黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的通項公式為，則（）A.13 B.14 C.30 D.49〖答案〗C〖解析〗由，得，，所以.故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，則，所以.故選：A3.現(xiàn)有3男3女站成一排照相，左右兩端恰好性別不同，則不同的排法種數(shù)為（）A.216 B.240 C.432 D.720〖答案〗C〖解析〗3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，先分別選1男1女排在左右兩端，有種排法，再排中間4個位置，有種排法，所以不同的排法種數(shù)為種.故選：C.4.現(xiàn)有8道四選一的單選題，某學(xué)生對其中6道題有思路，2道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個〖答案〗，猜對〖答案〗的概率為0.25，該學(xué)生從這8道題中隨機(jī)選擇1道題，則他做對此題的概率為（）A.0.225 B.0.625 C.0.675 D.0.7375〖答案〗D〖解析〗記事件表示“考生答對題”，事件表示“考生選到有思路的題”，則該學(xué)生從這8道題中隨機(jī)選擇1道題，則他做對此題的概率為.故選：C5.某校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級隨機(jī)抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高x（單位：）167173175177178180181體重y（單位：）90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，其相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析，點對應(yīng)殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為.則下列選項正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗身高的平均數(shù)為，因為離群點的橫坐標(biāo)167小于平均值176，縱坐標(biāo)90相對過大，所以去掉后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，故，去掉后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以.故選：A6.已知的展開式的各二項式系數(shù)和為，且的系數(shù)為，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為展開式的各二項式系數(shù)和為，所以，解得，所以展開式的通項為（且），令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，解得.故選：C7.已知等差數(shù)列的公差為，若集合，則（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗依題意，等差數(shù)列中，，因為函數(shù)的周期為3，而，所以最多3個不同取值，又，則在中，恰兩個值相等.所以有，或，或.（1）當(dāng)時，令，由，得，解得，故，則.（2）當(dāng)時，令，則，且也成立，故同（1）可得；（3）當(dāng)時，其中，則有，令，則，且仍然成立，故以下也同（1）可得.綜上，.故選：B8.已知函數(shù)，若，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗若，使成立，則當(dāng)且僅當(dāng)，于函數(shù)而言，其最大值為，于而言，其導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，從而的最大值，所以原題條件等價于，即故選：B.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某校有1200名同學(xué)參加某次聯(lián)考，其中每位學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布的正態(tài)密度函數(shù)為，稱它的圖像為正態(tài)密度曲線，通過的正態(tài)密度函數(shù)及其圖像可以發(fā)現(xiàn)，下列關(guān)于的正態(tài)密度曲線的敘述正確的有（）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.A.正態(tài)密度曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱B.當(dāng)無限增大時，曲線無限接近軸C.曲線在處達(dá)到峰值D.〖答案〗ABD〖解析〗由正態(tài)密度函數(shù)可知，，，則，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，圖像是單峰的，且關(guān)于對稱，故A正確；當(dāng)無限增大時，，則，則曲線無限接近軸，故B正確；當(dāng)時，，故C錯誤；，故D正確；故選：ABD10.定義數(shù)列為數(shù)列的“3倍差數(shù)列”，若的“3倍差數(shù)列”的通項公式為，且，則下列正確的有（）A.B.數(shù)列的前項和為C.數(shù)列的前項和與數(shù)列的前項和相等D.數(shù)列的前項和為，則〖答案〗ACD〖解析〗由可得，且，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，即，則，所以，故A正確；因為，由等比數(shù)列的求和公式可得該數(shù)列的前項和為，故B錯誤；因為，，這兩個數(shù)列的通項公式相同，則其前項和相等，故C正確；因為，則，則其前項和，且當(dāng)時，取得最小值為，所以，故D正確；故選：ACD11.已知的圖象上能找到兩個不同點關(guān)于原點對稱，則稱為函數(shù)的一對“友好點”，則下列正確的有（）A.若，則有兩對“友好點”B.不可能有三對“友好點”C.若僅有一對“友好點”，則D.當(dāng)時，對任意的，總是存在，使得〖答案〗BD〖解析〗若和互為“友好點”，不妨設(shè)，則，得，令（），則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以的大致圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，的圖象與直線無交點，所以不存在“友好點”，當(dāng)或時，的圖象與直線有一個交點，所以只有一對“友好點”，當(dāng)時，的圖象與直線有兩個交點，所以存在兩對“友好點”，不可能有三對“友好點”，所以AC錯誤，B正確，當(dāng)時，對任意的，，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，所以總存在，使，所以D正確，故選：BD第II卷三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把正確〖答案〗寫在答題卡相應(yīng)題的橫線上.12.袋中裝有10個大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到一個白球的概率是.現(xiàn)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為，則____________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)白球的個數(shù)為，則黑球和紅球的個數(shù)為；記兩個都不是白球的事件為，則至少有一個白球的事件與事件為對立事件；所以，解得，所以白球的個數(shù)為5；從袋中任意摸出3個球，到白球的個數(shù)的取值可能為：0，1，2，3；則，，，，所以的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望，則．故〖答案〗為：213.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意的實數(shù)，都有，且，則不等式的解集為____________.〖答案〗〖解析〗令，則，因為對任意的實數(shù)，都有，則，所以在上單調(diào)遞減，且，則，不等式，，即，所以，即，所以，解得，且，所以，即不等式得解集為.故〖答案〗：14.已知是數(shù)列的前項和，且，則____________；____________.〖答案〗①②〖解析〗，解得；當(dāng)時，，可得，即，，所以是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，可得，時成立，所以，可得.故〖答案〗為：①；②.四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列.且，，，.（1）求、的通項公式；（2）記，為的前項和，求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，因為，，，則，，所以，，解得，所以，，.（2）由（1）可知，，所以，，①可得，②①②可得，因此，.16.某學(xué)校想了解學(xué)生愛好體育運(yùn)動是否與性別有關(guān)聯(lián)，從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：單位：人性別是否愛好體育運(yùn)動合計是否女生10男生10合計現(xiàn)在從這80人中隨機(jī)選擇1人，已知在選到是愛好體育運(yùn)動者的條件下，選到男生的概率是.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為愛好體育運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)？（2）將此樣本的頻率估計為總體的概率，在該學(xué)校的所有女生中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)被調(diào)查的3人中愛好體育運(yùn)動的人數(shù)為，求的分布列?均值和方差.參考公式：.附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）設(shè)喜歡運(yùn)動者共有人，則由題意可得，則，故可得如下列聯(lián)表：性別是否愛好運(yùn)動合計是否女生105060男生101020合計206080零假設(shè)：愛好體育運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián)所以，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為愛好體育運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.（2）由表中數(shù)據(jù)可知女生愛好運(yùn)動的概率為，所以，則的所有可能取值為，所以，，，，所以的分布列為：012317.萊布尼茨（德國數(shù)學(xué)家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數(shù)學(xué)家）三角數(shù)陣（如圖2所示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數(shù)組頂端的數(shù)等于底邊兩數(shù)之和.現(xiàn)記萊布尼茨三角第1行的第2個數(shù)字為，第2行的第2個數(shù)字為，第行的第2個數(shù)字為.（1）求的值；（2）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質(zhì)，也是二項式系數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)，請你類比這個性質(zhì)寫出萊布尼茨三角的性質(zhì)，并證明你的結(jié)論.解：（1）由圖1可知：由每個三角形數(shù)組頂端的數(shù)等于底邊兩數(shù)之和，可得，故，同理，故；（2）萊布尼茨三角的性質(zhì)：..故結(jié)論正確.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有極大值，且極大值大于，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)時，.所以曲線在點處的切線方程，即.（2）由（1）知，，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，當(dāng)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）因為有極大值，且極大值大于，故，且在處取極大值，，即，令，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，因此的取值范圍是.19.中國國家女子排球隊（簡稱中國女排）曾十度成為世界冠軍（包括世界杯、世錦賽和奧運(yùn)會三大賽），中國女排也是中國三大球中唯一一個拿到冠軍獎杯的隊伍.眾所周知，排球是一項集體運(yùn)動，團(tuán)隊協(xié)作及日常科學(xué)訓(xùn)練對于贏得比賽都至關(guān)重要.現(xiàn)有主攻手1人，副攻手2人，接應(yīng)手1人，二傳手1人，自由人1人，從這6人中隨機(jī)抽取3人參與常規(guī)訓(xùn)練.該主攻手的扣球高度與得分概率的數(shù)據(jù)，如表所示：（女子網(wǎng)高2.24米）扣球高度（米）2.42.52.72.93.0得分概率0.10.20.40.70.9（1）若表中兩個變量線性