九年級數(shù)學(xué)人教版（上冊）22.3第1課時 二次函數(shù)與圖形面積

第二十二章二次函數(shù)22.3

實際問題與二次函數(shù)第1課時二次函數(shù)與圖形面積目錄頁講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點學(xué)習(xí)目標(biāo)1.分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.（難點）2.會運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值.3.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形中最大面積問題.（重點）新課導(dǎo)入寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并寫出其最值.（1）y=x2-4x-5;(配方法)（2）y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）開口方向：向上；對稱軸：x=2；頂點坐標(biāo)：（2，-9）；最小值：-9；（2）開口方向：向下；對稱軸：x=；頂點坐標(biāo)：（

，

）；最大值：.講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課問題1二次函數(shù)的最值由什么決定？xyOxyO最小值最大值二次函數(shù)的最值由a及自變量的取值范圍決定.求二次函數(shù)得最大（或最?。┲?合作探究講授新課問題2當(dāng)自變量x為全體實數(shù)時，二次函數(shù)

的最值是多少？當(dāng)a＞0時，有，此時.

當(dāng)a＜0時，有，此時.問題3當(dāng)自變量x有限制時，二次函數(shù)

的最值如何確定？講授新課

求下列函數(shù)的最大值與最小值x0y解：-31（1）當(dāng)時，當(dāng)時，例1解：（2）即x在對稱軸的右側(cè).當(dāng)時，函數(shù)的值隨著x的增大而減小.當(dāng)

時，0xy1-3當(dāng)自變量的范圍有限制時，二次函數(shù)的最值可以根據(jù)以下步驟來確定：1、配方，求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)及對稱軸.2、畫出函數(shù)圖象，標(biāo)明對稱軸，并在橫坐標(biāo)上標(biāo)明x的取值范圍.3、判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關(guān)系.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當(dāng)x取何值時函數(shù)有最大或最小值.然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值.方法歸納引例:從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2

可以看出，這個函數(shù)的圖象是一條拋物看線的一部分，這條拋物線的頂點是這個函數(shù)的圖象的最高點.也就是說，當(dāng)t取頂點的橫坐標(biāo)時，這個函數(shù)有最大值.二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值2

由于拋物線y=ax2

+

bx+c的頂點是最低（高）點，

當(dāng)時，二次函數(shù)

y=ax2

+

bx+c有最?。ù螅┲迪胍幌耄喝绾吻蟪龆魏瘮?shù)y=ax2

+

bx+c的最?。ù螅┲?？

小球運動的時間是

3s時，小球最高.小球運動中的最大高度是45m．t/sh/mO1234562040h=30t-5t2

用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當(dāng)l是多少時，場地的面積S最大？問題1

矩形面積公式是什么？問題2

如何用l表示另一邊？問題3

面積S的函數(shù)關(guān)系式是什么？例2解:根據(jù)題意得S=l(30-l),即S=-l2+30l(0<l<30).因此，當(dāng)時，S有最大值也就是說，當(dāng)l是15m時，場地的面積S最大.51015202530100200lsO變式1

如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？xx60-2x問題2

我們可以設(shè)面積為S，如何設(shè)自變量？問題3

面積S的函數(shù)關(guān)系式是什么？問題1

變式1與例題有什么不同？設(shè)垂直于墻的邊長為x米S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.問題4

如何求解自變量x的取值范圍？墻長32m對此題有什么作用？問題5

如何求最值？最值在其頂點處，即當(dāng)x=15m時，S=450m2.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.變式2

如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？x問題1

變式2與變式1有什么異同？問題2

可否模仿變式1設(shè)未知數(shù)、列函數(shù)關(guān)系式？問題3

可否試設(shè)與墻平行的一邊為x米？則如何表示另一邊與面積？答案：設(shè)矩形面積為Sm2,與墻平行的一邊為x米，則問題4

當(dāng)x=30時，S取最大值，此結(jié)論是否正確？問題5

如何求自變量的取值范圍？0＜x

≤18.問題6

如何求最值？由于30＞18，因此只能利用函數(shù)的增減性求其最值.當(dāng)x=18時，S有最大值是378.不正確.

實際問題中求解二次函數(shù)最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據(jù)自變量的取值范圍.通過變式1與變式2的對比，希望同學(xué)們能夠理解函數(shù)圖象的頂點、端點與最值的關(guān)系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值.方法總結(jié)

用長為6米的鋁合金材料做一個形狀如圖所示的矩形窗框.窗框的高于寬各位多少時，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？（鋁合金型材寬度不計）x解：設(shè)矩形窗框的寬為xm，則高為m.這里應(yīng)有x＞0，故0＜x＜2.矩形窗框的透光面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：例3即配方得所以，當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最大值，最大值y=1.5.x=1滿足0＜x＜2，這時因此，所做矩形窗框的寬為1m、高為1.5m時，它的透光面積最大，最大面積是1.5m2.二次函數(shù)解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.檢查求得的最大值或最小值對應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi).

知識要點當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)2、用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2

的長方形，a的值不可能為(

)A．20B．40C．100D．120

1、已知一個直角三角形兩直角邊長之和為20cm，則這個直角三角形的最大面積為()A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不確定BD3、如圖1，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm,動點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始BC以4cm/s的速度移動（不與點C重合）.如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過

秒，四邊形APQC的面積最小.ABCPQ圖13當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)4、如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD互相垂直，AC+BD=10，當(dāng)AC、BD的長是多少時，四邊形ABCD的面積最大？解：設(shè)AC=x,四邊形ABCD面積為y,則BD=(10-x).即當(dāng)AC、BD的長均為5時，四邊形ABCD的面積最大.當(dāng)堂練習(xí)5、用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園(如圖所示),墻長為18m,這個矩形的長,寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?解：設(shè)矩形的長為xm,面積為ym2,則矩形的寬為m.

∴0<x≤18.當(dāng)堂練習(xí)6、某廣告公司設(shè)計一幅周長為12m的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費用每平方米1000元，設(shè)矩形的一邊長為x(m),面積為S(m2).(1)寫出S與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

解：(1)設(shè)矩形一邊長為x，則另一邊長為（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.