安徽省六安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

PAGE17-安徽省六安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，再依次推斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，，所?對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，，即，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，即，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，，即，故D錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，則滿意條件的三角形有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】利用與的大小關(guān)系推斷，若，則有兩解；若，則有一解；若，則有一解，若時(shí)無(wú)解.【詳解】如圖所示，因?yàn)椋杂袃山?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)潔題.一般地，當(dāng)已知兩邊、及角解三角形時(shí)，依據(jù)與的大小關(guān)系推斷解的狀況.3.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得.結(jié)合余弦定理，可求角.【詳解】，且，，整理得.又..故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示和余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先算出和的坐標(biāo)，然后即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以向量在向量方向上的投影為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)形式下向量的相關(guān)計(jì)算，較簡(jiǎn)潔.5.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B.6 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可得，再依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可得答案；【詳解】，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則是（）A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，再利用正弦定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得，從而可得正確選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?，故即，由正弦定理可得，故，整理得?因?yàn)?，故，從而，而，?故為直角三角形.故選：A．【點(diǎn)睛】在解三角形中，假如題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.化簡(jiǎn)中留意三角變換公式的合理運(yùn)用．7.已知的重心為，且，，，則（）A. B. C. D.16【答案】B【解析】【分析】作出AC邊上的中線BD，依據(jù)重心的性質(zhì)及三角形法則將、用基向量、表示，從而將轉(zhuǎn)化為三角形邊長(zhǎng)之間的計(jì)算.【詳解】設(shè)BC邊上的中線為D，因?yàn)镺為的重心，所以，又因?yàn)?，，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量基本定理及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，，…，中最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，進(jìn)而可以推出，，，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，得到；由，得到，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，,,當(dāng)時(shí)，，且最大，最小，所以最大；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，且，，所以，綜上所述，，，…，中最大的是.故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的函數(shù)特性，嫻熟駕馭等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9.若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】原不等式在內(nèi)有解等價(jià)于在內(nèi)有解，等價(jià)于，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】原不等式在內(nèi)有解等價(jià)于在內(nèi)有解，設(shè)函數(shù)，所以原問(wèn)題等價(jià)于又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想和等價(jià)化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則（）A.315 B.155 C.120 D.80【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，依據(jù)得到，再將化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由題知：，又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，同時(shí)考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.11.已知的面積為4，為直角頂點(diǎn)，設(shè)向量，，，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先，以為原點(diǎn)，，分別為，軸建系，，，依據(jù)的面積為得到，再利用基本不等式求的最大值即可.【詳解】由題知，以為原點(diǎn)，，分別為，軸建系，設(shè)，，且，，則.，，.則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)行，同時(shí)考查了基本不等式，屬于中檔題.12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，則數(shù)列的前200項(xiàng)和為（）A. B.0 C.200 D.10000【答案】A【解析】【分析】利用分組求和法及等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】記數(shù)列的前200項(xiàng)和為，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和公式、分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置上．13.若向量，滿意，，，則________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)得到，再利用該式計(jì)算可得所求的模.【詳解】因?yàn)?，故，所以，又，?故答案為：.【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積有兩個(gè)應(yīng)用：（1）計(jì)算長(zhǎng)度或模長(zhǎng)，通過(guò)用；（2）計(jì)算角，.特殊地，兩個(gè)非零向量垂直的等價(jià)條件是.14.若關(guān)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】首先設(shè)，依據(jù)題意列出不等式組，再解不等式組即可.【詳解】設(shè)，由題知：，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要方程的根所在區(qū)間問(wèn)題，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)潔題.15.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則使得成立的最大正整數(shù)的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式寫(xiě)出相應(yīng)等式，進(jìn)而化簡(jiǎn)求得，由可知，，可得出.進(jìn)而得出結(jié)論即可.【詳解】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，即.，.由可知，，即則，.滿意即成立的最大正整數(shù)的值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，考查分析實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】3【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，對(duì)其化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可求出的最大值.【詳解】由，可得，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)取得最大值9.所以的最大值為3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，利用三角函數(shù)求最值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．解答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．17.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，，依次成等比數(shù)列，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用兩角差的余弦公式進(jìn)一步化簡(jiǎn)可求得，從而求得角B；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用正弦定理進(jìn)行邊化角，帶入通分后的式子即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，又中，，故，即，化簡(jiǎn)得，又，所以角的大小為．（2）由，，依次成等比數(shù)列得，由正弦定理得，故．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、兩角差余弦公式，屬于中檔題.18.設(shè)函數(shù)．（1）若對(duì)隨意的，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）本題首先可以依據(jù)題意得出對(duì)隨意的成立，然后令，明顯不滿意題意，解除，最終令，通過(guò)對(duì)進(jìn)行求解即可得出結(jié)果；（2）本題首先可將轉(zhuǎn)化為，然后分為、、三種狀況依次進(jìn)行探討，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，對(duì)隨意的成立，即對(duì)隨意的成立，①當(dāng)時(shí)，，明顯不符合題意；②當(dāng)時(shí)，只需，即，化簡(jiǎn)得，解得，綜上所述，.（2）由得，即，①當(dāng)時(shí)，，解集為；②當(dāng)時(shí)，，解集為；③當(dāng)時(shí)，，解集為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式恒成立的求法以及解含參數(shù)的一元二次不等式，可借助判別式以及因式分解進(jìn)行求解，考查計(jì)算實(shí)力，考查分類探討思想，是中檔題.19.已知數(shù)列中，，．（1）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，計(jì)算可得，依據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得出結(jié)論成立；進(jìn)而可求出的表達(dá)式，從而得出的通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）將的兩邊同時(shí)除以，可得，即，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．所以，則．（2），①則，②①②相減得：，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系證明等差數(shù)列，考查求數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和問(wèn)題，熟記等差數(shù)列概念、通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.20.△內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．（1）求的值；（2）若，求△的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意，可得，進(jìn)而可得，從而可求出角，結(jié)合，可得出答案；（2）由余弦定理得，整理得，結(jié)合，可求出，再結(jié)合可求出答案．【詳解】（1）由，得，所以，即，因?yàn)?，所以，所?（2）由余弦定理得，即，又，故，解得，故△的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查三角形的面積，考查學(xué)生的計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的最小正整數(shù)．【答案】（1），；；（2）8．【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)中的和式可求，從而得到，再依據(jù)可求通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)相消法可求，從而通過(guò)解不等式可得最小正整數(shù).【詳解】解：（1）∵，①∴，，②①②兩式相減得，，故，，又，從而，.易得．（2）由（1）得，故．由得，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故所求最小正整數(shù)為8．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)與求和，數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系式，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；假如通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；假如通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.22.已知數(shù)列中，，且當(dāng)，時(shí)滿意．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)隨意的，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推公式利用累乘法求通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列