2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基本初等函數(shù)與函數(shù)的零點 周測卷三

考案［四］周測卷(三)基本初等函數(shù)與函數(shù)的零點

(本試卷滿分120分，測試時間90分鐘)

一、單選題(本題共8個小題，每個小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的)

2

1.(2024?廣西百色期末)已知幕函數(shù)f(x)=(憂-0+l)/+i在(0,+8)上單調(diào)遞減,

則小的值為(A)

A.0B.1

C.0或1D.—1

［解析］依據(jù)塞函數(shù)的定義，求得"=0或勿=1,結(jié)合嘉函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.由題

2

意,事函數(shù)f(x)=Gz/—〃+l)x"可得02一0+1=1,解得必=0或0=1,當(dāng)勿=0時，

可得f(x)=x2,可得/U)在(0,+8)上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)必=1時，可得/'(x)=x。,

可得f(x)在(0,+8)上無單調(diào)性，不符合題意，綜上可得，實數(shù)〃的值為0.故選：A.

PX—I-P-X

2.(2024?江西南昌高校附屬中學(xué)期末)函數(shù)Ax)=三丁丁的圖象大致是(D)

D

XI-X

［解析］由指數(shù)函數(shù)的增長是“爆炸性增長”知，對于函數(shù)f(x)P=—IM-P7而言，當(dāng)

X-8時，f(x)-+8,故解除B,C；然后依據(jù)特別值比較出/UXHO),解除A,從而得

XI—X

出結(jié)論.由指數(shù)函數(shù)的增長是“爆炸性增長”知，對于函數(shù)/1(X)p=-4—7pR而言，當(dāng)L8

時，f(x)—+8,故解除B,C；又/'(0)=2,<^-<2=/(0),故函數(shù)先減后增，

解除A,故選：D.

3.(2024?全國模擬預(yù)料)若a=log62,6=logi55,c=log2i7,則(A)

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.a>b>c

[解析]依據(jù)對數(shù)的運算將a,b,c化簡，然后構(gòu)造函數(shù)，推斷該函數(shù)的單調(diào)性，由此

推斷a,b,c的大小關(guān)系.由題意可得魯],c=/7令f(力

l+log32l+log35l+log37

x]

=百金=1一3力，x>0,則f(x)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，又0〈log32〈log35〈log37,

所以a=f(log32)〈6=F(log35)<c=F(log37),即以僅c,故選：A.

4.(2024?全國專題練習(xí))在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次所取的區(qū)

間是[—3,5],則第三次所取的區(qū)間可能是(C)

A.[1,5]B.[-2,1]

C.[1,3]D.[2,5]

[解析]由第一次所取的區(qū)間是[—3,5],取該區(qū)間的中點，可得其次次所取的區(qū)間，

利用同樣的方法得到第三次所取的區(qū)間.因為第一次所取的區(qū)間是[-3,5],所以其次次所

取的區(qū)間可能是[—3,1],[1,5],則第三次所取的區(qū)間可能是[—3,-1],[-1,1],[1,

3],[3,5],故選：C.

X2,Xd(—8,Q)

5.(2024?河南高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)={lnx,xd(0,1),

、一V+4X-3,xG[l,+8)

若函數(shù)g(x)=f(x)—加恰有兩個零點，則實數(shù)0不行能是(D)

A.-1B.0

C.1D.2

[解析]依題意畫出函數(shù)圖象，函數(shù)g(x)=f(x)—/的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與函

數(shù)y=R的交點，數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)⑷的取值范圍；解：因為/<x)=

'X1,xG(―0°,0)

<lnx,xe(0,1),畫出函數(shù)圖象如下所示，

、一卡+4矛一3,xG[1,+0O)

函數(shù)g(x)=F(X)一0的有兩個零點，即方程g(x)=F(x)一勿=0有兩個實數(shù)根，即廣(X)

=m,即函數(shù)y=F(x)與函數(shù)y=R有兩個交點，由函數(shù)圖象可得"W0或%=1,故選：D.

6.(2024?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)期末)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|引)一擊，則

使得f(x)〈/X2x—1)成立的x的取值范圍是(B)

A.R1)

B.(-8,(1,+oo)

c-

D.(一8,f,+8)

[解析]先利用定義推斷f(x)的奇偶性，再由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)推斷單調(diào)性，利用函

數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫掉f解不等式即可求解.函數(shù)f(x)=ln(1+Ix|)一擊的定

義域為R,『(一x)=ln(l+|x|)—4=f(x),可得F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)〈F(2x—1)

等價于f(|x|)〈f(|2x—11)；當(dāng)x>0時，f(x)=ln(1+x)—因為y=ln(1+x)單調(diào)

遞增，y=G單調(diào)遞減，所以f3=ln(1+x)一擊為單調(diào)遞增函數(shù)，所以|x|<|2x—

1|,即x、(2x—1M,整理可得3f—4x+l〉0,解得：x>l或器，所以使得/'(王)"3—1)

成立的x的取值范圍(一8,Ju(l,+8),故選：B.

[Iog2x,x>0

7.(2024?全國高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=…_有且只有一個零點，則

[-2~a,xWO

a的取值范圍是(B)

A.(―0°,—1)U(0,+°°)

B.(一8,—1)U[0,+°°)

C.[-1,0)

D.[0,+°°)

[解析]由f{x)=0可知當(dāng)x>0時，因為log21=0,所以有一個零點，進(jìn)而可知當(dāng)W0

時，函數(shù)『(x)沒有零點即可，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)探討得出結(jié)果.解：當(dāng)x〉0時，因

[log2x,x>Q

為log?1=0,所以有一個零點，所以要使函數(shù)/1(x)=X1有且只有一個零點，

[-2-3,xWO

則當(dāng)WO時，函數(shù)/'(x)沒有零點即可，當(dāng)良0時，O〈2*W1,1W—2'<0,—1—aW—

2'—a<—a,所以一aWO或一1—a>0,即a2O或a<—1.即a的取值范圍是(-8,-1)U［0,

+8).故選：B.

8.(2024?黑龍江期中)定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)F(x)恒滿意『(1—x)=F(x+l),且

C.1D.——

［解析］依據(jù)函數(shù)的奇偶性和等量關(guān)系，求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)的

周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.解：二.奇函數(shù)『5)恒滿意f(l—x)=f(x+l),.?./(x+l)=-F(x

-1),即f(x+2)=—f(x),則f(x+4)=-f(x+2),即f(x+4)=f(x),即f(x)是周期為

二、多選題(本題共4個小題，每個小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中

有多項是正確的，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分)

9.(2024?全國課時練習(xí))下列說法中正確的是(BD)

A.函數(shù)/1(x)=x+l,xe［—2,0)的零點為(一1,0)

B.函數(shù)/<x)=2'—1的零點為0

C.函數(shù)f(x)的零點即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點

D.函數(shù)f(x)的零點即方程f(x)=0的實數(shù)根

［解析］依據(jù)函數(shù)的零點的學(xué)問確定正確選項.函數(shù)的零點是數(shù)，不是點，A錯誤；由

2'—1=0,得x=0,f(x)=2'—1在R上遞增，所以B正確；函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)

=0的實數(shù)根，是函數(shù)Hx)的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo)，D正確，C錯誤，故選：BD.

10.(2024?福建期末)已知函數(shù)f(力=2"+*，則(BC)

/、4

A.Alog23)=-

B.Ax)的最小值為2

C.F(x)為偶函數(shù)

D._f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增

［解析］A干脆代入計算并驗證；B利用換元法得到g(t)=t+\,結(jié)合基本不等式確定

最值；C依據(jù)奇偶性的定義推斷即可；D由B中換元法，所得對勾函數(shù)的性質(zhì)可干脆推斷單

1OE3

調(diào)區(qū)間.A：Alog23)=22+-i^-3=3+^=7r,錯誤；B：令6=2”〉0,則/1(x)=g(t)=什

1?；=2當(dāng)且僅當(dāng)1=1,即x=0時取等號，正確；C：_f(—x)=2^+六=2"+］=

。\/L/乙乙

/'(x)且xdR,/'(x)為偶函數(shù)，正確；D：由B,若力=2'>0,f(x)=g(t)=則g㈤在

(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，所以『(x)在(一8,0)上遞減，(0,+8)上遞增，錯

誤；故選：BC.

11.(2024?廣東汕頭期末)已知函數(shù)/'(x)=log5(x2—2x—3),則下列結(jié)論正確的是

(BCD)

A.函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8)

B.函數(shù)f(x)的值域是R

C.函數(shù)『(x)的圖象關(guān)于x=l對稱

D.不等式f(x)<l的解集是(一2,-l)U(3,4)

［解析］依據(jù)對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，值域，對稱性，及解對數(shù)不等式，依

次推斷即可得出結(jié)果.對于A：因為/U)=log5x為增函數(shù)，所以求/'(x)=log5(x2—2x—

3)的單調(diào)遞增區(qū)間即求力=f—2x—3的單調(diào)遞增區(qū)間，即［1,+8).又對數(shù)函數(shù)的定義域

有2x—3>0,解得xe(3,+8).故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+8).A錯誤；對

于B：力=V—2x—3,由對數(shù)函數(shù)的定義域解得：xG(—8,—1)U(3,+8),則y=log5力,

由于1>0,所以y￡R,即函數(shù)F(x)的值域是R,B正確；對于C：2=9—2x—3=(x—1)」一2,

關(guān)于x=l對稱，所以函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于x=l對稱，故C正確;對于D：log5(/-2^-3)<l,

笈一2x—3〉0

即2，解得：入￡(-2,-1)U(3,4),故D正確；故選：BCD.

12.(2024?全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)f^x)=|log2(^—1)|—zz?(zz7>0)的兩個零點為

xx,x2(xi<X2),貝lj(ABD)

1?1

A.XI〈2<EB.—+—=1

矛1X2

C.XIX2<4D.2XI+X2>3+2^\^

［解析］函數(shù)_f（x）=Ilog2（x—1）|一勿（蘇0）即為函數(shù)y=Ilog2（x—1）|,y=m,交點的

橫坐標(biāo)，作出函數(shù)圖象，依據(jù)圖象，易推斷A；依據(jù)人荀）=#加=0,化簡整理即可推斷B；

結(jié)合基本不等式將和化為積的形式即可推斷C；利用整體代換結(jié)合基本不等式即可推斷D.

解:令廣（X）=|log2（x—1）|一勿=0,（入＞1）則|log2（x—1）|=如令y=|log2（x—1）|,y=m,

則函數(shù)f{x）=|log2（x—l）|一血力＞0）的兩個零點為xx,x2（x《X2）,即為函數(shù)y=Ilog2（x—

1）1，y=加交點的橫坐標(biāo)，作圖如下圖所示：

故1＜荀＜2〈如故A正確；依據(jù)題意得F（xi）=F（X2）=0,即|log2（xi—l）|=Ilog2（X2一

1）1，因為所以log2（xi—1）＜0,log2（色一l）＞0,故log2（xi—1）+log2（①-1）=0,

即log2［（^i—1）（A2—1）］=0,所以（為一1）（①一1）=1,即xix2—（X1+X2）=0,所以，+,=1,

故B正確；因為矛1+￡222為矛1生，所以矛1可一（荀+入2）Wxi/2-2,布太2,即矛i/一2/荀上220,

所以XIX224,當(dāng)且僅當(dāng)不=上2時取等號，又因1〈XK2〈X2,所以XIX2＞4,故C錯誤；2荀+毛

=（2覆+總）?0+口=3+上+法23+2/，當(dāng)且僅當(dāng)上=蹌，即.=第荀時，取等號，

v

VIX2JXiXiVXiXz

故D正確.故選：ABD.

三、填空題（本題共4個小題，每個小題5分，共20分）

13.（2024?全國課時練習(xí)）若alog&3=；,則3"+9"=.6.

［解析］首先利用換底公式表示a=logs2,再代入3"+9'求值.由條件得a=》og34

=log32,所以3"+9a=3"332+9段2=3%2+3嗎4=2+4=6.故答案為：6.

14.（2024?全國課時練習(xí)）若函數(shù)f（x）=3—ax+1在區(qū)間g3）上有零點，則實數(shù)a

的取值范圍是_2,號）.

［解析］通過參變分別，轉(zhuǎn)化為a=x+，在j，3）上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)t=x+±x

士3）的值域.由題意知方程ax=3+l在$3）上有解，即@=為+}在生3）上有解.設(shè)

力=x+：3）,則力的取值范圍是2,多，所以實數(shù)a的取值范圍是2,日.故答

案為：2,

［x+l9xWO.

15.(2024?江蘇鹽城中學(xué)高三開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=?則函數(shù)尸

Llog2x,x>0

Z［f(x)］的全部零點之和為一

［解析］利用分段函數(shù)，分類探討，即可求出函數(shù)y=f［f(x)］的全部零點，從而得

解.解：xWO時，x+l=0,x=~l,由_f(x)=-l,可得x+l=-l或log2牙=一1,1.x

=-2或x=5；x>0時，log2x=0,x=l,由_f(x)=l,可得x+l=l或log2x=l,x=

0或x=2；.?.函數(shù)尸丹f(x)］的全部零點為一2,I，0,2,所以全部零點的和為―2+^+0

+2=~故答案為：-.

5^—1,0<^<1

16.(2024?全國專題練習(xí))已知函數(shù)/<x)=，設(shè)力>〃>0,若f(ri)=

2H1,

廣(㈤，則刀?a加的取值范圍是

［解析］畫出，x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得力的范圍，將刀?A㈤轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃的函數(shù),

再求函數(shù)的值域即可.畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知要使力>刀>0,/(〃)=/1(血同時成

4(n\(1112

立，貝!|三4水1.刀?/*(%)=刀?=刀(5〃-1)=5刀2-〃=5=5〃一行——,所以yW

5\by\107205

-12\

〃?“血<4.故答案為：y,4J.

四、解答題(本題共4個小題，每個小題10分，共40分)

2__

17.(2024?山西沁縣一中階段練習(xí))已知幕函數(shù)/<x)=(著一3〃+3)X,2T,且在(0,

+8)上為增函數(shù).

⑴求函數(shù)Ax)的解析式;

(2)若f(a+l)〈￡(3—2a),求a的取值范圍.

士「2、

［答案］(1)『(入)=/(2)［—1,gj

［解析］(1)因為函數(shù)是募函數(shù)，求出0=1或卬=2,再分別驗證是否滿意函數(shù)在(0,

1

+8)上是增函數(shù)；(2)由(1)知f(x)=M,依據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性解不等式.

(1)病-30+3=1,即蘇-30+2=0,則(0一1)(0一2)=0,解得0=1或7=2,

31

當(dāng)m=1時,f{x)=x~=xx,

1±

當(dāng)m=2時，f(^x)=嵬2—3—

1

???f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，??./V)=西.

(2)由(1)得Hx)定義域為［0,+8)且y(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

fa+1^0

9「2、

：A3—,解得：一IWaq,所以a的取值范圍為：一1，鼻.

U［_Oy

/+1<3—2a

18.某化工廠每一天中污水污染指數(shù)Ax)與時刻x(時)的函數(shù)關(guān)系為f(x)=|log25(x+

1)~a\+2a+l,［0,24］,其中a為污水治理調(diào)整參數(shù)，且(0,1).

(1)若@=今求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低；

(2)規(guī)定每天中f(x)的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)

不超過3,則調(diào)整參數(shù)a應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？

［答案］(1)一天中早上4點該廠的污水污染指數(shù)最低.

(2)調(diào)整參數(shù)a應(yīng)限制在(0,|內(nèi).

［解析］⑴因為a=；時，則f(x)=log25(^+l)—|+222,

當(dāng)廣(x)=2時，log25(x+l)—］=0,得x+l=252=5,

即x=4.所以一天中早上4點該廠的污水污染指數(shù)最低.

(2)設(shè)方=log25(x+l),則當(dāng)0WxW24時，0WZW1.

設(shè)g(1)=I力一+2女+1,方￡［0,1］,

貝"=lf—+a方+3la,+la,g0WtWa

明顯g(力在［0,目上是減函數(shù)，在［41］上是增函數(shù),

則f(x)max=max{g(O),g⑴}.

因為g(0)=3a+l,g(l)=a+2,

g(0)=3己+1W39

則有，,解得

g⑴=a+2W3

又ae(0,1),故調(diào)整參數(shù)a應(yīng)限制在(0,|內(nèi).

19.(2024?四川射洪中學(xué)階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=log2(2,+4)(46R)的圖象過點

尸(0,2).

⑴求k的值并求函數(shù)『(x)的值域;

(2)若函數(shù)Mx)=2'?-a?2加，則是否存在實數(shù)a,對隨意xP［0,4］,存在［0,

2］使|爾z)|Nf(X2)+2成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

［答案］⑴A=3(log23,+8)⑵存在，即aWO或a》4

［解析］(1)因為函數(shù)f(x)=log2(2*+4)(AGR)的圖象過點?(0,2),把點產(chǎn)(0,2)代

入由『(0)=2即可求解.(2)對隨意荀丘［0,4］,存在至e［0,2］使歷⑸|》f(xz)+2成立,

X

則|方(不)］2F(X2)ndn+2,由/1(x)=log2(2，+3)單調(diào)遞增，求出/"(X2)屈n=2,令1=221

4］,貝?。?/(6)=/—2at+3,4］,即f2—2a1+324或者f—2at+3W—4恒成立在

te［l,4］上，分別參數(shù)即可求解.

(1)因為函數(shù)/(x)=log2(2*+A)(AGR)的圖象過點尸(0,2),

所以f1(以=2,即log2(l+?)=2,所以A=3,

所以F(x)=log2(2*+3),因為尸2,單調(diào)遞增，所以汽x)=1。82(2,+3)單調(diào)遞增，

因為2*+3〉3,所以汽為=1。故(2*+3)>1煙3,

所以函數(shù)f(x)的值域為(10g23,+8).

(2)由題意對隨意xie［0,4］,存在茲晝［0,2］使|爾xi)(蒞)+2成立，

則2,由(1)知,當(dāng)X2G［0,2］時，f(x)=log2(2*+3)單調(diào)遞增，

所以/(^2)min=2,

XXX

又力(x)=2'*——?2加=2"+3—a?2^+1=2x—2a?2^+3，荀￡［0,4］

X

令t=22￡［1,4］,貝|力(方)=干—2al+3,力￡［1,4］,

所以|力(1)［=|1—2/方+3|24,方e［l,4］恒成立，

所以d—2a1+3