任意角和弧度制（任意角） 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

高一-人教A版-數(shù)學(xué)-必修一-第五章5.1.1

任意角一、學(xué)習(xí)目標通過生活實例，體會引入任意角的必要性，了解任意角的概念，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；掌握正角、負角、零角、終邊相同的角、軸線角、象限角的定義，理解任意角的概念，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；會判斷角所在的象限，掌握終邊相同的角的集合表示方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)．二、角的概念1．引入由初中知識可知，射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到0°~360°范圍內(nèi)的角；如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個范圍了．二、角的概念1．引入例如，體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540

°”“后空翻轉(zhuǎn)體720

°”這樣的動作名稱，這里不僅有超出0°~360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同．為了準確描述這些現(xiàn)象，有必要將角的概念推廣到任意角．京格爾空翻

圖片來源：搜狐二、角的概念角的概念：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角．角的構(gòu)成要素：頂點、始邊、終邊．二、角的概念4．我們規(guī)定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個零角．這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角．二、角的概念例如，圖(1)中所示的角是750°，圖(2)中三個角分別是α

＝

210°，β

＝

﹣

150°，

γ

＝

﹣660°．二、角的概念5．等角：角α與角β旋轉(zhuǎn)方向相同，且旋轉(zhuǎn)量相等，則稱α

＝

β．二、角的概念6．角的加法：設(shè)α、β是任意兩個角，我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角是α+β．二、角的概念7．相反角與角的減法：把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角(如下圖)．角α的相反角記為﹣α．我們有α－β

＝

α+(﹣β)．三、象限角1．思考1：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一

個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？答：對一個任意角，角的終邊可能落在某個象限或坐標軸上．三、象限角2．象限角、軸線角的定義：如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角．三、象限角3．思考2：判斷下列角是象限角還是軸線角：﹣50°，405°，﹣450°，如果是象限角，請指出是第幾象限角；如果是軸線角，請指出其終邊在哪個軸上．三、象限角答：畫出圖形，可以知道：﹣50°是第四象限角，405°是第一象限角，﹣450°是軸線角（角的終邊在y軸負半軸）．405°-50°-450°三、象限角4．思考3：第二象限角一定比第一象限角大嗎？答：不一定．例如，120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°＜390°．四、終邊相同的角1．請畫出下列角：α

＝

60°，β

＝

420°，γ

＝

﹣660°，你發(fā)現(xiàn)這三個角的終邊有何聯(lián)系？答：可以發(fā)現(xiàn)，這三個角終邊相同．四、終邊相同的角2．思考1：對于終邊相同的角α

＝

60°，β

＝

420°，γ

＝

﹣660°，你發(fā)現(xiàn)這三個角在數(shù)量上有什么關(guān)系？答：發(fā)現(xiàn)它們相差整數(shù)個360°．如，420°＝

60°+360°，﹣660°＝

60°－2×360°．四、終邊相同的角2．思考2：所有與60°角終邊相同的角，連同60°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？四、終邊相同的角3．思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．五、典型例題例1．在0°~360°范圍內(nèi)，找出與﹣950°12′角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角．分析：將﹣950°12′加上整數(shù)個360°，將其轉(zhuǎn)化為0°~360°范圍內(nèi)的角．五、典型例題例1．在0°~360°范圍內(nèi)，找出與﹣950°12′角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角．解：﹣950°12′+3×360°＝

129°48′，所以在0°~360°范圍內(nèi)，與﹣950°12′角終邊相同的角是129°48′，它是第二象限角．五、典型例題例2．寫出終邊在y軸上的角的集合．分析：在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個：90°，270°角．可以先寫出兩個集合，再取它們的并集．五、典型例題例2．寫出終邊在y軸上的角的集合．解：在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個：90°，270°角（如圖）．與90°終邊相同的角構(gòu)成集合S1

＝{β|β=90°+k·360°，k∈Z}，與270°終邊相同的角構(gòu)成集合S2

＝{β|β=270°+k·360°，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合S

＝

S1∪S2

，五、典型例題S

＝

S1

∪S2＝{β|β=90°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=270°+k·360°，k∈Z}＝{β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°，k∈Z}＝{β|β=90°+n·180°，n∈Z}

．五、典型例題例3．寫出終邊在直線y=x上的角的集合S．S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？分析：先求出終邊在直線y=x上的角的集合（含字母n，n

∈Z）；再讓n取部分整數(shù)，來檢驗元素β是否滿足不等式﹣360°≤β<720°．五、典型例題例3．寫出終邊在直線y=x上的角的集合S．S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？解：終邊在直線y=x上的角的集合S

＝{β|β

＝

45°+k·360°，k∈Z}

∪{β|β

＝225°+k·360°，k∈Z}＝{β|β

＝

45°+2k·180°，k∈Z}

∪{β|β

＝45°+(2k+1)·180°，k∈Z}＝

{β|β

＝45°+n·180°，n∈Z}．五、典型例題即S＝

{β|β

＝45°+n·180°，n∈Z}．經(jīng)計算，當n分別取–2、﹣

1、0、1、2

、3時，可得S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β：﹣315°、﹣135°、45°、225°、405°、585°．六、變式變式．若α是第一象限角，則α/2是第幾象限角？分析：先用含不等式的集合來表示角，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出α/2的范圍，最后根據(jù)范圍，判斷α/2的終邊的位置．六、變式變式．若α是第一象限角，則α/2是第幾象限角？解：終邊在第一象限的角的集合是S={α|k

·

360°＜α＜90°+k

·

360°，k∈Z}，故k

·

180°＜α/2＜45°+k

·

180°，k