華東師大初中數學八年級上冊《整式的乘除》全章復習與鞏固-知識講解(基礎)

PAGE《整式的乘除》全章復習與鞏固—知識講解（基礎）【學習目標】1.理解正整數冪的運算性質，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；2.會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.【知識網絡】【要點梳理】要點一、冪的運算1.同底數冪的乘法：(為正整數)；同底數冪相乘，底數不變，指數相加.2.冪的乘方：(為正整數)；冪的乘方，底數不變，指數相乘.3.積的乘方：(為正整數)；積的乘方，等于各因數乘方的積.4.同底數冪的除法：(≠0,為正整數，并且).同底數冪相除，底數不變，指數相減.5.零指數冪：即任何不等于零的數的零次方等于1.要點詮釋：公式中的字母可以表示數，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.要點二、整式的乘法和除法1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數和的形式．根據多項式的乘法，能得出一個應用比較廣泛的公式：.4.單項式相除把系數、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式.5.多項式除以單項式先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.即：要點三、乘法公式1.平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2.完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.；要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.要點四、因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法等.要點詮釋：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項考慮完全平方；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.【典型例題】類型一、冪的運算 1、計算下列各題：（1）（2）（3）（4）【思路點撥】按順序進行計算，先算積的乘方，再算冪的乘方，最后算同底數的冪相乘.【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結升華】在進行冪的運算時，應注意符號問題，尤其要注意系數為－1時“－”號、括號里的“－”號及其與括號外的“－”號的區(qū)別．舉一反三：【變式】當，＝4時，求代數式的值．【答案】解：.類型二、整式的乘除法運算2、（2016春?保山期末）計算：（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab．【思路點撥】先計算完全平方式和多項式除以單項式，再去括號、合并同類項即可得．【答案與解析】解：原式=4a2﹣4ab+b2﹣（4a2﹣2ab）=4a2﹣4ab+b2﹣4a2+2ab=b2﹣2ab．【總結升華】本題主要考查完全平方式和整式的除法，熟記完全平方公式和多項式除以單項式的法則是關鍵．3、已知，求的值．【思路點撥】利用除法與乘法的互逆關系，通過計算比較系數和相同字母的指數得到的值即可代入求值．【答案與解析】解：由已知，得，即，，，解得，，．所以．【總結升華】也可以直接做除法，然后比較系數和相同字母的指數得到的值.舉一反三：【變式】（1）已知，求的值．（2）已知，，求的值．（3）已知，，求的值．【答案】解：（1）由題意，知．∴．∴，解得．（2）由已知，得，即．由已知，得．∴，即．∴∴．（3）由已知，得．由已知，得．∴．類型三、乘法公式4、對任意整數，整式是否是10的倍數？為什么？【答案與解析】解：∵，是10的倍數，∴原式是10的倍數．【總結升華】要判斷整式是否是10的倍數，應用平方差公式化簡后，看是否有因數10．舉一反三：【變式】解下列方程(組)：【答案】解：原方程組化簡得，解得．5、已知，，求：(1)；(2)【思路點撥】在公式中能找到的關系.【答案與解析】解：(1)∵，，∴(2)∵，，∴.【總結升華】在無法直接利用公式的情況下，我們采取“配湊法”進行，通過配湊向公式過渡，架起了已知與未知之間橋梁，順利到達“彼岸”.在解題時，善于觀察，捕捉習題特點，聯(lián)想公式特征，便易于點燃思維的火花，找到最佳思路.類型四、因式分解6、分解因式：（1）（2）．【思路點撥】若將括號完全展開，所含的項太多，很難找到恰當的因式分解的方法，通過觀察發(fā)現：將相同的部分作為一個整體，展開后再進行分解就容易了．【答案與解析】解：（1）．（2）．【總結升華】在因式分解中要注意整體思想的應用，對于式子較復雜的題目不要輕易去括號．舉一反三：【變式】（2015春?禪城區(qū)校級期末）分解因式：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2（2）（