八年級數(shù)學(xué)人教版（上冊）12.3 第2課時 角平分線的判定

第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)第2課時

角平分線的判定目錄頁講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解角平分線判定定理.(難點(diǎn)）2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.（重點(diǎn)）3.學(xué)會判斷一個點(diǎn)是否在一個角的平分線上.新課導(dǎo)入ODPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.1.敘述角平分線的性質(zhì)定理不必再證全等E復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入2.我們知道，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課1角平分線的判定PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．問題：交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE幾何語言：猜想:思考：這個結(jié)論正確嗎？講授新課已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，∴點(diǎn)P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE證明猜想判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.總結(jié)

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點(diǎn)撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點(diǎn)到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點(diǎn).例1

如圖，BE＝CF，DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于

點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.

導(dǎo)引：要證AD平分∠BAC，已知條件中有兩個垂直，

即有點(diǎn)到角的兩邊的距離，再證這兩個距離相等即可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相等，可通過證明△BDE和△CDF全等來完成．例2證明：∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∠BDE＝∠CDF∠DEB＝∠DFCBE＝CF∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.

又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴AD平分∠BAC.練一練如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點(diǎn)P是(

)A．線段CD的中點(diǎn)B．CD與過點(diǎn)O作CD的

垂線的交點(diǎn)C．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)D．以上均不對C總結(jié)證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應(yīng)用角平分線的定義.(2)定理法：應(yīng)用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”來判定.判定角平分線時，需要滿足兩個條件：“垂直”和“相等”.2三角形的內(nèi)角平分線活動1分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)活動2分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等你能證明這個結(jié)論嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明結(jié)論想一想：點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.這個交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心.D

E

F

A

B

C

P

N

M

練一練到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的(

)A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)

D．以上均不對

BMENABCPOD變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用答案：12解：連接OCMENABCPOD變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.1、應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2、聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長條件知識與方法

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.例3方法總結(jié)：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPCOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPC角的平分線的判定歸納總結(jié)當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1、在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是()A．點(diǎn)MB．點(diǎn)NC．點(diǎn)PD．點(diǎn)QA2、如圖，在△ABC中，分別與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上結(jié)論都正確B當(dāng)堂練習(xí)3、如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延長線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得S△PAB＝S△PCD，則滿足此條件的點(diǎn)P(

)A．有且只有1個B．有且只有2個C．組成∠E的平分線D．組成∠E的平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)D當(dāng)堂練習(xí)4、如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.4∶5∶6當(dāng)堂練習(xí)5、如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．證明：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，

∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上．

∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．

同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，

∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

當(dāng)堂練習(xí)6、如圖，點(diǎn)P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分線的交點(diǎn)，求證：AP平分∠BAC.證明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分別為Q，M，N.∵P點(diǎn)在∠CBE和∠BCF的平分線上，

∴PM=PQ，PN=PQ，

∴PM=PN.NQM

又PM⊥AE，PN⊥AF，

∴AP平分∠BAC.當(dāng)堂練習(xí)7、已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點(diǎn)C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.證明：∵OD平分線∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.

在△AOD與△BOD中，

∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，

∴△AOD≌△BOD.

∴∠ADO=∠BDO.

∵CM⊥A