人教版五升六數(shù)學暑假升級訓練專題03長方體和正方體(學生版+解析)

知識點01：長方體和正方體的認識1、兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。2、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。3、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。正方體有12條棱，它們的長度都相等，所有的面都完全相同。4、長方體和正方體都有6個面、12條棱和8個頂點，只是正方體的棱長都相等。正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。知識點02：長方體和正方體的表面積1、長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。2、長方體公式：棱長和＝（長＋寬＋高）×4底面積（占地面積）＝長×寬側(cè)面積（左面、右面）＝寬×高前（后）面積＝長×高表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2沒蓋的表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×23、正方體公式：棱長和＝棱長×12棱長＝棱長和÷12表面積＝棱長×棱長×6（任意一個面積×6）沒蓋的表面積＝棱長×棱長×5知識點03：長方體和正方體的體積1、物體所占空間的大小叫做物體的體積。2、容器所能容納物體的體積通常叫做它們的容積。10、長方體的體積（容積）＝長×寬×高＝底面積×高字母公式：v=abhv=sh3、正方體的體積（容積）＝棱長×棱長×棱長＝底面積×棱長4、讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a×a×a）。5、計量體積要用體積單位，常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以寫成，，。6、計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ml。7、高級單位化成低級單位乘進率；低級單位化成高級單位除以進率。8、、體積和容積單位之間的進率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、長方體或正方體容積的計算方法，跟體積計算方法相同。但要從容器里面量長、寬、高。?長方體和正方體的認識1、長方體的6個面有時不都是長方形。2、長方體的長發(fā)生變化，這個長方體的左面和右面的大小不變。3、在實際生活中，并不是所有的長方體形狀的物體都有6個面，如長方體形狀的魚缸、游泳池等只有5個面，長方體形狀的煙囪、通風管等只有4個面。4、長方形的長寬高是相對的，把正方體擺正，一般情況下把前面橫著的棱叫長，左右面橫著的棱叫寬，豎著的棱叫高。?長方體和正方體的表面積1、長方體和正方體的展開圖不止一種，但是表面積是固定的。2、求正方體的表面積只需要計算出一個面的面積就可以求出總面積。3、解決比較負責的表面積增減變化的問題，通常要先假設棱長為1或者長為1，再通過計算比較，得出正方體或長方體表面積的增減變化規(guī)律。?長方體和正方體的體積1、物體的體積與所占空間的大小有關(guān)，與物體的形狀沒有關(guān)系。2、并不是只有棱長是1厘米的正方體的體積才是1立方厘米，一個長、寬、高的積是1立方厘米的長方體，體積也是1立方厘米。3、如果一個正方體的棱長擴大到原來的n倍，那么它的體積就擴大到原來的n3倍。4、體積和表面積不是同類量，二者之間不能比較。5、在計算a3時，不要把a3看作3×a，a3應是a×a×a。6、只有相鄰的兩個體積單位間的進率才是1000，判斷和互化時首先要看這兩個單位是不是相鄰的。7、用小正方體擺大正方體時，要注意長、寬、高的數(shù)量都相同。8、物體的容積并不是物體的體積，體積是指物體自身所占空間的大小，容積是指物體所能容納物體的體積。9、計量長方體容器的容積要從里面量長、寬、高，計算的結(jié)果比體積小。10、用排水法求形狀不規(guī)則的物體的體積時，將物體放入水中后（物體完全浸沒在水中），明確水上升的高度才是解題的關(guān)鍵。一．精挑細選（共6小題，滿分12分，每小題2分）1．（2分）（2023春?雁江區(qū)期中）一個長方體的長擴大到原來的2倍，寬和高都擴大到原來的3倍，體積擴大到原來的（）倍。A．6 B．18 C．2 D．32．（2分）（2023春?應城市期中）如圖兩個長方形是一個長方體的前面和右面，這個長方體的體積是（）A．28cm3 B．140cm3 C．無法確定3．（2分）（2023春?泉州期中）一個長7dm、寬5dm、高5dm的長方體，下面求它表面積的算式中正確的有（）個。5×5×2+7×5×4（7+5）×2×5+7×5×2（7×5+5×5+7×5）×25×5×2+7×5×2+7×5×2A．1 B．2 C．3 D．44．（2分）（2023春?沈丘縣期中）明明用一些棱長為2cm的正方體積木拼成了一個大長方體模型（如圖）。這個長方體模型的體積是（）cm3。A．144 B．160 C．2165．（2分）（2023春?沈丘縣期中）一張長、寬分別是80cm，60cm的長方形鐵皮，在它的4個角各剪去一個邊長為10cm的小正方形（如圖），彎折后焊接成一個無蓋的鐵皮水箱，這個水箱的容積是（）L。A．2400 B．240 C．246．（2分）（2023春?社旗縣期中）一個正方體切成兩個完全一樣的長方體后，表面積增加162cm2。原來正方體的表面積是____cm2，體積是____cm3。（）A．972；726 B．486；729 C．486；972二．認真填空（共7小題，滿分16分）7．（2分）（2023春?海城市期中）把一根長6m的長方體木料鋸成兩段后，表面積增加了400dm2，這根木料的體積是m3。8．（2分）（2023春?南安市期中）如圖是淘氣比較小球體積和正方體體積時做的實驗，那么小球體積和正方體體積相差cm3。（單位：cm）?9．（2分）（2023春?炎陵縣期中）一個長方體，長、寬、高分別是8cm、5cm和4cm，從中截去一個最大的正方體后，正方體的體積是，剩下部分的體積是。10．（2分）（2023春?沈丘縣期中）一根長為7m的長方體木料，把它平均鋸成3段（如圖），表面積正好增加48dm2，原來這根木料的體積是m3。11．（2分）（2023春?泉州期中）李叔叔要做一個長方體燈罩，他先用鐵棍焊接燈罩的框架，已經(jīng)完成了三條棱（如圖），要制作這個完整的長方體框架，一共需要分米長的鐵棍。（焊接處忽略不計）12．（4分）（2022秋?太原期末）（1）將5立方米的沙子均勻鋪在長8米、寬2.5米的長方體沙坑里，沙子厚分米。（2）玲玲借助長方體體積計算方法，巧妙的測出了一塊石頭的體積，如圖，石頭的體積是立方厘米。（3）用3個棱長2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是平方厘米，體積是立方厘米。13．（2分）（2022春?東湖區(qū)期末）一個長方體魚缸底面長a分米，比寬多5分米，高是長的2倍。這個長方體魚缸的底面積是平方分米，體積是立方分米。（填字母式）三．判斷正誤（共5小題，滿分10分，每小題2分）14．（2分）（2023春?應城市期中）一個長方體的長、寬、高分別是a、b、h，且a＞b＞h，若把長方體切割成一個最大的正方體，則這個正方體的體積是a3。（判斷對錯）15．（2分）（2023春?沈丘縣期中）長方體是由6個長方形（特殊情況下有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。（判斷對錯）16．（2分）（2023春?阜平縣期中）用兩塊同樣的橡皮泥分別捏成正方體和長方體，它們的體積一樣大。（判斷對錯）17．（2分）（2023春?鎮(zhèn)平縣期中）如果一個長方體和一個正方體的底面周長相等，高也相等，那么正方體的體積一定大于長方體的體積。（判斷對錯）18．（2分）（2021秋?偃師市期中）一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的體積是杯子體積的一半。（判斷對錯）四．計算能手（共2小題，滿分8分，每小題4分）19．（4分）（2022春?關(guān)嶺縣期末）計算如圖所示圖形的表面積和體積。（單位：cm）20．（4分）（2022?杭州模擬）求如圖圖形的表面積和體積（單位：米）。五．實際應用（共6小題，滿分24分，每小題4分）21．（4分）（2023春?雁江區(qū)期中）一個長方體鐵皮長50厘米，寬28厘米。如果從四個角剪去邊長6厘米的正方形，再折成一個無蓋的盒子，這個無蓋盒子的容積是多少？22．（4分）（2023春?雁江區(qū)期中）一個正方體的容器，棱長12分米，裝滿水后，倒入一底面長20分米，寬15分米，高18分米的長方體容器中，現(xiàn)在水的深度是多少分米？23．（4分）（2023春?歷城區(qū)期中）一塊體積為60立方米的長方體大理石，底面積為6平方米。這塊大理石的高是多少米？24．（4分）（2023春?應城市期中）工廠挖了一個長40m，寬20m，深2m的長方體蓄水池。要在蓄水池的底面和四壁抹水泥，若每平方米用水泥2.5kg，那么一共需要水泥多少千克？25．（4分）（2023春?云浮期中）一個長方體形狀的游泳池，長50米，寬30米，深2米。要給游泳池的底面和四壁抹一層水泥，如果每平方米用水泥12千克，22噸水泥夠不夠用？26．（4分）（2022?南岸區(qū)）如圖，一個棱長為25厘米的正方體密閉容器內(nèi)裝有一些水，在容器的底部粘著一個底面積為125平方厘米的長方體實心鐵塊，容器內(nèi)水面高度恰好與鐵塊的上表面持平。把容器倒置過來后，仍有一部分鐵塊在水面以下，此時水面的高度為15厘米。這個長方體實心鐵塊的高度是多少厘米？六．動手操作（共2小題，滿分9分）27．（5分）（2022春?樂陵市期末）體積的測量。用1cm3的體積單位測量了長方體盒子的體積，我發(fā)現(xiàn)：長方體盒子一行擺個，有行，有層，共有個體積單位，所以長方體盒子的體積是cm3。28．（4分）（2020秋?宜興市期末）用3個同樣的小長方體（如圖），拼成一個大長方體，可以怎樣拼？先想象操作，再填一填。（單位：厘米）拼成的大長方體中，表面積最小平方厘米，表面積最大是平方厘米。七．解決問題（共5小題，滿分22分）29．（4分）（2023春?鎮(zhèn)原縣期中）王叔叔有一張長60cm、寬40cm的長方形鐵皮，他想在它的四個角各剪去一個邊長為5cm的小正方形（如圖），然后焊接成一個無蓋的鐵皮盒子。（1）你來幫李叔叔算一算。這個盒子的容積是多少立方分米？（鐵皮厚度忽略不計）（2）如果把這個盒子里裝滿水，再把棱長為4cm的正方體鐵塊沉入水中，則流出來的水的體積是多少立方厘米？30．（4分）（2023春?南安市期中）某社區(qū)挖了一個長20m、寬18m、深5m的長方體蓄水池。（1）如果給這個蓄水池的池底和四周貼上瓷磚，每平方米需要10塊瓷磚，至少需要準備多少塊這樣的瓷磚？（2）在蓄水池內(nèi)壁4.5m高的位置畫一圈水位線，要求水面不得高于這條水位線，則蓄水池的最大蓄水量是多少立方米？31．（4分）（2023春?鄧州市期中）一塊長方體木塊，從下部和上部分別截去2cm和3cm的長方體后，變成一個正方體，表面積減少了120cm2，原來長方體木塊的體積是多少立方厘米？?（5分）（2023春?英德市期中）有一個完全封閉的長方體容器，里面的長是20厘米，寬是16厘米，高是10厘米，平放時水面高6厘米（圖1）。如果把這個容器豎起來放（圖2），水的高度會是多少厘米？33．（5分）（2022秋?阜寧縣期末）李老師在商場買了一盒禮品，禮品盒是一個長4分米，寬3分米、高2.5分米的長方體．（1）如果要用彩帶把這個禮品盒捆扎起來（扎法如圖，打結(jié)處彩帶長2分米），一共需要彩帶多少分米？（2）做這個禮品盒至少要多少平方分米的硬紙板？知識點01：長方體和正方體的認識1、兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。2、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。3、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。正方體有12條棱，它們的長度都相等，所有的面都完全相同。4、長方體和正方體都有6個面、12條棱和8個頂點，只是正方體的棱長都相等。正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。知識點02：長方體和正方體的表面積1、長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。2、長方體公式：棱長和＝（長＋寬＋高）×4底面積（占地面積）＝長×寬側(cè)面積（左面、右面）＝寬×高前（后）面積＝長×高表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2沒蓋的表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×23、正方體公式：棱長和＝棱長×12棱長＝棱長和÷12表面積＝棱長×棱長×6（任意一個面積×6）沒蓋的表面積＝棱長×棱長×5知識點03：長方體和正方體的體積1、物體所占空間的大小叫做物體的體積。2、容器所能容納物體的體積通常叫做它們的容積。10、長方體的體積（容積）＝長×寬×高＝底面積×高字母公式：v=abhv=sh3、正方體的體積（容積）＝棱長×棱長×棱長＝底面積×棱長4、讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a×a×a）。5、計量體積要用體積單位，常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以寫成，，。6、計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ml。7、高級單位化成低級單位乘進率；低級單位化成高級單位除以進率。8、、體積和容積單位之間的進率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、長方體或正方體容積的計算方法，跟體積計算方法相同。但要從容器里面量長、寬、高。?長方體和正方體的認識1、長方體的6個面有時不都是長方形。2、長方體的長發(fā)生變化，這個長方體的左面和右面的大小不變。3、在實際生活中，并不是所有的長方體形狀的物體都有6個面，如長方體形狀的魚缸、游泳池等只有5個面，長方體形狀的煙囪、通風管等只有4個面。4、長方形的長寬高是相對的，把正方體擺正，一般情況下把前面橫著的棱叫長，左右面橫著的棱叫寬，豎著的棱叫高。?長方體和正方體的表面積1、長方體和正方體的展開圖不止一種，但是表面積是固定的。2、求正方體的表面積只需要計算出一個面的面積就可以求出總面積。3、解決比較負責的表面積增減變化的問題，通常要先假設棱長為1或者長為1，再通過計算比較，得出正方體或長方體表面積的增減變化規(guī)律。?長方體和正方體的體積1、物體的體積與所占空間的大小有關(guān)，與物體的形狀沒有關(guān)系。2、并不是只有棱長是1厘米的正方體的體積才是1立方厘米，一個長、寬、高的積是1立方厘米的長方體，體積也是1立方厘米。3、如果一個正方體的棱長擴大到原來的n倍，那么它的體積就擴大到原來的n3倍。4、體積和表面積不是同類量，二者之間不能比較。5、在計算a3時，不要把a3看作3×a，a3應是a×a×a。6、只有相鄰的兩個體積單位間的進率才是1000，判斷和互化時首先要看這兩個單位是不是相鄰的。7、用小正方體擺大正方體時，要注意長、寬、高的數(shù)量都相同。8、物體的容積并不是物體的體積，體積是指物體自身所占空間的大小，容積是指物體所能容納物體的體積。9、計量長方體容器的容積要從里面量長、寬、高，計算的結(jié)果比體積小。10、用排水法求形狀不規(guī)則的物體的體積時，將物體放入水中后（物體完全浸沒在水中），明確水上升的高度才是解題的關(guān)鍵。一．精挑細選（共6小題，滿分12分，每小題2分）1．（2分）（2023春?雁江區(qū)期中）一個長方體的長擴大到原來的2倍，寬和高都擴大到原來的3倍，體積擴大到原來的（）倍。A．6 B．18 C．2 D．3【思路引導】設原來的長方體的長為3，寬為2，高為1，則擴大后的長方體的長為（3×3），寬為（2×3），高為（1×3）；根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，分別求出原來長方體的體積和擴大后的長方體的體積，再用擴大后的長方體的體積除以原來長方體的體積即可。【規(guī)范解答】解：設原來的長方體的長為3，寬為2，高為1。3×2×1＝6×1＝6（3×2）×（2×3）×（1×3）＝6×6×3＝108108÷6＝18答：體積擴大到原來的18倍。故選：B?！究键c評析】解答此類問題用賦值法比較簡便。2．（2分）（2023春?應城市期中）如圖兩個長方形是一個長方體的前面和右面，這個長方體的體積是（）A．28cm3 B．140cm3 C．無法確定【思路引導】長方體前面的長加上長方體的長，前面的寬就是長方體的高，右面的長就是長方體的寬，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：7×5×4＝35×4＝140（立方厘米）答：這個長方體的體積是140立方厘米。故選：B?！究键c評析】此題主要考查長方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。3．（2分）（2023春?泉州期中）一個長7dm、寬5dm、高5dm的長方體，下面求它表面積的算式中正確的有（）個。5×5×2+7×5×4（7+5）×2×5+7×5×2（7×5+5×5+7×5）×25×5×2+7×5×2+7×5×2A．1 B．2 C．3 D．4【思路引導】根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬+長×高+寬×高）×2，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：5×5×2+7×5×4，正確；（7+5）×2×5+7×5×2，正確；（7×5+5×5+7×5）×2，正確；5×5×2+7×5×2+7×5×2，正確。故選：D?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握長方體的表面積公式及應用。4．（2分）（2023春?沈丘縣期中）明明用一些棱長為2cm的正方體積木拼成了一個大長方體模型（如圖）。這個長方體模型的體積是（）cm3。A．144 B．160 C．216【思路引導】通過觀察圖形可知，拼成的大長方體的長是（2×3）厘米，寬是（2×2）厘米，高是（2×3）厘米，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（2×3）×（2×2）×（2×3）＝6×4×6＝24×6＝144（立方厘米）答：這個長方體模型的體積是144立方厘米。故選：A?！究键c評析】此題主要考查長方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。5．（2分）（2023春?沈丘縣期中）一張長、寬分別是80cm，60cm的長方形鐵皮，在它的4個角各剪去一個邊長為10cm的小正方形（如圖），彎折后焊接成一個無蓋的鐵皮水箱，這個水箱的容積是（）L。A．2400 B．240 C．24【思路引導】通過觀察圖形可知，焊成的無蓋長方體的水箱的長是（80﹣10﹣10）厘米，寬是（60﹣10﹣10）厘米，高是10厘米，根據(jù)長方體的容積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（80﹣10﹣10）×（60﹣10﹣10）×10＝60×40×10＝2400×10＝24000（立方厘米）24000立方厘米＝24升答：這個水箱的容積是24升。故選：C?！究键c評析】此題主要考查長方體容積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。6．（2分）（2023春?社旗縣期中）一個正方體切成兩個完全一樣的長方體后，表面積增加162cm2。原來正方體的表面積是____cm2，體積是____cm3。（）A．972；726 B．486；729 C．486；972【思路引導】根據(jù)題意可知，把這個正方體切成兩個完全一樣的長方體后，表面積增加162平方厘米，表面積增加的是正方體2個面的面積，據(jù)此可以求出正方體的一個面的面積，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，求出正方體的棱長，再根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：162÷2＝81（平方厘米）因為9×9＝81（平方厘米），所以正方體的棱長是9厘米。81×6＝486（平方厘米）81×9＝729（立方厘米）答：原來正方體的表面積是486平方厘米，體積是729立方厘米。故選：B?！究键c評析】此題主要考查正方體的表面積公式、體積公式的靈活應用，關(guān)鍵是熟記公式。二．認真填空（共7小題，滿分16分）7．（2分）（2023春?海城市期中）把一根長6m的長方體木料鋸成兩段后，表面積增加了400dm2，這根木料的體積是12m3?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)題意可知：把這根木料鋸成兩段后，表面積增加的是兩個截面的面積，由此可以求出長方體木料的底面積，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：400平方分米＝4平方米4÷2×6＝2×6＝12（立方米）答：這根木料的體積是12立方米。故答案為：12?！究键c評析】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。8．（2分）（2023春?南安市期中）如圖是淘氣比較小球體積和正方體體積時做的實驗，那么小球體積和正方體體積相差150cm3。（單位：cm）?【思路引導】先用中間圖形中水與小球的體積之和減去左圖中水的體積，求出小球的體積；再用右圖中小球、正方體及水的體積之和減去中間圖形中水與小球的體積之和，求出正方體的體積，最后求出小球體積和正方體體積差即可?！疽?guī)范解答】解：15×10×10﹣15×10×8＝15×10×（10﹣8）＝150×2＝300（立方厘米）15×10×13﹣15×10×10＝15×10×（13﹣10）＝150×3＝450（立方厘米）450﹣300＝150（立方厘米）答：小球體積和正方體體積相差150立方厘米。故答案為：150。【考點評析】解答本題需熟練掌握長方體的體積公式。9．（2分）（2023春?炎陵縣期中）一個長方體，長、寬、高分別是8cm、5cm和4cm，從中截去一個最大的正方體后，正方體的體積是64立方厘米，剩下部分的體積是96立方厘米?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)題意可知，從這個長方體中截去一個最大的正方體，這個正方體的棱長等于長方體的高，剩下部分的體積等于長方體與正方體的體積差，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）8×5×4﹣64＝160﹣64＝96（立方厘米）答：正方體的體積是64立方厘米，剩余部分的體積是96立方厘米。故答案為：64立方厘米，96立方厘米?！究键c評析】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。10．（2分）（2023春?沈丘縣期中）一根長為7m的長方體木料，把它平均鋸成3段（如圖），表面積正好增加48dm2，原來這根木料的體積是0.084m3?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)題意可知，把這個長方體木料橫截成3段，表面積比原來增加4個截面的面積，據(jù)此可以求出長方體的底面積，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：7米＝70分米48÷4×70＝12×70＝840（立方分米）840立方分米＝0.84立方米答：原來這根木料的體積是0.84立方分米。故答案為：0.84?！究键c評析】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。11．（2分）（2023春?泉州期中）李叔叔要做一個長方體燈罩，他先用鐵棍焊接燈罩的框架，已經(jīng)完成了三條棱（如圖），要制作這個完整的長方體框架，一共需要36分米長的鐵棍。（焊接處忽略不計）【思路引導】根據(jù)長方體的棱長總和＝（長+寬+高）×4，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（2+3+4）×4＝9×4＝36（分米）答：一共需要36分米長的鐵棍。故答案為：36?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及棱長總和公式的靈活運用。12．（4分）（2022秋?太原期末）（1）將5立方米的沙子均勻鋪在長8米、寬2.5米的長方體沙坑里，沙子厚2.5分米。（2）玲玲借助長方體體積計算方法，巧妙的測出了一塊石頭的體積，如圖，石頭的體積是1000立方厘米。（3）用3個棱長2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是56平方厘米，體積是24立方厘米?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)不規(guī)則物體體積的計算方法，把石塊放入長方體容器中，上升部分水的體積就等于石塊的體積，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（3）用3個棱長2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是比3個正方體的表面積和減去了正方體的4個面的面積，拼成長方體的體積等于3個正方體的體積和。根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（1）5÷（8×2.5）＝5÷20＝0.25（米）0.25米＝2.5分米答：沙子厚2.5分米。（2）25×20×（12﹣10）＝500×2＝1000（立方厘米）答：石頭的體積是1000立方厘米。（3）2×2×6×3﹣2×2×4＝24×3﹣16＝72﹣16＝56（平方厘米）2×2×2×3＝8×3＝24（立方厘米）答：這個長方體的表面積是56平方厘米，體積是24立方厘米。故答案為：2.5；1000；56，24?！究键c評析】此題主要考查長方體、正方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。13．（2分）（2022春?東湖區(qū)期末）一個長方體魚缸底面長a分米，比寬多5分米，高是長的2倍。這個長方體魚缸的底面積是（a2﹣5a）平方分米，體積是（2a3﹣10a2）立方分米。（填字母式）【思路引導】根據(jù)長方體魚缸底面長a分米，比寬多5分米，求出寬是（a﹣5）分米，根據(jù)高是長的2倍，再求出高是2a分米；根據(jù)長方體底面積＝長×寬，長方體體積＝長×寬×，即可解答。【規(guī)范解答】解：長方體寬＝a﹣5（分米）長方體高＝2a（分米）長方體底面積＝a（a﹣5）＝a2﹣5a（平方分米）長方體體積＝a×（a﹣5）×2a＝2a2×（a﹣5）＝2a3﹣10a2（立方分米）答：這個長方體魚缸的底面積是（a2﹣5a）平方分米，體積是（2a3﹣10a2）立方分米。故答案為：（a2﹣5a），（2a3﹣10a2）?！究键c評析】此題主要考查長方體的底面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。三．判斷正誤（共5小題，滿分10分，每小題2分）14．（2分）（2023春?應城市期中）一個長方體的長、寬、高分別是a、b、h，且a＞b＞h，若把長方體切割成一個最大的正方體，則這個正方體的體積是a3?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)題意可知，把這個長方體切割成一個最大的正方體，這個正方體的棱長等于長方體的高，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個正方體的體積，然后與a3進行比較即可?！疽?guī)范解答】解：h×h×h＝h3答：這個正方體的體積是h3。因此題干中的結(jié)論是錯誤的。故答案為：×?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握長方體、正方體的特征，以及正方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。15．（2分）（2023春?沈丘縣期中）長方體是由6個長方形（特殊情況下有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形?！蹋ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等，相對棱的長度相等，相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高；據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：長方體一般是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形；題干說法正確。故答案為：√。【考點評析】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征及運用。16．（2分）（2023春?阜平縣期中）用兩塊同樣的橡皮泥分別捏成正方體和長方體，它們的體積一樣大?！蹋ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)體積的意義，物體所占空間的大小叫作物體的體積。據(jù)此解答即可。【規(guī)范解答】解：用兩塊同樣的橡皮泥分別捏成正方體和長方體，雖然形狀不同，但是體積不變，所以它們的體積一樣大。因此題干中的結(jié)論是正確的。故答案為：√?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握體積的意義及應用。17．（2分）（2023春?鎮(zhèn)平縣期中）如果一個長方體和一個正方體的底面周長相等，高也相等，那么正方體的體積一定大于長方體的體積?！蹋ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)長方形的周長＝（長+寬）×2，長方形的面積＝長×寬，正方形的周長＝邊長×4，正方形的面積＝邊長×邊長，作根據(jù)長方體、正方體的統(tǒng)一體積公式：V＝Sh，可以通過舉例證明。【規(guī)范解答】解：假設長方體和正方體的底面周長都是24厘米，高都是6厘米。長方體的長+寬＝24÷2＝12（厘米）如果長是10厘米，那么寬是2厘米。正方體的底面邊長是24÷4＝6（厘米）長方體的體積是10×2×6＝120（立方厘米）正方體的體積是6×6×6＝216（立方厘米）216＞120所以一個長方體和一個正方體的底面周長相等，高也相等，正方體的體積一定大于長方體的體積。因此題干中的結(jié)論是正確的。故答案為：√。【考點評析】此題主要考查長方形、正方形的周長公式、面積公式的靈活運用，長方體、正方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。18．（2分）（2021秋?偃師市期中）一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的體積是杯子體積的一半?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)杯子的容積就是牛奶的體積，解答此題即可?！疽?guī)范解答】解：一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的體積是杯子容積的一半，所以題干說法是錯誤的。故答案為：×?！究键c評析】根據(jù)體積和容積的區(qū)別，解答此題即可。四．計算能手（共2小題，滿分8分，每小題4分）19．（4分）（2022春?關(guān)嶺縣期末）計算如圖所示圖形的表面積和體積。（單位：cm）【思路引導】通過觀察圖形可知，從正方體的頂點處挖掉一個小長方體后，表面積不變，體積減少了。根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：5×5×6＝25×6＝150（平方厘米）5×5×5﹣4×2×2＝125﹣16＝109（立方厘米）答：它的表面積是150平方厘米，體積是109立方厘米。【考點評析】此題主要考查正方體、長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。20．（4分）（2022?杭州模擬）求如圖圖形的表面積和體積（單位：米）?！舅悸芬龑А繌膱D中可知，正方體與長方體有重合部分，把正方體的上面向下平移，補給長方體的上面，這樣長方體的表面積是完整的，而正方體只需計算4個面（前后面和左右面）的面積；組合圖形的表面積＝正方體4個面的面積+長方體的表面積；組合圖形的體積＝正方體的體積+長方體的體積；根據(jù)正方體4個面的面積＝棱長×棱長×4，長方體的表面積＝（長×寬+長×高+寬×高）×2，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可?！疽?guī)范解答】解：（1）正方體4個面的面積：2×2×4＝4×4＝16（平方米）長方體的表面積：（4×2+4×2+2×2）×2＝（8+8+4）×2＝20×2＝40（平方米）組合圖形的表面積：16+40＝56（平方米）（2）正方體的體積：2×2×2＝4×2＝8（立方米）長方體的體積：4×2×2＝8×2＝16（立方米）組合圖形的體積：8+16＝24（立方米）【考點評析】此題主要考查長方體、正方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。五．實際應用（共6小題，滿分24分，每小題4分）21．（4分）（2023春?雁江區(qū)期中）一個長方體鐵皮長50厘米，寬28厘米。如果從四個角剪去邊長6厘米的正方形，再折成一個無蓋的盒子，這個無蓋盒子的容積是多少？【思路引導】由題意可知，折成的無蓋盒子的長為（50﹣6﹣6）厘米，寬為（28﹣6﹣6）厘米，高為6厘米，根據(jù)長方體的體（容）積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算出這個盒子的容積即可?！疽?guī)范解答】解：（50﹣6﹣6）×（28﹣6﹣6）×6＝38×16×6＝3648（立方厘米）答：這個無蓋盒子的容積是3648立方厘米。【考點評析】解答本題需熟練掌握長方體的體（容）積公式，明確折成的盒子的長、寬、高是關(guān)鍵。22．（4分）（2023春?雁江區(qū)期中）一個正方體的容器，棱長12分米，裝滿水后，倒入一底面長20分米，寬15分米，高18分米的長方體容器中，現(xiàn)在水的深度是多少分米？【思路引導】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：12×12×12÷（20×15）＝144×12÷300＝1728÷300＝5.76（分米）答：現(xiàn)在水深5.76分米?！究键c評析】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。23．（4分）（2023春?歷城區(qū)期中）一塊體積為60立方米的長方體大理石，底面積為6平方米。這塊大理石的高是多少米？【思路引導】根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：60÷6＝10（米）答：這塊大理石的高是10米?！究键c評析】此題主要考查長方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。24．（4分）（2023春?應城市期中）工廠挖了一個長40m，寬20m，深2m的長方體蓄水池。要在蓄水池的底面和四壁抹水泥，若每平方米用水泥2.5kg，那么一共需要水泥多少千克？【思路引導】根據(jù)無蓋長方體的表面積公式：S＝ab+2ah+2bh，把數(shù)據(jù)代入公式求出抹水泥的面積，然后再乘每平方米用水泥的質(zhì)量即可?！疽?guī)范解答】解：（40×20+40×2×2+20×2×2）×2.5＝（800+160+80）×2.5＝1040×2.5＝2600（千克）答：一共需要水泥2600千克?！究键c評析】此題主要考查無蓋長方體表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。25．（4分）（2023春?云浮期中）一個長方體形狀的游泳池，長50米，寬30米，深2米。要給游泳池的底面和四壁抹一層水泥，如果每平方米用水泥12千克，22噸水泥夠不夠用？【思路引導】根據(jù)無蓋長方體的表面積公式：S＝ab+2ah+2bh，把數(shù)據(jù)代入公式求出抹水泥的面積，然后再乘每平方米用水泥的質(zhì)量，求出一共需要水泥多少噸，再與22噸進行比較即可?！疽?guī)范解答】解：（50×30+50×2×2+30×2×2）×12＝（1500+200+120）×12＝1820×12＝21840（千克）21850千克＝21.8噸22噸＞21.84噸答：22噸水泥夠?！究键c評析】此題主要考查長方體表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。26．（4分）（2022?南岸區(qū)）如圖，一個棱長為25厘米的正方體密閉容器內(nèi)裝有一些水，在容器的底部粘著一個底面積為125平方厘米的長方體實心鐵塊，容器內(nèi)水面高度恰好與鐵塊的上表面持平。把容器倒置過來后，仍有一部分鐵塊在水面以下，此時水面的高度為15厘米。這個長方體實心鐵塊的高度是多少厘米？【思路引導】由題意可知，水的體積不變。設這個長方體實心鐵塊的高度是x厘米，根據(jù)左圖得水的體積為（25×25×x﹣125×x）立方厘米；右圖中鐵塊在水下的高度為[x﹣（25﹣15）]厘米，水的體積為25×25×15立方厘米減去125×[x﹣（25﹣15）]立方厘米，據(jù)此列方程解答?！疽?guī)范解答】解：設這個長方體實心鐵塊的高度是x厘米。25×25×x﹣125×x＝25×25×15﹣125×[x﹣（25﹣15）]500x＝9375﹣125x+1250500x+125x＝10625﹣125x+125x625x÷625＝10625÷625x＝17答：這個長方體實心鐵塊的高度是17厘米?！究键c評析】本題考查了長方體和正方體體積公式的靈活應用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)水的體積一定列方程。六．動手操作（共2小題，滿分9分）27．（5分）（2022春?樂陵市期末）體積的測量。用1cm3的體積單位測量了長方體盒子的體積，我發(fā)現(xiàn)：長方體盒子一行擺6個，有2行，有3層，共有36個體積單位，所以長方體盒子的體積是36cm3?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)長方體體積公式的推導過程可知，長方體所包含的體積單位的個數(shù)正好等于長、寬、高的乘積。據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：通過觀察圖形我發(fā)現(xiàn)：長方體盒子一行擺6個，有2行，有3層，6×2×3＝36（個）所以共有36個體積單位，長方體盒子的體積是36立方厘米。故答案為：6，2，3，36，36。【考點評析】此題考查的目的是理解掌握長方體體積公式的推導過程及應用。28．（4分）（2020秋?宜興市期末）用3個同樣的小長方體（如圖），拼成一個大長方體，可以怎樣拼？先想象操作，再填一填。（單位：厘米）拼成的大長方體中，表面積最小42平方厘米，表面積最大是58平方厘米?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)題意，用3個同樣的小長方體，拼成一個大長方體，有三種不同的拼法，要使表面積最小，也就是把3個長方體的最大面重合拼在一起；要使表面積最大，也就是把3個長方體的最小面重合拼在一起。根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：最大面重合拼成一個長3厘米，寬3厘米，高2厘米的長方體。（3×3+3×2+3×2）×2＝（9+6+6）×2＝21×2＝42（平方厘米）最小重合拼成一個長9厘米，寬1厘米，高2厘米的長方體。（9×1+9×2+1×2）×2＝（9+18+2）×2＝29×2＝58（平方厘米）答：表面積最小是42平方厘米，最大是58平方厘米。故答案為：42，58。【考點評析】此題主要考查長方體的表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是明確：要使表面積最小，也就是把3個長方體的最大面重合拼在一起；要使表面積最大，也就是把3個長方體的最小面重合拼在一起。七．解決問題（共5小題，滿分22分）29．（4分）（2023春?鎮(zhèn)原縣期中）王叔叔有一張長60cm、寬40cm的長方形鐵皮，他想在它的四個角各剪去一個邊長為5cm的小正方形（如圖），然后焊接成一個無蓋的鐵皮盒子。（1）你來幫李叔叔算一算。這個盒子的容積是多少立方分米？（鐵皮厚度忽略不計）（2）如果把這個盒子里裝滿水，再把棱長為4cm的正方體鐵塊沉入水中，則流出來的水的體積是多少立方厘米？【思路引導】（1）通過觀察圖形可知，這個盒子的長是（60﹣5﹣5）厘米，寬是（40﹣5﹣5）厘米，高是5厘米，根據(jù)長方體的容積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)題意可知，把正方體鐵塊放入這個盒子里，溢出水的體積就等于這個鐵塊的體積，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)