 B．180 C．240 D．540【答案】A【詳解】先把5名同學(xué)分為3組：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），再把這3組同學(xué)分配給3門選修課即可解決.則5名同學(xué)選課的種數(shù)為SKIPIF1<0（種）故選：A【典例2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝.若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的安排方案有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【詳解】由題意可知：應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組.先將小李?小明之外的三人分為兩組，有SKIPIF1<0種分法，再將小李?小明分進(jìn)兩組，有SKIPIF1<0種分法，最后將兩組分配安裝兩個吉祥物，有SKIPIF1<0種分法，所以共計有SKIPIF1<0種.故選：B【典例2-5】（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））貴陽一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強(qiáng)中有4個種子選手，將這12人平均分成3個組（每組4個人）、則4個種子選手恰好被分在同一組的分法有（

）A．21 B．42 C．35 D．70【答案】C【詳解】4個種子選手分在同一組，即剩下的8人平均分成2組，方法有SKIPIF1<0種，故選:C．3、二項式定理【典例3-1】（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））SKIPIF1<0的展開式中各二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．SKIPIF1<0540 B．135 C．18 D．1215【答案】B【詳解】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展開式的通項SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以展開式中的常數(shù)項為SKIPIF1<0．故選：B．【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0按SKIPIF1<0降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第SKIPIF1<0項和第SKIPIF1<0項 B．第SKIPIF1<0項C．第SKIPIF1<0項和第SKIPIF1<0項 D．第SKIPIF1<0項【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0的展開式通項為SKIPIF1<0，其中第SKIPIF1<0項和第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)最大，但第SKIPIF1<0項的系數(shù)為正，第SKIPIF1<0項的系數(shù)為負(fù)，故SKIPIF1<0按SKIPIF1<0降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是第SKIPIF1<0項.故選：B.【典例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0的展開式中，某一項的系數(shù)為7，則展開式中第三項的系數(shù)是（

）A．7 B．21 C．35 D．21或35【答案】B【詳解】解：由題意，展開式的通項為SKIPIF1<0，所以某一項的系數(shù)為7，即SKIPIF1<0，解得n＝7，r＝1或n＝7，r＝6，所以展開式中第三項的系數(shù)是SKIPIF1<0．故選：B．【典例3-4】