天津高考真題導(dǎo)數(shù)部分

1.設(shè)。＞0,/(%)=。/+兒；+。，曲線y=/0)在點(diǎn)「(/，/(3))處切處的傾斜角的取值

TT

范圍為[0,上],則P到曲線y=/(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為()

4

A.[0,-]B.[0,-!-]C.D.[0,1^1]

a2a2a2a

計(jì)算題

1.(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)/(X)=xsinx(xG/?).

(I)證明f(%+2版■)―/(尤)=2iUsinx,其中k為整數(shù);

4

(II)設(shè)/為/(X)的?個(gè)極值點(diǎn)，證明"(%)]2r；

1+%

(HI)設(shè)/(x)在(0,+8)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列q…%…，證明

2.(本小題滿分12分)

設(shè)a＞0,求函數(shù)/(x)=?—In(x+a)(xe(0,+oo)的單調(diào)區(qū)間.

3.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=ax3+bx1-3%在工=±1處取得極值。

(1)討論/⑴和/(-I)是函數(shù)/(x)的極大值還是極小值；

(2)過點(diǎn)A(0,16)作曲線y=/(x)的切線，求此切線方程。

4.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=41-3廠cos9+而cos。，其中xeR,。為參數(shù)，且04。＜2萬。

(1)當(dāng)cos。=0時(shí)，判斷函數(shù)/(x)是否有極值；

(2)要使函數(shù)/(x)的極小值大于零，求參數(shù)6的取值范圍；

(3)若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)6,函數(shù)/(x)在區(qū)間(2a-1,a)內(nèi)都是

增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

5.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=2"：,+l(xeR),其中aeR.

r+1

(D當(dāng)”=1時(shí)，求曲線y=/(X)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程；

(H)當(dāng)awO時(shí).，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

6.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(X)=X+@+0(XK0),其中

x

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)尸(2，/(2))處的切線方程為y=3x+l，求函數(shù)/(x)的解析式;

(II)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(III)若對(duì)于任意的ae1,2,不等式/(x”10在上恒成立，求匕的取值范圍.

7(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=(x2+ax-2a2+3a)e'(xwR),其中awR

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線的斜率；

2

(2)當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

8.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=xc-'(xwR)

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，證明當(dāng)

x>l時(shí),/(x)>g(x)

(III)如果X]N,且/(xj=/(彳2),證明玉+苫2>2

答案：

IB

8.)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分

(I)解：廣(x)=(l—x)e-*

令f'(x)=0,解得x=l

當(dāng)x變化時(shí)，*(x),f(x)的變化情況如下表

X(-00,1)1(1,+00)

f'(X)+0-

f(X)極大值

所以f(x)在(-8,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+8)內(nèi)是減函數(shù)。

函數(shù)f(X)在X=1處取得極大值f(l)且f(1)=1

e

(II)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)-xe~x+(x—2)ex-2

于是尸(x)=(x—1)022—i)e-x

當(dāng)x>l時(shí)，2x-2>0,從而e2x-2—l>0,又e-，>0,所以F'(x)>0,從而函數(shù)F(x)在[1,+

8)是增函數(shù)。

又F(l)=e-'—e」=0,所以x>l時(shí)，有F(x)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

HI)證明：(1)

若(X[-1)。2-1)=0,由(I)及f(xj=f&2),則X]=%2=1.與七口彳2矛盾。

(2)若(七一1)(》2-1)〉0,由(I)及f(X)=f&2),得再=尤2與尤11尤2矛盾。

根據(jù)(1)(2)得(%—1)。2-1)<0,不妨設(shè)玉<1,々>1.

由(II)可知，f&2)>g(X2),則g(X2)=f(2-X2),所以f(X2)>f(2-X2),從而

f(xJ>f(2-X2).因?yàn)椋?〉1，所以2-/<1，又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,1)

內(nèi)事增函數(shù),所以石〉2-々，即為+馬＞2.

7.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。

(I)解:當(dāng)1=曲f(x)=x2ex,/'(x)=(x2+2x)ex,故/⑴=3e.

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線的斜率為3e.

(II)解：f\x)=\x2+(a+2)x-2a2+4a\;x.

2

=0,解得x=-2a,或x=a-2.由aw§知,一2aKa-2.

以下分兩種情況討論。

2

(1)若a＞],則一2。Va-2.當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),/(x)的變化情況如下表：

X(-oo,-2a)-2。(-2a,ci-2)(2—2(ci—2,+8)

+0一0+

/極大值極小值/

所以/1(外在(-00,-2"),(。-2,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(-2a,。-2)內(nèi)是減函數(shù).

函數(shù)/1(x)在x=-2a處取得極大值/X-2a),且/X-2a)=3ae-2a.

函數(shù)/'(x)在x=a-2處取得極小值/(a-2),l/(a-2)=(4-3a)e，

2

(2)若則一2。＞?！?,當(dāng)x變化時(shí)，f\x),/(x)的變化情況如下表:

X(-00,Q-2)a—2(a-2,-2a)-2〃(-2a,+oo)

+0—0+

/極大值極小值/

所以/(x)在(-8,a-2),(-2a,+00)內(nèi)是增函數(shù)，在(a-2,-2a)內(nèi)是減函數(shù)。

函數(shù)/1(x)在x=a-2處取得極大值/(a-2),H/(a-2)=(4-3a)efl-2.

函卻(x)在x=-2a處取得極小值/X-2a),且/(-2a)=3ae-2a.

6.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的兒何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.滿分12分.

(I)解：/(幻=1—二，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得尸(2)=3,于是。=—8.

X

由切點(diǎn)P(2J(2))在直線y=3x+l上可得—2+b=7,解得b=9.

Q

所以函數(shù)/(x)的解析式為f(x)=x——+9.

X

(H)解：/(x)=l-二.

X

當(dāng)。<0時(shí)，顯然/'(x)>0(xwO).這時(shí)/(尤)在(一8,0),(0,+8)上內(nèi)是增函數(shù).

當(dāng)。>0時(shí)，令/'(x)=0,解得x=±G,

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),/(x)的變化情況如下表：

X(-00,-4a)-y[a(0,歷品(收+8)

/(X)+0——0+

/(X)/極大值XX極小值/

所以/(外在(一8,-五)，(G,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(一6,0),(0,+8)內(nèi)是減函數(shù).

(III)解：由(H)知，/")在己,1]上的最大值為/d)與/⑴的較大者，對(duì)于任意的

44

11/?(!)<job<--4a

,2],不等式/(x)410在[—,1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)｛八4，即《一4，

24[/(1)<10[b<9-a

對(duì)任意的ae[L,2]成立.

2

77

從而得b〈乙，所以滿足條件的〃的取值范圍是(-泡勺.

44

2r4

5?【分析】(I)解：當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=Y-J(2)=?.又

x+15

2(x2+1)-2x.2x2-2/

f\x)=尸⑵二唉

(7+1)2(x2+1)2

46

所以，曲線y=/(x)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程為y—g=-石*一2),即

6x+25y-32=0.

-2(x-a)(ax+1)

⑴啾…罡廠")，+l)2

由于aNO,以下分兩種情況討論.

(1)當(dāng)。>0時(shí)，令/'(x)=0,得到*=—=。?當(dāng)》變化時(shí)，/(x)J(x)的變化情況

a

如下表：

(a,+oo)

Xa

a卜川

f\x)—0+0—

/W極小值極大值

所以/(X)在區(qū)間18,-：)，m+w)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(-：，4內(nèi)為增函數(shù).

函數(shù)/*)在為=一：處取得極小值且/

函數(shù)/(x)在％=。處取得極大值f(a),且/(a)=l.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)=0,得到不=一’.當(dāng)x變化時(shí)，/(x)J(x)的變化情況

a

如下表：

XS，a)aI*

f\x)—0+0—

極小極大

f(x)

值值

所以/(x)在區(qū)間(一8,。)J--,+00j內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(a,-，］內(nèi)為增函數(shù).

函數(shù)f(x)在&=a處取得極大值f(a),且f(a)=1.

函數(shù)/(%)在々處取得極小值f=-a2

a

4.(1)解：當(dāng)cos6=0時(shí)，/(x)=4x3,則在(一oo,+8)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值。

COWf/

(2)解：f'(x)=12x2-6xcos^,令/'(x)=0,得X|=0,X2='~'—

由(D,只需分下面兩種情況討論

①當(dāng)cos?！?時(shí)，隨x的變化，/'(X)的符號(hào)及/(x)的變化情況如下表:

叫。)cos6,cos?、

XS,0)02,+00)

2

f'M+0一0+

fM/極大值極小值/

Ecos6*?,.n-COS^.?.COS^.13?3c

因此，函數(shù)/(%)在工=-----處取n得ZB+極T小值/r(/-----)且/r(-----)=——cos-e+—cos6

222416

要使〃￡2￡，)>0,必有—_Lcos3(cos2e—3)>0,可得0<cos6(包

2442

，十c/c/c..7T八7T“37t八117T

由于04642萬，故一<。(一或一<0<——

6226

②當(dāng)cos6<0時(shí)，隨x的變化，/'(X)的符號(hào)及/(x)的變化情況如下表:

/cos。、cos。(嚶。)

X8，20(0,+oo)

2

/'(X)+0——0+

/(X)/極大值極小值/

3

因此，函數(shù)/3)在x=0處取得極小值/(0),且/(0)=—cos，

16

若/(0)>0,貝ijcos6>0,矛盾，所以當(dāng)cos。<0時(shí)，的極小值不會(huì)大于零

綜上，要使函數(shù)/(x)在(-8,+8)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)6的取值范圍為

,n兀、,3〃11萬、

■5)5萬，了)

cosf)

(3)解：由(2)知，函數(shù)/(x)在區(qū)間(—8,0)與(上黃,+8)內(nèi)都是增函數(shù)

由題設(shè)，函數(shù)/(x)在(2a-l,a)內(nèi)是增函數(shù)，則。須滿足不等式組

2a-\<a

2a—1<a

或1

?<02a—12—cos0

2

由(2),參數(shù)Gw(2二)5%，止)時(shí)，0<cose<@,要使不等式

62262

2a—121cose關(guān)于參數(shù)夕恒成立，必有2。-12蟲，即蟲[84。

248

綜上，解得或好正4。<1,所以。的取值范圍是(-oo,0]u[=8,l)

88

3.本小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法,

以及分析和解決問題的能力。滿分12分。

(1)解：/(x)=3a/+2公—3,依題意，/⑴=/(-1)=0,即！

3a-2b-3=0.

解得。=1,b=0.

/(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1)。

令/'(x)=0，得x=-l,x=1?

若X€(-8,-1)U(1,+00),則/'(X)〉O,故/(x)在(-00,-1)上是增函數(shù)，

/(X)在(1,+8)上是增函數(shù)。

若xe(—l,1),則/(x)<0,故/(x)在(―1,1)上是減函數(shù)。

所以，/(-1)=2是極大值；/⑴=一2是極小值。

(2)解：曲線方程為y=/—3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上。

設(shè)切點(diǎn)為M(x(),y0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0=x；-3x0。

因廣。0)=3(其一1),故切線的方程為y—y0=3(x；—l)(x—x0)

注意到點(diǎn)A(0,16)在切線上，有16-(焉—3x0)=3(x；—1)(0—/)化簡(jiǎn)得焉=一8,

解得/=-2。

所以，切點(diǎn)為M(-2,-2),切線方程為9x—y+16=0。

2.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.

解：/v)=-L-(x>o).

x+a

當(dāng)a>0,x>0時(shí)f'(x)>0=x?+(2a-4)x+a2>0.

/,(x)<0?x2+(2a-4)x+?2<0

(i)當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0,有左2+(2a-4)+a2>0.

即/'(x)>0,此時(shí)/(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)xw1,有A：?+(2a—4)x+a?>o,

即尸(x)>0,此時(shí)/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)/(x)在x=i處連續(xù)，因此，

函數(shù)/(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增

(iii)當(dāng)0<a<1時(shí)，令/'(x)>0,即—+(2a—4)工+。2>0.

解得x<2—tz—2Jl-a,skx>2—a+2jl-a.

因此，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2-a-2j匚9)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2-a+2jl—a,+oo)

內(nèi)也單調(diào)遞增.

令/(x)<0,即—+(2a—4)%+a2<0,

解得2—a—2J1-a<x<2-a+2J1-a.

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2—a-2Jl-a,2—ci+2Jl-a)內(nèi)單調(diào)遞減.

1.本小題考查函數(shù)和函數(shù)的極值的基本概念和方法，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、同角三角函數(shù)、數(shù)形

結(jié)合等方法分析問題和綜合解題能力，滿分14分.

(I)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對(duì)任意整數(shù)衣，有

/(x+2k兀)-/(%)=(x+2A%)sin(x+2%萬)-xsinx

=（x+2%萬）sinx-xsinx

=2人乃sinx.

(II)證明：函數(shù)/(X)在定義域R上

更5JI