人教版高中數(shù)學必修第一冊第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合檢測拔尖卷(含詳細解析)

第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．下列各式正確的是A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若，則A． B．C． D．3．函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．4．已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．5．函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．6．已知定義在上的函數(shù)（為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則，，的大小關系為A． B．C． D．7．已知函數(shù)的定義域為，滿足對任意，恒有，若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的個，則的最大值為A． B．C． D．8．以下四種說法中，正確的是A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的，C．對任意的，D．一定存在，當，，時，總有二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，，則下列各式運算正確的是A． B．C． D．10．已知定義域為的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則下列函數(shù)中不符合上述條件的是A． B．C． D．11．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用其名字命名的高斯函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的值域是12．已知函數(shù)，，且，則下列結(jié)論錯誤的是A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)．若正數(shù)，滿足，則____________．14．函數(shù)的零點的個數(shù)為____________．15．已知函數(shù)，，給出下列三個結(jié)論：①函數(shù)的圖象與的圖象關于直線軸對稱；②函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱；③函數(shù)的值域與的定義域相同；④若滿足，滿足，則．其中正確結(jié)論的序號是____________．16．已知函數(shù)，若對于恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）．18．（12分）已知x、y、z為非零實數(shù)，且．求證：．19．（12分）已知全集，集合，．（1）求p和q的值；（2）求的值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若，求的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)的表達式為．（1）若，，求的值域．（2）當時，求的最小值．（3）對于（2）中的函數(shù)，是否存在實數(shù)m、n，同時滿足：①；②當?shù)亩x域為[m，n]時，其值域為？若存在，求出m、n的值；若不存在，請說明理由．22．（12分）設為奇函數(shù)，為常數(shù)．（1）求的值；（2）證明：在內(nèi)單調(diào)遞增；（3）若對于上的每一個的值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（解析版）本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．下列各式正確的是A． B．C． D．【試題來源】四川省成都市雙流中學2020-2021學年高一上學期期中【答案】C【解析】對于A，，故A不正確；對于B，，當時無意義，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D不正確．故選C．2．已知函數(shù)，若，則A． B．C． D．【試題來源】山西省長治市第二中學2022屆高三上學期第三次練考【答案】D【解析】因為，所以，，則，因為，所以．故選D．3．函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．【試題來源】寧夏唐徠回民中學2021-2022學年高一上學期期中考試【答案】C【解析】由題意，因為，所以只有C符合．故選C．4．已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】A【解析】因為在上單調(diào)遞增，所以當時，，若函數(shù)的值域為R，則，解得．故選A．5．函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．【試題來源】山東省濟寧鄒城市2021-2022學年高三上學期期中考試【答案】C【解析】當，則，則，當，則，則，所以，所以時，遞減且值域為；時，遞增且值域為；只有C符合要求．故選C6．已知定義在上的函數(shù)（為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則，，的大小關系為A． B．C． D．【試題來源】山東師范大學附屬中學2021-2022學年高三上學期第二次月考【答案】C【解析】（為實數(shù)）為偶函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，，，，且，，，故選C7．已知函數(shù)的定義域為，滿足對任意，恒有，若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的個，則的最大值為A． B．C． D．【試題來源】上海市楊浦區(qū)控江中學2022屆高三上學期第一次月考（9月）【答案】B【解析】令，則有，故，所以，若，則開口向上，對稱軸為且，，所以在上有兩個零點，即函數(shù)的零點個數(shù)最多有2個．故選B8．以下四種說法中，正確的是A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的，C．對任意的，D．一定存在，當，，時，總有【試題來源】湘教版（2019）必修第一冊突圍者第4章【答案】D【解析】A．如函數(shù)和，的圖象如圖所示：由圖象知錯誤；B．當時，的圖象如圖所示：由圖象知錯誤；C．當時，的圖象如圖所示：由圖象知錯誤；D．當時，的圖象如圖所示：由圖象知正確；故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，，則下列各式運算正確的是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】ABD【解析】對于A選項，，故正確；對于B選項，，故正確；對于C選項，，故錯誤；對于D正確，，故正確．故選ABD10．已知定義域為的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則下列函數(shù)中不符合上述條件的是A． B．C． D．【試題來源】廣東省清遠市第一中學2021-2022學年高一上學期期中【答案】ABD【解析】對A，，故A不符合；對B，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故B不符合；對C，在上單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，又，，故C符合；對D，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合．故選ABD．11．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用其名字命名的高斯函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的值域是【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】BCD【解析】因為，所以，所以f（x）是奇函數(shù)，A錯誤，B正確；因為函數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，C正確；因為，所以，所以，所以當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為{-1，0}，D正確．綜上可知，B，C，D正確．故選BCD12．已知函數(shù)，，且，則下列結(jié)論錯誤的是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第四章全章綜合檢測【答案】AD【解析】因為、、在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)，所以、在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)．因為，，且，所以，又，，且，所以，所以，即選項A錯誤；因為，函數(shù)、在其定義域內(nèi)均為增函數(shù)，所以，所以，即選項B正確，選項D錯誤；令，，則，，由于，的圖象都和直線相交（如圖所示），且函數(shù)和函數(shù)的圖象關于直線對稱，直線和直線的交點為，所以，即，即選項C正確．故選AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)．若正數(shù)，滿足，則____________．【試題來源】北京市通州區(qū)2020-2021學年高一上學期期中【答案】4【解析】因為，且、，，所以．故答案為4．14．函數(shù)的零點的個數(shù)為____________．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測第五章5．3函數(shù)的應用【答案】1【解析】根據(jù)題意，令，則，做出函數(shù)與的圖象，由圖可知與的圖象只有一個交點，即方程只有一個解，故函數(shù)的零點的個數(shù)為1．故答案為1．15．已知函數(shù)，，給出下列三個結(jié)論：①函數(shù)的圖象與的圖象關于直線軸對稱；②函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱；③函數(shù)的值域與的定義域相同；④若滿足，滿足，則．其中正確結(jié)論的序號是____________．【試題來源】北京市通州區(qū)2020-2021學年高一上學期期中【答案】②③④【解析】因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱，且函數(shù)的值域與的定義域相同，所以①錯誤，②正確，③正確，因為滿足，滿足，所以為函數(shù)與圖象的交點的橫坐標，為函數(shù)與圖象的交點的橫坐標，因為函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱，所以，即，所以④正確，所以正確結(jié)論的序號是②③④，故答案為②③④．16．已知函數(shù)，若對于恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【試題來源】黑龍江省龍東地區(qū)四校2021-2022學年高三上學期聯(lián)考【答案】【解析】因為，，所以不等式可化為，又對于恒成立，所以對于恒成立，所以，又，當且僅當時等號成立，所以，所以實數(shù)a的取值范圍是．故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），（2），（3），（4）【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以，所以，因為且，所以；（3）因為，所以，所以；（4）因為，所以，即，所以，所以18．（12分）已知x、y、z為非零實數(shù)，且．求證：．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測期末測試【答案】證明見解析【解析】設，則，，，即，，．所以，得證．19．（12分）已知全集，集合，．（1）求p和q的值；（2）求的值．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測第三章3．1冪與指數(shù)【答案】（1），，（2）【解析】（1）由全集及，得，所以，．（2）．20．（12分）已知函數(shù)．（1）用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若，求的取值范圍．【試題來源】北京市大興區(qū)2021-2022學年高一上學期期中考試【答案】（1）證明見解析，（2），（3）【解析】（1）因為，設任意的，且，則，因為，且，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞減；（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以（3）因為、，且在上單調(diào)遞減，所以等價于，即，所以，所以，所以，即21．（12分）已知函數(shù)的表達式為．（1）若，，求的值域．（2）當時，求的最小值．（3）對于（2）中的函數(shù)，是否存在實數(shù)m、n，同時滿足：①；②當?shù)亩x域為[m，n]時，其值域為？若存在，求出m、n的值；若不存在，請說明理由．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測期末測試【答案】（1），（2）（3）不存在滿足條件的實數(shù)m、n，理由見解析【解析】（1）當時，由，得，因為，所以，．（2）令，因為，故，函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為，①當時，；②當時，；③當時，．綜上所述，．（3）因為，，在R上是嚴格減函數(shù)，所以在上的值域為，又在上的值域為，所以，即，兩式相減，得，因為，所以，而由，可得，與矛盾．所以，不存在滿