浙江省某中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)考前模擬數(shù)學(xué)試題

浙江省桐廬中學(xué)高三下學(xué)期考前模擬考試卷新高考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

3

1.在等差數(shù)列{4}中，/=-5,%+。6+%=9,若2=—（〃eN*），則數(shù)列也}的最大值是（）

an

A.—3B.—

3

C.1D.3

2.設(shè)集合U=R（R為實(shí)數(shù)集），A={x|x〉O},B={x|x>l},則AJB=（）

A.{x10<x<1}B.{x10<x<1}C.{x|x?l}D.|X>

3.已知向量a=（退,1）,則a與匕的夾角：()

A.0B.工C.女-5%

D.——

6336

4.若X€[O,1]時(shí)，ex-\2x-a\>Q,則。的取值范圍為（)

A.[-1,1]B.[2—e,e-2]C.[2—e,1]D.[21n2-2,l]

5.已知下列命題：

22

①“Vxe/?,x+5%>6”的否定是“3xG7?,x+5x<6”；

②已知，q為兩個(gè)命題，若“pvq”為假命題，則”（ip）△（[％）”為真命題；

③“a>2019”是“a>2020”的充分不必要條件；

④“若孫=0,則％=0且y=0”的逆否命題為真命題.

其中真命題的序號(hào)為（）

A.③④B.①②C.①③D.②④

6.如圖，在底面邊長(zhǎng)為1,高為2的正四棱柱AB。-A4G。中，點(diǎn)P是平面A4G2內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P—BCD

的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）

C.4D.5

7.設(shè)命題〃：-4<時(shí)+網(wǎng),則一P為

A.\/a,b^R,|a-/?|>|^|+|Z?|B.卜一，〈同+網(wǎng)

C.3a,b^R,|(2-Z?|>|a|+|/?|D.3a,b^R,|^-Z?|>|^|+|Z?|

8.設(shè)a=log73,b=1°gi7,c=30-7,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

9.已知4涉為非零向量，“。2/?=/72優(yōu),為“同匕=卜,，，的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

10.在復(fù)平面內(nèi)，二復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共朝復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1o

11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足%=2a6+3%，若存在兩項(xiàng)am,an,使得am-an=9如，則一+一的最小值為（）.

mn

28

A.16B.一C.5D.4

3

12.若i為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則表示復(fù)數(shù)」的點(diǎn)是（）

z

LTT一l-1

—

卜+Il

T--7

n

卜

卡4￡￡4

-

l—

—t-11

丁

—

1—1

44

卜L64

*-

L

In

U.l±-

A.EB.C.GD.H

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

v2V2

13.雙曲線=］的焦距為__________,漸近線方程為________.

54

14.已知實(shí)數(shù)兒c滿足+//+2^2=1,則的最小值是.

15.某市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)自服從正態(tài)分布N（100,o-2）,已知

P（80<^<100）=0.40,若按成績(jī)分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為

16.在1?+工］的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛4“｝,其前〃項(xiàng)和為S“，滿足％=2,5“=力14+〃4_1，其中幾.2,neN*>%，〃6凡

⑴若4=0,〃=4,2=a〃+j—2a”（〃eN*），求證：數(shù)列也,｝是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，求X,〃的值；

⑶若4=3,且2+〃=：,求證：數(shù)列｛%』是等差數(shù)列.

22

18.（12分）已知橢圓石:3+3=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為B，過工作％軸的垂線交橢圓E于點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸上

方），斜率為左（左<0）的直線交橢圓E于A,3兩點(diǎn)，過點(diǎn)4作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且直線AC交

V軸于點(diǎn)。.

「廿1、

（1）設(shè)橢圓E的離心率為e,當(dāng)點(diǎn)3為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,一--a,求e的值.

I〃3J

（2）若橢圓E的方程為:+9=1,且左<—孝，是否存在上使得01ABi=|AC|成立？如果存在，求出左的值；

如果不存在，請(qǐng)說明理由.

19.（12分）如圖，在三棱柱ADF-3CE中，平面A3CD，平面ABE尸，側(cè)面ABCD為平行四邊形，側(cè)面至歷為

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,〃為ND的中點(diǎn).

(1)求證：EB//平面AQW；

(2)求二面角"—AC—尸的大小.

20.(12分)在四邊形ABCP中，AB=BC=0NP=JK4=PC=2；如圖，將上4C沿AC邊折起，連結(jié)P3,

3

使PB=PA,求證：

(1)平面ABCJ_平面PAC；

(2)若F為棱AB上一點(diǎn),且AP與平面PCF所成角的正弦值為且，求二面角尸-PC-A的大小.

4

21.(12分)某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)

一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是設(shè)備改造前樣

本的頻率分布直方圖，下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.

圖：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖

表：設(shè)備改造后樣本的頻率分布表

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)2184814162

(1)求圖中實(shí)數(shù)〃的值;

(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［25,30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)

240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［20,25)或［30,35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件

售價(jià)120元，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到

一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單

位.已知曲線。的極坐標(biāo)方程為〃=2cos，，直線/的參數(shù)方程為一一.（，為參數(shù)，”為直線的傾斜角）.

y=tsma

⑴寫出直線I的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角a的大小.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

333

在等差數(shù)列｛4｝中，利用已知可求得通項(xiàng)公式=2〃-9,進(jìn)而么=—=五萬，借助外力=云二］函數(shù)的的單調(diào)性

可知，當(dāng)〃=5時(shí)，或取最大即可求得結(jié)果.

【詳解】

3

因?yàn)?+4+%=9,所以34=9,即4=3,又％=—5,所以公差d=2,所以％=2〃—9,即2=-----,因

2n-9

為函數(shù)/（%）=-----，在光＜4.5時(shí)，單調(diào)遞減，且/（x）＜0；在尤＞4.5時(shí)，單調(diào)遞減，且/（可＞0.所以數(shù)列也｝

2x—9

的最大值是且4=：=3,所以數(shù)列也J的最大值是3.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題，難度較易.

2、A

【解析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算，即可求得Ac.

【詳解】

集合t7=R,A={x|x>O},B={x|x>l}

所以。05={乂％<1}

所以ACCU5={X|X>0}C{RX<1}=1x|0<x<1}

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.

【詳解】

解：由題意得，設(shè)。與人的夾角為。，

由于向量夾角范圍為：0W6W%,

：.6=-.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.

4、D

【解析】

由題得2%-/WaW2x+"對(duì)V%w[0』恒成立，令/(x)=2x-e",g(x)=2x+e',然后分別求出

“"mJg("11m即可得。的取值范圍?

【詳解】

由題得2%—e工<a<2x+e'X^Vxe[0,日恒成立，

令/(x)=2x—e*,g(x)=2x+e”，

/'(司=2-產(chǎn)在[0』單調(diào)遞減，且_f(ln2)=0,

???/(九)在(O,ln2)上單調(diào)遞增，在(In2,1)上單調(diào)遞減，

:.a>1mx=/(ln2)=21n2-2,

又g(x)=2x+/在［0,1］單調(diào)遞增，.?.aWg(x)min=g(O)=l,

。的取值范圍為［21n2—2,1］.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題，可采用參變

量分離法去求解.

5^B

【解析】

由命題的否定，復(fù)合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.

【詳解】

2

"VxeR,f+5X〉6"的否定是"Ive7?,%+5x<6",正確；

已知為兩個(gè)命題，若“PV”為假命題，則"(力)人(「力，為真命題，正確；

“。>2019”是“a>2020”的必要不充分條件,錯(cuò)誤；

“若孫=0,則x=0且y=o”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關(guān)系，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).

6、A

【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長(zhǎng)為2高為1的三角形，其面積都是

-xlx2=l,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為1+1=2,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】

因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題，：\/a,b&R,|a-Z?|<|a|+|/?|,則"為：3a,b^R,|a-Z2|>|a|+|/?|.

故本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

Z?=log7<07

l>tz=log73>0,l,C=3°->1W.

3

【詳解】

/?=107<

l>a=log73>0,§1°,C=3°7>1,所以b<a<c,故選D

3

【點(diǎn)睛】

比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法.

9、B

【解析】

22

由數(shù)量積的定義可得a=|?|>0,為實(shí)數(shù)，則由。2分=六可得\dfb=。，根據(jù)共線的性質(zhì)，可判斷a=b；再根據(jù)

|?|a=\b\b判斷d=6,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.

【詳解】

若"方=片。成立，則同％=a，則向量a與8的方向相同，且同之W=F同，從而，="J,所以@=6；

若“。=慟5,則向量a與匕的方向相同，且從而口=忖，所以a=6.

所以“=62a，，為“卜［a=^b\b”的充分必要條件.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.

10、D

【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得z=l+2,*=1-2z?，即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-2)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

Z=1^=孚嬰土2=1+2,n彳=1—2，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

1-z(l-z)(l+z)

故選:。.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查共軌復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，難度容易.

11>D

【解析】

由％=24+3%,可得q=3,由a“-a“=9a；,可得根+〃=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【詳解】

2

設(shè)等比數(shù)列公比為式q>0),由已知，a5q=2a5q+3a5,即/=2q+3,

解得4=3或q=-l(舍)，又明,y=9。；，所以。尸心嗎3"^=9d，

191191n9m

即3"+〃—2=32,故根+〃=4,所以一+―二一(一+一)(加+幾)=—(10+—+——)

mn4mn4mn

>-(10+279)=4,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=1,〃=3時(shí)，等號(hào)成立.

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識(shí)，是一道中檔題.

12、C

【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(T/)，所以z=-l+i,然后將z=-l+i代入劣化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

Z

【詳解】

由z=T+1,所以,=——=z(-l-z)=l-z,對(duì)應(yīng)點(diǎn)G.

z-1+Z

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由題得c?=5+4=9;.c=3所以焦距2c=6,故第一個(gè)空填6.

由題得漸近線方程為丁=土集》=土羋X.故第二個(gè)空填y=±竽

9

14、

16

【解析】

先分離出片+沙2,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值.

【詳解】

解：若〃Z?+c取最小值，則次?異號(hào)，cvO,

根據(jù)題意得：1—2。2=/+/,

又由a?+/?222\ab\=-2ab,即有1—2cz2-2ab，

貝!la/>+c?c2+c-L=fc+L]--—?

2I4j16

9

即2ab+c的最小值為-一，

16

9

故答案為：-廠

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.

15、10

【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.

【詳解】

解：PC>120)=1[l-2P(80<JV100)]=0.10,

所以應(yīng)從120分以上的試卷中抽取100x0.10=10份.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎(chǔ)題.

16、15

【解析】

利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得”的值，由此寫出展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.

【詳解】

的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為2"=64,得〃=6,

所以，的展開式通項(xiàng)為（+i=cr（6）6f.（工）=c>x號(hào),

令白一=0,得/'=2,因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為廢=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）見解析（2）4=1，〃=0（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）S,=4%T（〃之2）,所以，=2限I，故數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得q=l,2=1,

故；［=1,〃=0；°）得X=〃=1,所以s,=］a,+a,T，得（〃—1）4+1—（〃—2）%—2%-=0,可證數(shù)列｛4｝

是等差數(shù)列.

試題解析：

（1）證明：若幾=0,〃=4,則當(dāng)S0=4。,_1（〃22）,

所以見+i=Sn+l-Sn=4（%—見_］）,

a

即n+i~2%=2（%-2a“_］）,

所以仇=2。1，

又由。1=2,%+%=4q,

得4=3q=6,4—2q=2w0,即2w0,

所以3=2,

故數(shù)列也｝是等比數(shù)列.

（2）若｛/｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4（q/0）,

當(dāng)〃=2時(shí)，S2=2Aa2+piOy,即％+%=2%〃2，得

l+q=2Aq+//,①

當(dāng)〃=3時(shí)，S3=+jLia2,即q+4+生=3%。3+4。2，得

]+q+q2=3Xq2+"q,②

當(dāng)〃=4時(shí)，S4=4/k/4+，即4+。2+。3+。4=42。4+4。3，得

1+q+12+q3—4X13+4a2,(§)

②-①"，得1=方，

③-②"，得1=沏3,

解得9=1,丸=1.

代入①式，得〃=。.

此時(shí)S〃=nan(n>2),

所以4=%=2,,“｝是公比為1的等比數(shù)列，

故2=1，〃=0.

(3)證明：若。2=3,由4+%=24。2+〃。1，得5=62+2〃，

31

又X+〃=一，解得a=—，〃=1.

22

由4=2,%=3,%=；，4=1，代入S〃=Anan+/aan_｛得的=4,

所以%,出，4成等差數(shù)列，

,n30n+1

由o=5%+%—i,得S八+i=2an+\+an9

M+1n

兩式相減得：?！?1=~y-%+i-2?！?%-an-i

即(〃一1)%+i__2)4_2Q〃T=0

所以啊,+2—("T)%+1—2%=。

相減得：nan+2-2(w-l)an+1+(ra-2)a/(-2an+2a;i_1=0

所以“(4+2—2%+an)+2Mi—2an+%)=0

222、

所以(4+2-2冊(cè)+i+4)=一—(。八+i-2冊(cè)+)=-7-x261n_]+an_2)

n磯〃一

(-2)"-1/、

==一-2a2+q)，

因?yàn)槿铡?a2+%=0,所以an+2-2an+1+an=0,

即數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列.

18、(1)e=—；(2)不存在，理由見解析

2

【解析】

(b2｝

(1)寫出Ac,一,根據(jù)斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率；

、a?

(2)寫出直線A3的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)3的坐標(biāo)，計(jì)算出弦長(zhǎng)|A3],根據(jù)垂直關(guān)系同理可得|AC|,利用等

式0|AB|=|A。即可得解.

【詳解】

(b~\

(1)由題可得Ac,—,過點(diǎn)A作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且ABLAC,直線AC交V軸于點(diǎn)。.

Ia

(b-1)

點(diǎn)3為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,——-a,

Ia3J

AB±AC即ADLAB,

b^_l此b2

^AD^-AB=-]，a3aa__]

0-cc-a

化簡(jiǎn)得：2c--3ac+a2=0,

即2e2-3e+l=0,解得e=:或e=l(舍去)，

所以e=,；

2

(2)橢圓￡的方程為:十丁=1,

由(1)1,-^-j,AB:y=kx—k+,k

72

y=kx-k+

聯(lián)立2得：(l+2k2)"2k"k-五)x+2k。-2?c-1=U,

—+y2=l

[2-

根據(jù)韋達(dá)定理X”音浮1

設(shè)3的橫坐標(biāo)4，

所以IAB卜-1|=-717F.2￡；片

2

同理可得ac=-1+

(1lYk2+2

41+2

k

若存在k使得V2|AB|=|AC|成立,

則9k筆|*2門怒

化簡(jiǎn)得：42k-+k+42=Q，/<0,此方程無解，

所以不存在左使得拒|AB|=|AC|成立.

【點(diǎn)睛】

此題考查求橢圓離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問題，關(guān)鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋

達(dá)定理在解決解析幾何問題中的應(yīng)用.

19、(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)連接3。，交AC與。，連接MO,由MO//EB,得出結(jié)論；

(2)以A為原點(diǎn)，AC,AB,AE分別為％,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACM的法向量，利用夾角

公式求出即可.

【詳解】

(1)連接BD,交AC與。，連接MO,

在ADEB中，MO//FB,

又平面ACM,MOu平面ACM,

所以EB//平面ACM；

(2)由平面A3CD_L平面ABER,AC±AB,AB為平面ABC。與平面ABEF的交線，故人。_1平面鉆瓦故

AF±AC,又ARLAB,所以AP,平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，AC,AB,AE分別為x,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

A（0,0,0）,C（4,0,0）,5（0,2,。）,D（4,-2,0）,-0,0,2）,M（2,-l,l）,

設(shè)平面AQW的法向量為加=（x,y,z）,AC=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

m-AC=4x=0,/、

由<,得7〃=（0,1』,

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量為AB=(0,1,0),

由cos（AB,根）=,

故二面角M—AC—尸的大小為45。.

本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20、(1)證明見詳解；(2)=

6

【解析】

(1)由題可知，等腰直角三角形ABC與等邊三角形PAC,在其公共邊AC上取中點(diǎn)O,連接08、OP,可得

OB±AC,OP±AC,可求出。p=百.在△0P6中，由勾股定理可證得03,結(jié)合OPcAC=O,可證明

OB，平面PAC.再根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面ABC±平面PAC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,由點(diǎn)F在線段A5上，設(shè)Ak=〃zA8(0<〃z<D，

得出Cb的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面PbC的一個(gè)法向量”.用向量法表示出AP與平面PCV所成角的正弦值，由其等于

旦,解得".再結(jié)合為平面出。的一個(gè)法向量，用向量法即可求出〃與的夾角，結(jié)合圖形，寫出二面角

4

尸―PC—A的大小.

【詳解】

證明：(1)在AB4C中，PA=PC="P=—

3

.?.△PAC為正三角形，且AC=2

在ABC中，AB=BC=6

ABC為等腰直角三角形，且AB，5c

取AC的中點(diǎn)。，連接08,。尸

:.OB±AC,OP±AC

OB=1,OP=6,PB=PA=2,

:.PB2=OB2+OP-，

：.OPLOB

OPAC=O,AC,OPu平面PAC

O3_L平面PAC

O3u平面ABC

..平面ABC±平面PAC

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系孫z,則

A(0,-l,0),B(l,0,0),C(0,l,0),P(0,0,,

AB=(I,I,O),AP=(O,I,6),

CP=(0,-1,石),CA=(0,-2,0),

設(shè)AF=mAfi(0<m<l).貝!1CF=CA+AF=(m,m-2,0)

設(shè)平面PFC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).則

n-CF=0

nCP=0

mx+y(m-2)=0

-y+A/3Z=0'

2-m[-

l,%=------73

令y=6，解得jm

Z=1

AP與平面PFC所成角的正弦值為正,

4

.“AP_2百_旦

…川川;5(2-附2]=不

NqIJ,十D十1-

Vm

整理得3療+4m—4=0

2

解得加=耳或加=一2(含去)

:.n=(2區(qū)區(qū)》

又OB為平面PAC的一個(gè)法向量

n-OBy/3

/.cos(n,OB)=

HH=T

TT

二.〈tt,OB〉=—,

二面角F—Q4—C的大小為占.

o

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.

21、(1)a=0.080(2)詳見解析

【解析】

(1)由頻率分布直方圖中所有頻率(小矩形面積)之和為1可計(jì)算出。值；

(2)由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為!」,'.，選2件產(chǎn)品，支付的費(fèi)用X的所有取值為240,

236

300,360,420,480,由相互獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算出概率，得概率分布列，由公式計(jì)算出期望.

【詳解】

解：(1)據(jù)題意，M0.008x5+0.032x5+5a+0.024x5+0.036x5+0.020x5