1.1集合的概念（第1課時集合的概念與幾種常見的數(shù)集）課件高一上學期數(shù)學人教A版

1.1

集合的概念第1課時集合的概念與幾種常見的數(shù)集第一章集合與常用邏輯用語人教A版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習單元1

集合

集合是數(shù)學的基礎,它能簡潔、準確地表述數(shù)學的研究對象,表達和交流數(shù)學問題.作為一個數(shù)學研究對象,同“數(shù)”的研究類似,遵循基本的研究路徑:定義→關系→運算(見右圖—集合知識結(jié)構(gòu)圖).這是本學習單元的知識明線.簡單說來,在掌握集合知識的同時,還要獲得如何研究一個數(shù)學對象的基本經(jīng)驗.

本學習單元的最終目標就是掌握集合語言的使用,分三個階段來進行:一是讀懂問題中的集合概念和符號;二是處理問題時,能根據(jù)需要運用集合語言進行表述;三是根據(jù)情境需求能進行三種語言(自然語言、圖形語言、符號語言)的轉(zhuǎn)換.這也正是本學習單元的素養(yǎng)暗線.

在掌握集合語言的過程中,逐漸熟悉集合的抽象性,積累數(shù)學抽象的經(jīng)驗,提升數(shù)學抽象素養(yǎng).學習目標1.通過實例,了解集合的含義.(數(shù)學抽象)2.掌握集合中元素的三個特性.(直觀想象)3.理解元素與集合的關系.(數(shù)學抽象)4.了解常用數(shù)集及其記法.(數(shù)學抽象)基礎落實·必備知識一遍過知識點一:元素與集合的概念一般地,我們把

統(tǒng)稱為元素,通常用小寫字母a,b,c,…表示.把一些元素組成的

叫做集合(簡稱為集),通常用大寫字母A,B,C,…表示集合.

遵循一般的約定

研究對象總體名師點睛集合的三個特性(1)描述性:“集合”是一個原始的不加定義的概念,它同平面幾何中的“點”“線”“面”等概念一樣,都只是描述性的說明.(2)整體性:集合是一個整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦組成了集合,這個集合就是這些對象的總體.(3)廣泛性:組成集合的對象可以是數(shù)、點、圖形、多項式、方程,也可以是人或物等.微思考你能舉例說出初中階段我們在代數(shù)方面學習過的集合嗎?提示

自然數(shù)集合,有理數(shù)集合,實數(shù)集合,方程解的集合,不等式解的集合.知識點二:集合中元素的特性1.集合中元素的三特性:

、

、

.

2.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是

的.

無順序之分

確定性互異性無序性相等名師點睛對集合中元素的特性的理解(1)確定性是集合的基本特征,沒有確定性就不能構(gòu)成集合.例如“課本中的難題”“聰明的孩子”,其中“難題”“聰明”因界定的標準模糊,故都不能組成集合.(2)互異性是判斷能否組成集合的另一標準,也是最容易被忽視的性質(zhì).例如:“組成good中的字母集合的元素是g,o,o,d”這句話是不對的,因為在這個單詞中,字母“o”雖然出現(xiàn)了兩次,但如果歸入集合中只能算作一個元素.根據(jù)互異性,正確的說法應為“單詞good中的字母組成集合的元素有3個,分別為g,o,d”.(3)無序性是指集合內(nèi)的元素是無序的.微思考按照集合的定義,能找出符合下面的條件的集合嗎?①某班比較胖的同學;②某班體重超過90

kg的同學.提示

①不能,因為“胖”沒有一個確定的標準;②能,因為“超過90

kg”是一個確定的標準.知識點三:元素與集合的關系

關系概念記法讀法屬于如果

中的元素,就說a屬于集合A

a屬于集合A不屬于如果

中的元素,就說a不屬于集合A

a不屬于集合Aa是集合Aa∈Aa不是集合Aa?A名師點睛

區(qū)別與聯(lián)系概念上的區(qū)別符號上的區(qū)別聯(lián)系概念元素研究對象小寫字母a,b,c,…a∈A或a?A集合一些對象組成的整體大寫字母A,B,C,…微思考(1)符號“∈”和“?”的寫法與以前學過的什么符號有類似性?

(2)如何準確理解符號“∈”和“?”?提示

與符號“=”和“≠”有類似性.提示

符號“∈”和“?”是表示元素與集合之間的關系,只能用于元素與集合之間,并且這兩個符號的左邊是元素,右邊是集合,具有方向性,左右兩邊不能互換.知識點四:常用數(shù)集及其記法

數(shù)集名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集字母表示

NN*或N+ZQR微思考(1)非負整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別?

(2)最小的自然數(shù)是什么?提示

非負整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.提示

由于自然數(shù)又稱為非負整數(shù),因此最小的自然數(shù)是0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一集合的概念問題1怎樣的對象全體可以構(gòu)成一個集合?【例1】

給出下列各組對象:①我們班中比較高的同學;②無限接近于0的數(shù)的全體;③比較小的正整數(shù)的全體;④平面上到點O的距離等于1的點的全體;⑤正三角形的全體;⑥

的近似值的全體.其中能夠構(gòu)成集合的有(

)A.1個

B.2個 C.3個

D.4個分析

判斷一組對象能否構(gòu)成集合,就看判斷標準是否明確.B解析

①②③⑥不能構(gòu)成集合,因為沒有明確的判斷標準;④⑤可以構(gòu)成集合,“平面上到點O的距離等于1的點”和“正三角形”都有明確的判斷標準.規(guī)律方法

判斷一組對象能否組成集合的關鍵是看該組對象是否具有明確的標準,使得對于任何一個對象,都能按此標準確定它是不是給定集合的元素.應特別注意,含有不確定的模棱兩可的對象,不是數(shù)學意義上的集合.本題中①②③⑥都含有范圍不確定的對象.變式訓練下列各組對象不能構(gòu)成集合的是(

)A.某教室內(nèi)的全部桌子B.2024年高考數(shù)學難題C.所有有理數(shù)D.小于π的正整數(shù)B解析

“某教室內(nèi)的全部桌子”屬于確定的概念,故能構(gòu)成集合;由于難題屬于不確定的概念,因此“2023年高考數(shù)學難題”不能構(gòu)成集合;由于任意給一個數(shù)都能判斷是否為有理數(shù),故能構(gòu)成集合;小于π的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選B.探究點二集合中元素的特性及其應用問題2集合中的元素除了確定性外,是否還有其他特性?【例2】

已知集合A含有3個元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析

由-3∈A,分兩種情況進行討論,注意根據(jù)集合中元素的互異性進行

檢驗.解因為-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-.當a=-1時,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不滿足元素的互異性,所以舍去a=-1.當a=-時,經(jīng)檢驗,符合題意.故a=-.問題3兩個集合相等,本質(zhì)上反映了集合的元素具備怎樣的特性?【例3】

設a,b∈R,集合A中含有1,a+b,a3個元素,集合B中含有0,,b3個元素.若集合A和集合B是相等的,則b-a=(

)A.2 B.-1 C.1 D.-2A解析

由已知,a≠0,故a+b=0,則

=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.規(guī)律方法

集合中的元素除了確定性外,還有互異性、無序性.在涉及含字母的集合中元素問題時,在根據(jù)題意求得其中元素(或字母)的值以后,要注意檢驗所求字母的值是否滿足集合中元素的性質(zhì),尤其是是否滿足集合中元素的互異性.探究點三元素與集合的關系問題4如何判斷一個元素是否屬于一個集合?【例4】

(1)已知不等式2x-5<0的解集為M,則以下表示方法正確的是(

)A.0∈M,3∈M

B.0?M,3∈MC.0∈M,3?M

D.0?M,3?MC(2)若以正實數(shù)x,y,z,w4個元素構(gòu)成集合A,以A中4個元素為邊長構(gòu)成的四邊形可能是(

)A.梯形

B.平行四邊形C.菱形

D.矩形A解析

由于集合中的元素具有互異性,所以正實數(shù)x,y,z,w互不相等.因為平行四邊形、菱形、矩形都有相等的邊,而梯形四邊不一定相等,故以集合A中四個元素為邊長構(gòu)成的四邊形可能是梯形,故選A.規(guī)律方法

判斷元素與集合的關系的兩種方法(1)直接法:如果元素是直接給出的,那么只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.此時應明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.(2)推理法:對于一些元素沒有直接給出的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.此時應明確已知集合中的元素具有什么特征.若元素a屬于集合A,則元素a就具有集合A的特征;若a不屬于集合A,則元素a就不具有集合A的特征.【例5】

已知A={(x,y)|y=x2,x∈R},則(

)A.-1∈A B.1∈AC.(-1,1)∈A D.(1,-1)∈AC解析

因為A={(x,y)|y=x2,x∈R},故當x=-1時,y=1,從而點(-1,1)在拋物線y=x2上,即(-1,1)∈A.故選C.【例6】

已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的實數(shù)解為元素構(gòu)成的集合.(1)1是A中的一個元素,求集合A中的其他元素;(2)若A中有且僅有一個元素,求a的值組成的集合B中元素的個數(shù);(3)若A中至多有一個元素,試求a的值的情況.解(1)若1是A中的一個元素,則只需a+2+1=0,解得a=-3,此時由-3x2+2x+1=0可知x=1或x=-.則集合A中的另一個元素為-.(2)當a=0時,原方程化為2x+1=0,解得x=-,滿足條件;當a≠0時,只需Δ=4-4a=0,即a=1,故所求a的值為0或1,因此集合B中元素的個數(shù)為2.(3)A中至多有一個元素時包括方程有1個解或無解.當方程中有1個解時,由(2)可知a的值為0或1;當方程無解時,只需Δ=4-4a<0,即a>1.因此A中至多有一個元素時,a=0或a≥1.規(guī)律方法

求解一類關于x的方程ax2+bx+c=0的解集關于x的方程ax2+bx+c=0的解集類問題,實質(zhì)是通過對二次項系數(shù)a的討論來考查思維的嚴謹性.當a≠0時,該方程是關于x的一元二次方程;當a=0,b≠0時,是關于x的一元一次方程.求解此類方程的解集問題,要注意根據(jù)二次項的系數(shù)是否為0判斷其是否為一元二次方程,當a≠0時,可借助判別式的符號求解.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011A級必備知識基礎練1.下列關系中正確的是(

)C12345678910112.若a是集合R中的元素,但不是集合Q中的元素,則a可以是(

)A.3.14 B.-5D12345678910113.(多選題)下列結(jié)論正確的是(

)A.若a∈N,則-a?NB.若a∈Z,則a2∈ZC.若a∈Q,則|a|∈QD.若a∈R,則

∈RBCD解析

A錯誤.比如,0∈N,-0∈N.其余均正確.12345678910114.(多選題)由a2,2-a,4組成一個含有3個元素的集合A,則實數(shù)a的取值不可能是(

)A.1 B.-2C.-1 D.2ABD解析

由題意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,結(jié)合選項知a不可能是ABD.12345678910115.已知集合A中含有2個元素x+2和x2,若1∈A,則實數(shù)x的值為

.

1解析

由題意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.當x=-1時,x+2=x2,不符合題意,所以x=-1舍去;當x=1時,x+2=3,x2=1,滿足題意.故x=1.12345678910116.若方程x2-ax+2=0的解集為M,且1∈M,則a=

,集合M中的另一個元素是

.

32解析

由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一個根,將1代入可得a=3,當a=3時,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一個元素是2.12345678910117.給出下列說法:①在一個集合中可以找到兩個相同的元素;②好聽的歌能組成一個集合;③高一(1)班所有姓氏能構(gòu)成集合;④把1,2,3三個數(shù)排列,共有6種情況,因此由這三個數(shù)組成的集合有6個.其中正確的個數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3B解析

①集合中的元素不能相同,所以在一個集合中不可以找到兩個相同的元素,因此本序號說法不正確;②因為好聽的歌標準不確定,所以好聽的歌不能組成一個集合,因此本序號的說法不正確;③因為高一(1)班所有姓氏是確定的,所以可以構(gòu)成一個集合,因此本序號的說法是正確的;④根據(jù)集合元素的無序性,由這三個數(shù)組成的集合只有一個,因此本序號說法不正確.因此正確的說法個數(shù)為1,故選B.B級關鍵能力提升練12345678910118.

由實數(shù)

所組成的集合,最多含元素個數(shù)為(

)A.2 B.3C.4 D.5A1234567891011B級關鍵能力提升練9.(多選題)已知集合A中有3個元素2,4,6,且當a∈A時,6-a∈A,則a為(

)A.2 B.4 C.0 D.6AB解析

因為集合A中含有3個元素2,4,6,所以0?A.由題意當a∈A時,6-a∈A,所以當a=2∈A時,6-a=4∈A,則a=2滿足條件;當a=4∈A時,6-a=2∈A,則a=4滿足條件;當a=6∈A時,6-a=0?A,則a=6不滿足條件.綜上所述,a=2或a=4.123456789101110.設A是方程kx2-kx-5=0(k∈R)的解組成的集合,回答下列問題:①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求實數(shù)k的值及A中的其他元素.③若A中僅有一個元素,求實數(shù)k的值.

解

①將x=0代入方程,得0