新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第19講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（講）（解析版）

第02講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系本講為高考命題熱點，通常以選擇題出現(xiàn)，但出現(xiàn)頻次較少，往往與其他知識點結(jié)合，考察空間想象能力與邏輯推理能力.考點一平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.考點二空間點、直線、平面的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α考點三平行公理與等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.考點四異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).考點五常用結(jié)論1.公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.3.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.高頻考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（1）如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()答案D解析對于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四點共面；同理，B，C圖中四點也共面；D中四點不共面.（2）如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC答案C解析由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上.又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.（3）在三棱錐A－BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上答案B解析如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.【方法技巧】1.證明點或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.2.證明點共線問題的兩種方法：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上.3.證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.高頻考點二空間兩直線的位置關(guān)系【例1】(1)(2022·廣州六校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，有下列四個結(jié)論：①AP與CM是異面直線；②AP，CM，DD1相交于一點；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正確結(jié)論的序號是()A.①④ B.②④C.①③④ D.②③④(2)(2019·全國Ⅲ卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線答案(1)B(2)B解析(1)連接MP，AC(圖略)，因為MP∥AC，MP≠AC，所以AP與CM是相交直線，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一點，則①不正確，②正確.③令A(yù)C∩BD＝O，連接OD1，ON.因為M，N分別是C1D1，BC的中點，所以O(shè)N∥D1M∥CD，ON＝D1M＝eq\f(1,2)CD，則四邊形MNOD1為平行四邊形，所以MN∥OD1，因為MN?平面BD1D，OD1?平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，③不正確，④正確.綜上所述，②④正確.(2)取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO?平面ECD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，交CD于點P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，故選B.【方法技巧】空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2021·河南名校聯(lián)考)已知空間三條直線l，m，n，若l與m垂直，l與n垂直，則()A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n平行、相交、異面均有可能答案D解析因為m⊥l，n⊥l，結(jié)合長方體模型可知m與n可以相交，也可以異面，還可以平行.2.(2021·宜賓質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法錯誤的是()A.MN與PD是異面直線 B.MN∥平面PBCC.MN∥AC D.MN⊥PB答案C解析如圖所示，取PB的中點H，連接MH，HC，由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，事實上AC∩CH＝C，C說法不正確；因為PC＝BC，H為PB的中點，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.高頻考點三異面直線所成的角【例3】(1)(經(jīng)典母題)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)(2)(2022·衡水檢測)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16) D.eq\f(\r(11),3)答案(1)C(2)D解析(1)法一如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補角.因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5).所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5).故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).法二以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.由條件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，eq\r(3))，B1(1，1，eq\r(3))，所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1，1，eq\r(3)).則cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).(2)如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角.∵SE＝eq\f(1,4)SB，∴SE＝eq\f(1,3)BE.又OB＝3，∴OF＝eq\f(1,3)OB＝1.∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3eq\r(2).∵SO⊥OF，∴SF＝eq\r(SO2＋OF2)＝eq\r(10).∵OC⊥OF，∴CF＝eq\r(10).∴在等腰△SCF中，tan∠CSF＝eq\f(\r(（\r(10)