2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3-正態(tài)分布-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3-正態(tài)分布-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．下列關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述：①曲線在x軸上方，關(guān)于x＝μ對稱；②由曲線和x軸圍成的面積隨μ變化而變化；③σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”；④曲線關(guān)于x＝σ對稱，只有在x∈(－3σ，3σ)時(shí)，曲線在x軸上方．說法正確的是()A．①②③④ B．①③C．②③ D．②④2．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(6π))eeq\s\up15(eq\f(－x2＋4x－4,6))，則()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(10,0.2)，且P(ξ＞3a－2)＝P(ξ＜2a＋7)，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．34．已知隨機(jī)變量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，則P(4<X<7)＝()A.eq\f(b－a,2) B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2) D.eq\f(1－a,2)5．已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.32，則P(2<X<3)＝()A．0.32 B．0.68C．0.18 D．0.346．老師想要了解全班50位同學(xué)的成績狀況，為此隨機(jī)抽查了10位學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)與物理成績，結(jié)果列表如下：學(xué)生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)8862x1x2x3x4x5x6x7x8eq\x\to(X)＝60σ(X)＝eq\r(94)物理7563y1y2y3y4y5y6y7y8eq\x\to(Y)＝65σ(Y)＝eq\r(23)若這10位同學(xué)的成績能反映全班的成績狀況，且全班成績服從正態(tài)分布，用實(shí)線表示全班數(shù)學(xué)成績分布曲線，虛線表示全班物理成績分布曲線，則下列正確的是()7．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布X～N(105，σ2)(σ>0)，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀(高于或等于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,10)，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為()A．100 B．200C．300 D．4008.(多選題)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是()A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．乙類水果的平均質(zhì)量μ2＝1.99kgC．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近二、填空題9．某隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\s\up15(eq\f(x2,8))，則X的期望μ＝，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝.10．設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,22)，則Y＝3X－1服從的總體分布可記為．11．某正態(tài)密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,\r(2π))，則總體落入?yún)^(qū)間[0,2]內(nèi)的概率約為.三、解答題12．設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ>5)．13．為了解某市高三學(xué)生身高情況，對全市高三學(xué)生進(jìn)行了測量，經(jīng)分析，全市高三學(xué)生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(160，σ2)，已知P(X<150)＝0.2，P(X≥180)＝0.03.(1)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間[170,180)的概率；(2)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，記抽到的三名學(xué)生身高在區(qū)間[150,170)的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值E(ξ)．14．(多選題)下列說法正確的有()A．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ≤3)＝0.84，則P(ξ≤1)＝0.16B．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,7)，若P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，則m＝3C．設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝eq\f(3,16)D．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(54,125)15．若隨機(jī)變量X～N(2,32)，且P(X≤1)＝P(x≥a)，則(x＋a)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是.16．某市為了增強(qiáng)民眾防控病毒的意識，舉行了“預(yù)防新冠病毒知識競賽”網(wǎng)上答題，隨機(jī)抽取10000人，答題成績統(tǒng)計(jì)如圖所示．(1)由直方圖可認(rèn)為答題者的成績Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別為答題者的平均成績eq\x\to(x)和成績的方差s2，那么這10000名答題者成績超過84.81分的人數(shù)估計(jì)有多少人？(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表)(2)如果成績超過56.19分的民眾我們認(rèn)為是“防御知識合格者”，用這10000名答題者的成績來估計(jì)全市的民眾，現(xiàn)從全市中隨機(jī)抽取4人，“防御知識合格者”的人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)．(精確到0.001)附：①s2＝204.75，eq\r(204.75)≈14.31；②Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545；③0.84144≈0.501,0.84133≈0.596.2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3-正態(tài)分布-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．下列關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述：①曲線在x軸上方，關(guān)于x＝μ對稱；②由曲線和x軸圍成的面積隨μ變化而變化；③σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”；④曲線關(guān)于x＝σ對稱，只有在x∈(－3σ，3σ)時(shí)，曲線在x軸上方．說法正確的是(B)A．①②③④ B．①③C．②③ D．②④解析：由正態(tài)曲線性質(zhì)知①③正確；對于②，曲線與x軸圍成的面積恒為1，②錯(cuò)誤；對于④，曲線關(guān)于x＝μ對稱，且曲線始終在x軸上方，④錯(cuò)誤．故選B.2．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(6π))eeq\s\up15(eq\f(－x2＋4x－4,6))，則(C)A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)解析：由f(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))eeq\s\up15(eq\f(－x－22,2\r(3)2))，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故選C.3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(10,0.2)，且P(ξ＞3a－2)＝P(ξ＜2a＋7)，則a＝(D)A．－1 B．0C．1 D．3解析：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(10,0.2)，∴正態(tài)曲線的對稱軸為直線x＝10，又P(ξ>3a－2)＝P(ξ<2a＋7)，∴3a－2＋2a＋7＝10×2，即a＝3.故選D.4．已知隨機(jī)變量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，則P(4<X<7)＝(B)A.eq\f(b－a,2) B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2) D.eq\f(1－a,2)解析：由于P(4<X<7)＝P(4<X<5)＋P(5<X<7)＝eq\f(b－a,2)＋a＝eq\f(b＋a,2)，故選B.5．已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.32，則P(2<X<3)＝(C)A．0.32 B．0.68C．0.18 D．0.34解析：由題意，隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，可得μ＝2，即正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝2對稱，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可得P(2<X<3)＝eq\f(1－2PX≤1,2)＝eq\f(1－2×0.32,2)＝0.18.故選C.6．老師想要了解全班50位同學(xué)的成績狀況，為此隨機(jī)抽查了10位學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)與物理成績，結(jié)果列表如下：學(xué)生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)8862x1x2x3x4x5x6x7x8eq\x\to(X)＝60σ(X)＝eq\r(94)物理7563y1y2y3y4y5y6y7y8eq\x\to(Y)＝65σ(Y)＝eq\r(23)若這10位同學(xué)的成績能反映全班的成績狀況，且全班成績服從正態(tài)分布，用實(shí)線表示全班數(shù)學(xué)成績分布曲線，虛線表示全班物理成績分布曲線，則下列正確的是(A)解析：由eq\x\to(X)<eq\x\to(Y)，故全班數(shù)學(xué)成績分布曲線的對稱軸應(yīng)位于全班物理成績分布曲線的對稱軸的左邊，排除B；又由σ(X)>σ(Y)，則全班數(shù)學(xué)成績分布曲線應(yīng)“矮胖”，而全班物理成績分布曲線應(yīng)相對“瘦高”，排除C、D，故選A.7．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布X～N(105，σ2)(σ>0)，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀(高于或等于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,10)，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為(D)A．100 B．200C．300 D．400解析：由正態(tài)分布的特點(diǎn)知，正態(tài)密度曲線對稱軸為直線x＝105，所以P(X≥105)＝0.5，因?yàn)镻(X≥120)＝eq\f(1,10)，所以P(105≤X≤120)＝0.4，由對稱性知：P(90≤X≤105)＝0.4，所以考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為1000×0.4＝400，故選D.8.(多選題)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是(ACD)A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．乙類水果的平均質(zhì)量μ2＝1.99kgC．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近解析：由圖象可知，甲圖象關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙圖象關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，且μ1<μ2，故A、C正確，B不正確；甲圖比乙圖更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近，故D正確．故選ACD.二、填空題9．某隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\s\up15(eq\f(x2,8))，則X的期望μ＝0，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.解析：概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up15(eq\f(x－μ2,2σ2))，所以X的期望μ＝0，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.10．設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,22)，則Y＝3X－1服從的總體分布可記為Y～N(2,62)．解析：因?yàn)閄～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62.∴Y～N(2,62)．11．某正態(tài)密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,\r(2π))，則總體落入?yún)^(qū)間[0,2]內(nèi)的概率約為0.477_3.解析：正態(tài)密度函數(shù)是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up15(eq\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函數(shù)，則μ＝0，∵f(x)的最大值為f(μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ＝1，∴P(0≤X≤2)＝eq\f(1,2)P(－2≤X≤2)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈eq\f(1,2)×0.9545≈0.4773.三、解答題12．設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ>5)．解：因?yàn)棣巍玁(1,22)，所以μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)因?yàn)镻(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，所以P(3<ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝eq\f(1,2)[1－P(－3≤ξ≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)≈0.0228.13．為了解某市高三學(xué)生身高情況，對全市高三學(xué)生進(jìn)行了測量，經(jīng)分析，全市高三學(xué)生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(160，σ2)，已知P(X<150)＝0.2，P(X≥180)＝0.03.(1)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間[170,180)的概率；(2)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，記抽到的三名學(xué)生身高在區(qū)間[150,170)的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值E(ξ)．解：(1)由全市高三學(xué)生身高X服從N(160，σ2)，P(X<150)＝0.2，得P(160≤X<170)＝P(150≤X<160)＝0.5－0.2＝0.3.因?yàn)镻(X≥180)＝0.03，所以P(170≤X<180)＝0.5－0.3－0.03＝0.17.故從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生身高在區(qū)間[170,180)的概率為0.17.(2)因?yàn)镻(150≤X<170)＝P(150≤X<160)＋P(160≤X<170)＝0.3＋0.3＝0.6，ξ服從二項(xiàng)分布B(3,0.6)，所以P(ξ＝0)＝(1－0.6)3＝0.064，P(ξ＝1)＝3×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(ξ＝2)＝3×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(ξ＝3)＝0.63＝0.216.所以ξ的分布列為ξ0123P0.0640.2880.4320.216所以E(ξ)＝3×0.6＝1.8.14．(多選題)下列說法正確的有(AD)A．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ≤3)＝0.84，則P(ξ≤1)＝0.16B．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,7)，若P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，則m＝3C．設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝eq\f(3,16)D．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(54,125)解析：對于A，因?yàn)樽兞喀畏恼龖B(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ≤3)＝0.84，所以P(ξ≥3)＝1－0.84＝0.16，因?yàn)殛P(guān)于ξ＝2對稱，所以P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)＝0.16，故A正確；對于B，因?yàn)镻(X>m＋1)＝P(X>m－1)，所以須滿足m＋1＝m－1，等式不恒成立，故無論m是任何實(shí)數(shù)，都不能使P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)殡S機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))6－3＝eq\f(5,16)，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意可知，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＝eq\f(54,125)，故D正確．故選AD.15．若隨機(jī)變量X～N(2,32)，且P(X≤1)＝P(x≥a)，則(x＋a)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是1_620.解析：隨機(jī)變量X～N(2,32)，均值是2，且P(X≤1)＝P(x≥a)，∴a＝3；∴(x＋a)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5＝(x＋3)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5＝(x2＋6x＋9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5；又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(3x)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝(－1)k·35－k·Ceq\o\al(k,5)·x5－eq\s\up15(eq\f(3k,2))，令5－eq\f(3k,2)＝1，解得k＝eq\f(8,3)，不合題意，舍去；令5－eq\f(3k,2)＝2，解得k＝2，對應(yīng)x2的系數(shù)為(－1)2·33·Ceq\o\al(2,5)＝270；令5－eq\f(3k,2)＝3，解得k＝eq\f(4,3)，不合題意，舍去；∴展開式中x3項(xiàng)的系