人教版初中數(shù)學同步講義八年級下冊第04講 菱形（2個知識點+5類熱點題型講練+習題鞏固）（解析版）

第04講菱形課程標準學習目標①菱形的定義與性質②菱形的判定熟悉菱形的定義，掌握菱形的性質，并能夠熟練的應用性質。掌握菱形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定菱形。知識點01菱形的定義與性質分式方程的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形的性質：①菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質。特殊性：②邊的特殊性：四條邊都相等。即：AB=BC=CD=AD③對角線的特殊性：對角線相互垂直且平分每一組對角。即：AC⊥BD，且∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD。④面積計算：等于對角線乘積的一半。即。⑤對稱性：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。【即學即練1】1．菱形不具有的性質是（）A．對角相等 B．對邊平行 C．對角線互相垂直 D．對角線相等【解答】解：∵菱形不具有的性質是對角線相等，∴選項D符合題意，故選：D．【即學即練2】2．如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC＝120°，則∠OED＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC＝120°，∴點O為BD的中點，，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∴，∴∠OED＝∠ODE＝30°，故選：C．【即學即練3】3．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE⊥BC于點E，連接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，則OE的長為（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴AC＝6，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝9，∴BD＝3，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴OE＝BD＝．故選：C．知識點02菱形的判定直接判定：四條邊都相等的四邊形是菱形。符號語言：∵AB=BC=CD=AD∴四邊形ABCD是菱形平行四邊形判定：①鄰邊相等的平行四邊形是菱形。符號語言：∵在?ABCD中，AB=AD∴四邊形ABCD是菱形②對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。符號語言：∵在?ABCD中，AC⊥BD∴四邊形ABCD是菱形【即學即練1】4．如圖所示，已知△ABC，AB＝AC，將△ABC沿邊BC翻轉，得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形ABDC，則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【解答】解：由AB＝AC，將△ABC沿BC邊翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形ABDC是菱形．故選：B．【即學即練2】5．要使?ABCD成為菱形，則可添加一個條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD【解答】解：A、由AB＝AD，能判定?ABCD為菱形，故選項A符合題意；B、由AB⊥AD，能判定?ABCD為矩形，不能判定?ABCD為菱形，故選項B不符合題意；C、由AD＝BC，不能判定?ABCD為菱形，故選項C不符合題意；D、由AC＝BD，能判定?ABCD為矩形，不能判定?ABCD為菱形，故選項D不符合題意；故選：A．【即學即練3】6．已知，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．求證：四邊形AEDF是菱形．【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF為菱形．題型01利用菱形的性質求線段或周長【典例1】菱形的對角線長分別為10cm，8cm，則此菱形的周長為（）A．12cm B． C．4cm D．24cm【解答】解：如圖，∵菱形的兩條對角線長分別為10cm，8cm，∴AO＝4cm，BO＝5cm，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，AB＝＝cm，所以，周長＝×4＝4（cm．）．故選：C．【變式1】若菱形的面積為216，其中一條對角線的長為24，則該菱形的周長為（）A．36 B．24 C．48 D．60【解答】解：如圖，菱形ABCD的面積為216，AC與BD交于點O，AC＝24，∵AC⊥BD，∴AC?BD＝×24BD＝216，∴BD＝24，∵∠AOB＝90°，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝9，∴AB＝＝15，∴菱形ABCD的周長＝15×4＝60，故選：D．【變式2】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AC＝8，BD＝6，則AD與BC之間的距離為（）A．6 B． C． D．4【解答】解：過點B作BE⊥AD于E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OA＝AC＝4，在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝5，∵S菱形ABCD＝AD?BE＝AC?BD，∴5BE＝24，∴BE＝，故選：B．【變式3】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC?BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故選：B．【變式4】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，點E是BD上不與點B和點D重合的一個動點，過點E分別作AB和AD的垂線，垂足為F，G，則EF+EG的值為（）A． B．2 C． D．4【解答】解：連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，連接AE，∴S△ABD＝S△ABE+S△ADE，∴，∴EF+EG＝2，故選：A．題型02利用菱形的性質求角度【典例1】如圖，AC，BD是菱形ABCD的對角線，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為70°．【解答】解：∵AC，BD是菱形ABCD的對角線，∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2，∴∠DAB＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠2＝70°．故答案為：70°．【變式1】如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于點O，DE⊥BC于點E，連接OE，若∠BCD＝40°，則∠OED的度數(shù)是20°．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴OE＝BD＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝70°，∴∠OED＝90°﹣∠OEB＝90°﹣70°＝20°，故答案為：20°．【變式2】如圖，用七支長度相同的鉛筆，排成一個菱形ABCD和一個等邊△DEF，使得點E，F(xiàn)分別在AB和BC上，那么∠B的度數(shù)為（）A．105° B．100° C．95° D．80°【解答】解：設∠A＝x°，∵菱形ABCD和等邊△DEF的邊長相等，∴DA＝DE，DF＝DC，∴∠DEA＝∠A＝x°，∠C＝∠DFC，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝x°，DC∥AB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝180°﹣2x°，∵∠A+∠ADC＝180°，∴x+180﹣2x+180﹣2x+60＝180，∴x＝80，∴∠A＝80°，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∴∠B＝100°．故選：B．【變式3】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF，則∠CFD的度數(shù)是（）A．80° B．82° C．86° D．88°【解答】解：如圖，連接BD、BF，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝94°，∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝∠BAD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°，∴∠FAD＝43°，又∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA＝43°，∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°，故選：C．【變式4】如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的長為半徑，分別以點A，B為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交AD邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD．則∠EBD的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，由作圖可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，故選：A．題型03利用菱形的性質求點的坐標【典例1】如圖：已知點A的坐標為，菱形ABCD的對角線交于坐標原點O，則C點的坐標是（）A． B． C． D．（﹣2，﹣2）【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵點O為坐標原點，∴點A和點C關于原點對稱，點B和點D關于原點對稱，∵點A的坐標為，∴C點坐標為（2，﹣2），故選：B．【變式1】如圖，四邊形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，則頂點A坐標是（10，0）．【解答】解：∵四邊形OABC是菱形，對角線OB、AC交于點D，∴AC⊥OB，∴∠ADO＝90°，∵AC＝12，OB＝16，∴AD＝CD＝AC＝6，OD＝BD＝OB＝8，∴OA＝＝＝10，∴A（10，0），故答案為：（10，0）．【變式2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的頂點D在x軸上，邊BC在y軸上，若點A的坐標為（4，5），則C點的坐標為（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣2.5） D．（﹣2，0）【解答】解：∵A（4，5），∴OD＝4，AD＝5，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝5，在Rt△ODC中，OC＝＝＝3，∴C（0，﹣3）．故選：B．【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A、B的坐標分別為（0，4）、（﹣2，0），則點D的坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：∵點A、B的坐標分別為（0，4）、（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝4，∴AB＝＝＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，AD∥BC，∴點D坐標為（2，4），故選：A．【變式4】如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，兩對角線交于點E．若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點E的坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：過E作EH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AE＝CE，AB＝BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵AO⊥BC，∴OC＝OB，∵B的坐標是（﹣1，0），∴OB＝1，∴OC＝1，∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，∴AO＝OB＝，∵AO⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥AO，∵AE＝EC，∴CH＝OH＝OC＝，∴EH是△AOC的中位線，∴EH＝AO＝，∴E的坐標是（，）．故選：A．題型04菱形的判定方法【典例1】下列說法中，正確的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相平分的四邊形是菱形 D．對角線相等的平行四邊形是菱形【解答】解：A、四邊相等的四邊形是菱形，故該選項符合題意；B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項不符合題意；C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項不符合題意；D、對角線相等的平行四邊形是矩形，故該選項不符合題意；故選：A．【變式1】在下列條件中，能夠判定?ABCD為菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【解答】解：A、由AB⊥BC，能判定?ABCD為矩形，不能判定?ABCD為菱形，故選項A不符合題意；B、由AC⊥BD，能判定?ABCD為菱形，故選項B符合題意；C、由AB＝CD，不能判定?ABCD為菱形，故選項C不符合題意；D、由AC＝BD，能判定?ABCD為矩形，不能判定?ABCD為菱形，故選項D不符合題意；故選：B．【變式2】如圖，?ABCD對角線AC，BD交于點O，請?zhí)砑右粋€條件：____使得?ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【解答】解：當AC⊥BD時，?ABCD是菱形，故選：B．【變式3】如圖，下列條件之一能使?ABCD是菱形的為（）①AC＝BD；②AC平分∠BAD；③AB＝BC；④AC⊥BD；A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝CB，∴平行四邊形ABCD是菱形；③∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形；④∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形；綜上所述，能使?ABCD是菱形的為②③④，故選：D．題型05菱形的判定與性質【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點O，求證：四邊形ADCE為菱形．【解答】證明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AB＝AD，∴平行四邊形ADCE為菱形．【變式1】如圖，在?ABCD中，CF⊥AB于點F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，且CF＝DE．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，∵CF⊥AB，DE⊥BC，∴∠CFB＝∠DEC＝90°，又∵CF＝DE，∠B＝∠DCE，∴△BFC≌△CED（AAS），∴BC＝CD，∴四邊形ABCD為菱形；（2）解：∵△BFC≌△CED，∴BC＝DC＝AB，設BC＝x，∴CD＝AB＝x，在Rt△BCF中，∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴FB＝BC，∴x﹣5＝x，解得x＝10，∴BC＝10．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵E為AB中點，∴AB＝2AE，∵AB＝2CD，∴2AE＝2CD，∴AE＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵∠DCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四邊形AECD為菱形．（2）解：∵AE＝CE＝DC＝4，∴AE＝BE＝CE＝4，∵∠CEB＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4，∵∠ACE＝∠CAE，∴∠CEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝30°+60°＝90°，∵AB＝2AE＝8，∴AC＝＝＝4，∴S△ABC＝BC?AC＝×4×4＝8，∴△ABC的面積為8．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點O，點E是DB延長線上一點，OE＝OD，BF⊥AE于點F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長．【解答】（1）證明：∵AD＝CD，BD⊥AC，∴OA＝OC，∵OE＝OD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）解：∵四邊形AECD是菱形，∴OE⊥OA，∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，∴BF＝OB，∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），∴AF＝OA＝OC，∵BF＝OB＝3，BE＝5，∴EF＝，∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠∠FEB＝∠∠AEO，∴△AEO∽△EBF，∴，即，∴AE＝10，∴AD＝AE＝10．【變式4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°點D是邊AB上的一個動點，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．（1）如圖1，當CD⊥AB時，求證：AC＝ED；（2）如圖2，當D是AB的中點時，①四邊形ADCE的形狀是菱形；請說明理由．②若AB＝5，ED＝4，則四邊形ADCE的面積為6．【解答】（1）證明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AC＝ED．（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴AD＝CD＝BD，∴四邊形ADCE是菱形，故答案為菱形；②∵四邊形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四邊形ECBD是平行四邊形，∴DE＝BC＝4，∵AB＝5，∴AC＝＝3，∴四邊形ADCE的面積為．故答案為6．【變式5】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，．∠C＝30°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請直接寫出相應的t值為：或4．【解答】解：（1）（2）能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE＝DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形．∵∠C＝30°，BC＝5，∴AC＝10，AB＝5，∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t，若使△DEF能夠成為等邊三角形，則平行四邊形AEFD為菱形，則AE＝AD，∴t＝10﹣2t，∴t＝；即當t＝時，△DEF為等邊三角形；（2）當t＝或4時，△DEF為直角三角形．理由如下：①∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形．在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，∴AD＝2AE．即10﹣2t＝2t，∴t＝；②∠DEF＝90°時，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°．∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，∴AD＝AE?cos60°．即10﹣2t＝t，∴t＝4；③∠EFD＝90°時，∵DF⊥BC，∴點E運動到點B處，用了AB÷1＝5秒中，同時點D也運動5秒鐘，點D就和點A重合，點F也就和點B重合，點D，E，F(xiàn)不能構成三角形．此種情況不存在；綜上所述，當t＝或4時，△DEF為直角三角形．故答案為：或4．1．下列選項中，菱形不具有的性質是（）A．四邊相等 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．每條對角線平分一組對角【解答】解：∵菱形不具有的性質是對角線相等，∴選項C符合題意，故選：C．2．在四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，A、∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD為矩形，故選項A不符合題意；B、由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D、∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD為菱形，故選項D符合題意；故選：D．3．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點F，E是AB的中點，若EF＝2，則菱形ABCD的邊長是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AFB＝90°，∵E為AB的中點，且EF＝2，∴AB＝2EF＝4，即菱形ABCD的邊長是4，故選：B．4．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC＝3，DB＝4，則點A到BC的距離為（）A． B． C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴BC＝＝，菱形的面積為＝6，設點A到BC的距離為h，∴×h＝6，解得h＝，∴點A到BC的距離為．故選：C．5．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，若AC＝6，BD＝2，則菱形ABCD的周長為（）A．24 B．8 C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，AC＝6，BD＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝4，故選：D．6．如圖，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F(xiàn)分別是CB，CD上兩點，連接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，則下列說法錯誤的是（）A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α【解答】解：連接AC，EF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF＝α．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AFE＝60°，∵∠AFC＝∠FAD+∠D，∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，∴∠CEF＝α，不能證出∠AFD＝90°﹣α，故選：D．7．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABC＝120°，BD＝4，則對角線AC的長為（）A． B． C．4 D．8【解答】解：在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABC＝120°，BD＝4，∴∠BAD＝60°，AD＝AB，則△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DAC＝BAD＝30°，故AO＝4cos30°＝2，∴AC＝2AO＝4．故選：A．8．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，在條件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，選擇一個條件，使得四邊形ABCD是菱形，可選擇的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，∵點O是BD的中點，∴OD＝OB，在△DAO和△BCO中，，∴△DAO≌△BCO（ASA），∴OA＝OC，∵OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，①∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；③∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形；④∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形．綜上所述：選擇①③④，使得四邊形ABCD是菱形，故選：C．9．如圖，在給定的平行四邊形上，作一個菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AD于點M，交BC于點N，連接MN，則四邊形ABNM為菱形；乙：以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AD于點E，連接BE，作BE的垂直平分線交BC于點H，則四邊形ABHE為菱形；根據(jù)兩人的做法可判斷（）A．甲正確，乙錯誤 B．乙正確，甲錯誤 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤【解答】解：甲：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，由作圖可知，AM＝AB，BN＝AB，∴AM＝BN，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∵AM＝AB，∴平行四邊形ABNM為菱形，故甲的作法正確；乙：如圖，設AH交BE于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BHO，∵AH垂直平分BE，∴BO＝EO，又∵∠AOE＝∠HOB，∴△AOE≌△HOB（ASA），∴AE＝HB，∴四邊形ABHE為平行四邊形，又∵AE＝AB，∴平行四邊形ABHE為菱形，故乙的作法正確；故選：C．10．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，P是AC上任一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，則PE+PF的值為（）A． B． C． D．【解答】解：過P作PM⊥CD于M，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，∵PF⊥BC于F，∴PF＝PM，∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，∴P、E、M共線，∴PE+PF＝PE+PM＝ME，∵AC＝8，BD＝6，∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3，∴AB＝＝5，∵菱形ABCD的面積＝AB?EM＝AC?BD，∴5EM＝×6×8，∴EM＝．∴PE+PF的值為．故選：C．11．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點O．請?zhí)砑右粋€條件：AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等），使四邊形ABCD成為菱形．【解答】解：當添加“AD∥BC”時，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；當添加：“AB＝CD”時，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；當添加“OB＝OD”時，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），∴AO＝CO，DO＝BO，∴四邊形ABCD是菱形；當添加：“∠ADB＝∠CBD”時，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD或ADB＝∠CBD等）．12．在菱形ABCD中，對角線AC＝4，BD＝6，則菱形ABCD的周長是4．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的邊長＝＝，∴菱形ABCD的周長是4，故答案為：4．13．如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過點O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的兩條對角線長分別為10和24，求陰影部分的面積為60．【解答】解：∵菱形是中心對稱圖形，∴由圖得：陰影的面積等于菱形面積的一半，∵菱形的兩條對角線的長分別為10和24，∴菱形的面積為×10×24＝120，∴陰影部分的面積為60，故答案為：60．14．如圖，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝45°，E，F(xiàn)分別是過CD，BC上的動點，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連接GH，則GH的最小值為．【解答】解：連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝8，∵G，H分別為AE，EF的中點，∴GH是△AEF的中位線，∴，當AF⊥BC時，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值為，故答案為：．15．如圖，菱形ABCD的邊長為26，對角線AC的長為48，延長AB至E，BF平分∠CBE，點G是BF上任意一點，則△ACG的面積為240．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD與AC互相垂直平分，∴OA＝OC＝24，∴OB＝OD＝＝10，∵DA∥CB，∴∠DAB＝∠CBE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝DAB，∵BF平分∠CBE，∴∠FBE＝CBE，∴∠CAB＝∠FBE，∴AC∥FB，∴S△CBG＝S△ABG，∴S△ACG＝S△ABC＝×AC?OB＝×48×10＝240，則△ACG的面積為240．故答案為：240．16．如圖，AD是△ABC的角平分線，AD的垂直平分線分別交AB、AC于點E、F，連接DE、DF．（1）判斷四邊形AEDF的形狀，并證明；（2）當AB＝9，AC＝6時，求DF的長．【解答】解：（1）四邊形AEDF是菱形，理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又EF⊥AD，∴平行四邊形AEDF為菱形；（2）由（1）知四邊形AEDF為菱形，∴DF∥AB，DF＝AF，∴＝，∴＝，∵AB＝9，AC＝6，即＝，解得：DF＝．17．如圖，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是邊AE上一點，連接BC，O為AC的中點，過C作CD∥AB交BO延長線于D，且AC平分∠BCD，連接AD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）連接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠OCD，∵O為AC的中點，∴OA＝OC，在△AOB和△OCD中，，∴△AOB≌△OCD（ASA），∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝CB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°，∴∠DCE+∠AEC＝180°，∴∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°，由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°，∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°，∵∠AEC＝90°，OA＝OC，∴OE＝AC＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝63°，∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°，即∠CFO的度數(shù)為99°．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，點F在AD上，且AF＝AB，連接BF交AE于點G，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是