2.1 因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識（學(xué)霸課堂筆記） 數(shù)學(xué)五年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

2.1因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識第一部分第一部分知識清單在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為0），我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)（也稱約數(shù)），被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，我們所指的數(shù)是自然數(shù)（一般不包括0）。如果a×b=c(a,b,c都是不為0的自然數(shù))，那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)。第二部分第二部分典型例題例1：一個(gè)數(shù)既是32的因數(shù)，又是32的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是（

）。A．16 B．32 C．64答案：B分析：一個(gè)數(shù)最大因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)最小倍數(shù)是它本身，據(jù)此解答。詳解：根據(jù)分析可知，一個(gè)數(shù)既是32的因數(shù)，又是32的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是32。故答案為：B例2：，那么28是4和7的()，4和7是28的()。答案：倍數(shù)因數(shù)分析：a×b＝c（a、b、c均為非0自然數(shù)），那么a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。據(jù)此解題。詳解：4×7＝28，那么28是4和7的倍數(shù)，4和7是28的因數(shù)。例3：因?yàn)?0÷5＝8，所以40是倍數(shù)，5是因數(shù)。()答案：×分析：在整數(shù)除法中，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是商和除數(shù)的倍數(shù)，商和除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，一般我們說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。據(jù)此判斷即可。詳解：因?yàn)?0÷5＝8，所以40是5和8的倍數(shù)，5和8是40的因數(shù)，原題干說法錯(cuò)誤。故答案為：×例4：早餐店有三種規(guī)格的油桶，分別是5千克裝、10千克裝和2千克裝。店長買回75千克豆油，用哪種規(guī)格的油桶能正好把豆油裝完？需要多少個(gè)這樣的油桶？答案：5千克裝；15個(gè)分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)；根據(jù)“正好把豆油裝完”，所以在5、10和2這三個(gè)數(shù)中，能整除75的數(shù)字，即是要選擇的桶；因?yàn)橘I回來75千克豆油，75的個(gè)位數(shù)字是5，得出能被5整除，所以選用5千克裝，據(jù)此解答即可。詳解：在5、10和2中，是75因數(shù)的只有5。75÷5＝15（個(gè)）答：用5千克裝的油桶能正好把豆油裝完；需要15個(gè)這樣的油桶。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．有一些6厘米和7厘米長的小棒，從中取出一些接在一起不能得到的長度（

）。A．29厘米 B．30厘米 C．31厘米2．蛋糕店的張師傅要把做好的45塊蛋糕裝進(jìn)6個(gè)盒子里。張師傅至少再做（

）塊蛋糕，才能使每個(gè)盒子里蛋糕的塊數(shù)相同。A．1 B．2 C．33．繼共享單車后，某公司推出了共享籃球，他們準(zhǔn)備在每個(gè)體育場門口放60個(gè)籃球方便大家使用。下面三種包裝方式中，（

）種包裝方式能正好裝完。A． B． C．4．能表示因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系的等式是（

）。A．4×0.25＝1 B．3×7＝21 C．5×0＝05．如果a÷b＝，（a、b都是非0自然數(shù)）那么（

）。A．a(chǎn)＝1，b＝4 B．b是a的4倍 C．a(chǎn)是b的4倍二、填空題6．?dāng)?shù)a是一個(gè)不為零的自然數(shù)，它的最大因數(shù)是()，最小倍數(shù)是()。7．在5×7＝35中，()是7的倍數(shù)，()和()都是35的因數(shù)。8．根據(jù)32÷8＝4，()是()的因數(shù)；()是()的倍數(shù)。9．一個(gè)數(shù)既是28的因數(shù)，又是28的倍數(shù)。這個(gè)數(shù)是()。10．一個(gè)自然數(shù)，它的最大因數(shù)是25，這個(gè)自然數(shù)是()；一個(gè)自然數(shù)，它的最小倍數(shù)是18，這個(gè)自然數(shù)是()。三、判斷題11．18既是3的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)。()12．16的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是16。()13．27是倍數(shù)，4是因數(shù)。()14．因?yàn)椋?6是倍數(shù)，3是因數(shù)。()15．一個(gè)整數(shù)a（a≠0）的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是a。()16．一個(gè)數(shù)的因數(shù)一定小于這個(gè)數(shù)，倍數(shù)可能等于這個(gè)數(shù)。()：培優(yōu)提升練四、解答題17．飯店有三種規(guī)格的油桶，分別是5千克裝、10千克裝和3千克裝。店長買回45千克菜籽油，用哪一種規(guī)格的油桶能正好把菜籽油裝完？需要多少個(gè)這樣的油桶？18．一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)的和是58，這個(gè)數(shù)是多少？19．如果用“2→8”表示2是8的因數(shù)，請你用“→”表示下面圖中各數(shù)之間的關(guān)系。20．下面的4組數(shù)中，誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？5和45

56和7

65和13

8和9621．選擇包裝盒并說明理由。設(shè)計(jì)與上面不同的其它包裝方式，并給予說明。22．某單位有員工共99人，準(zhǔn)備租車郊游，客車公司有以下幾種客車。要使租的車上空位最少，應(yīng)租哪種車？為什么？車型大客車中型客車小客車座位數(shù)583316

1．A分析：接在一起能得到的長度最短應(yīng)該是6的倍數(shù)，最長應(yīng)該是7的倍數(shù)，由于木條的長為6厘米和7厘米兩種，則共4根時(shí)，長度在24厘米和28厘米之間；共5根時(shí)，長度在30厘米和35厘米之間，依此即可求解。詳解：由分析可知：從中取出一些接在一起不能得到的長度是29厘米。故答案為：A點(diǎn)睛：考查了數(shù)字和問題，注意本題木條的根數(shù)為整數(shù)，依此可得木條接起來長度的區(qū)間。2．C分析：要使每個(gè)盒子里蛋糕的塊數(shù)相同，就是把45塊蛋糕平均分成6份，先用45除以6，求出平均每個(gè)盒子里的蛋糕塊數(shù)，以及剩余的蛋糕塊數(shù)，再用6減去余下的塊數(shù)，就是還需要再做的蛋糕塊數(shù)。詳解：45÷6＝7（塊）……3（塊）6－3＝3（塊）至少再做3塊蛋糕，才能使每個(gè)盒子里蛋糕的塊數(shù)相同。故答案為：C點(diǎn)睛：本題考查因數(shù)與倍數(shù)的運(yùn)用，也可以列舉出6的倍數(shù)，找到48是6的倍數(shù)且48＞45，即可得解。3．C分析：要求60個(gè)籃球哪種包裝方式能正好裝完，也就是求哪個(gè)數(shù)是60的因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：由分析得，因?yàn)樵?、9、12中只有12是60的因數(shù)，所以C種包裝方式能正好裝完。故選：C點(diǎn)睛：此題考查的是因數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握因數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵。4．B分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。詳解：根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義可知：A．4×0.25＝1，其中0.25是小數(shù)，所以4×0.25＝1不能表示因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系；B．3×7＝21，即21÷3＝7，是整除算式，所以3×7＝21能表示因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系；C．5×0＝0，即0÷5＝0，被除數(shù)和商都是0，所以5×0＝0不能表示因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系。故答案為：B點(diǎn)睛：本題考查因數(shù)和倍數(shù)的意義，明確因數(shù)和倍數(shù)是在整數(shù)范圍內(nèi)討論。5．B分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。必須說，誰是誰因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，據(jù)此解答。詳解：由分析可得：如果a÷b＝，（a、b都是非0自然數(shù)）那么b是a的4倍。故答案為：B點(diǎn)睛：掌握因數(shù)和倍數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。6．a(chǎn)a分析：一個(gè)非0自然數(shù)的最大因數(shù)是本身，最小倍數(shù)也是本身。據(jù)此解題。詳解：數(shù)a是一個(gè)不為零的自然數(shù)，它的最大因數(shù)是a，最小倍數(shù)是a。點(diǎn)睛：本題考查了因數(shù)和倍數(shù)，掌握因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。7．3575分析：如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然數(shù)），那么b，c就是a的因數(shù)，a就是b，c的倍數(shù)。根據(jù)因數(shù)、倍數(shù)意義解答即可。詳解：由5×7＝35可知：35÷7＝5或35÷5＝7，根據(jù)因數(shù)、倍數(shù)的意義可知：在5×7＝35中，35是7的倍數(shù)，7和5都是35的因數(shù)（或5和7都是35的因數(shù)）。點(diǎn)睛：因數(shù)與倍數(shù)都不能單獨(dú)存在，不能說誰是倍數(shù)，誰是因數(shù)，應(yīng)該說誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。8．832328分析：在整數(shù)除法中，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答即可。詳解：由分析可知：根據(jù)32÷8＝4，8是32的因數(shù)；32是8的倍數(shù)。點(diǎn)睛：本題考查因數(shù)和倍數(shù)，明確因數(shù)和倍數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。9．28分析：一個(gè)非0自然數(shù)的最大因數(shù)是它本身，最小倍數(shù)也是它本身。據(jù)此解答即可。詳解：28的最大因數(shù)是28，28的最小倍數(shù)是28。所以若這個(gè)數(shù)既是28的因數(shù)，又是28的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是28。點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是明確因數(shù)和倍數(shù)的意義。一個(gè)數(shù)既是它本身的最大因數(shù)，也是它本身的最小倍數(shù)。10．2518分析：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)。詳解：一個(gè)自然數(shù)，它的最大因數(shù)是25，這個(gè)自然數(shù)是25；一個(gè)自然數(shù)，它的最小倍數(shù)是18，這個(gè)自然數(shù)是18。點(diǎn)睛：本題考查因數(shù)和倍數(shù)的知識，明確一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身是解題的關(guān)鍵。11．√分析：18÷3＝6，18÷6＝3，18是3的6倍，是6的3倍，據(jù)此判斷。詳解：由分析得：18既是3的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)。題干敘述正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是正確理解倍數(shù)的定義。12．√分析：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是本身，一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)也是本身。據(jù)此解題。詳解：16的最大因數(shù)是16，16的最小倍數(shù)也是16。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了因數(shù)和倍數(shù)，掌握因數(shù)和倍數(shù)的特征是解題的關(guān)鍵。13．×分析：根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，如果數(shù)a能被數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；因數(shù)和倍數(shù)是相對的，是相互依存的，不能單獨(dú)存在，只能說一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或另一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)的因數(shù)；據(jù)此判斷。詳解：根據(jù)分析可知，不能單獨(dú)說這個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。所以原題干說法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義進(jìn)行分析、解答即可。14．×分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)；據(jù)此解答。詳解：因?yàn)?6÷3＝12，所以36是3的倍數(shù)，3是36的因數(shù)；因此36是倍數(shù)，3是因數(shù)，說法錯(cuò)誤。。故答案為：×點(diǎn)睛：此題考查因數(shù)和倍數(shù)的意義，注意因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，掌握因數(shù)和倍數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵。15．√分析：根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的是它本身，沒有最大的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)＝最小的倍數(shù)＝這個(gè)數(shù)本身。據(jù)此解答。詳解：根據(jù)分析得，一個(gè)整數(shù)a（a≠0）的最大因數(shù)等于最小倍數(shù)等于它本身，都是a。故答案為：√點(diǎn)睛：此題的解題關(guān)鍵是掌握一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特征。16．×分析：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)也是它本身。據(jù)此判斷。詳解：一個(gè)整數(shù)，比如5，它的最大因數(shù)是5，最小倍數(shù)也是5；所以一個(gè)數(shù)的因數(shù)可能小于或等于這個(gè)數(shù)，倍數(shù)可能等于這個(gè)數(shù)。原題說法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：了解一個(gè)數(shù)最大因數(shù)是它本身，最小倍數(shù)也是它本身這個(gè)知識點(diǎn)是解答的關(guān)鍵。學(xué)習(xí)時(shí)注意知識的歸納。17．5千克裝或3千克裝；9個(gè)5千克裝的油桶或15個(gè)3千克裝的油桶分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)；如果剛好把菜籽油裝完，那么菜籽油的總質(zhì)量是油桶可以裝菜籽油質(zhì)量的倍數(shù)，需要油桶的數(shù)量＝菜籽油的總質(zhì)量÷每個(gè)油桶可以裝菜籽油的質(zhì)量，據(jù)此解答。詳解：45÷5＝9（個(gè)）45÷3＝15（個(gè)）由上可知，45是5和3的倍數(shù)，則用5千克裝或3千克裝的油桶能正好把菜籽油裝完，需要5千克裝的油桶9個(gè)或3千克裝的油桶15個(gè)。答：用5千克裝或3千克裝的油桶能正好把菜籽油裝完，需要9個(gè)5千克裝的油桶或15個(gè)3千克裝的油桶。點(diǎn)睛：本題主要考查因數(shù)、倍數(shù)的應(yīng)用，掌握因數(shù)、倍數(shù)的意義是解答題目的關(guān)鍵。18．29分析：由“一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)也是它本身”可知，一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)的和是58，也就是說這個(gè)和是它本身的2倍，用和除以2即可求出這個(gè)數(shù)。詳解：58÷2＝29答：這個(gè)數(shù)是29。點(diǎn)睛：本題考查因數(shù)和倍數(shù)的知識，明確一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身是解題的關(guān)鍵。19．見詳解分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均為非0的自然數(shù)）中，a、b就是c的因數(shù)，c就是a、b的倍數(shù)。詳解：3×2＝6、3×6＝18、3×8＝246×3＝18、6×4＝24點(diǎn)睛：關(guān)鍵是理解因數(shù)和倍數(shù)的含義，因數(shù)和倍數(shù)兩個(gè)不同的概念是相互依存的，不能單獨(dú)存在。20．5是45的因數(shù)，45是5的倍數(shù)；7是56的因數(shù)，56是7的倍數(shù)；8是96的因數(shù)，96是8的倍數(shù)分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均為非0的自然數(shù)）中，a、b就是c的因數(shù)，c就是a、b的倍數(shù)。詳解：5×9＝45、5是45的因數(shù)，45是5的倍數(shù)；7×8＝56、7是56的因數(shù)，56是7的倍數(shù)；8×12＝96、8是96的因數(shù)，96是8的倍數(shù)。點(diǎn)睛：因數(shù)和倍數(shù)兩個(gè)不同的概念是相互依存的，不能單獨(dú)存在。21．見詳解分析：由題意可知，若包裝盒內(nèi)能裝的瓶數(shù)能夠整除90即正好能夠裝完。據(jù)此解答即可。詳解：可以選擇四種包裝盒中的3瓶裝、5瓶裝或6瓶裝。理由：90＝3×30＝6×15＝18×5創(chuàng)新包裝：還可以設(shè)