圓的綜合應(yīng)用題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧

通的候舍啟用題

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算

特殊四邊形與圓結(jié)合的動態(tài)探究

圓的綜合應(yīng)用題中?？碱}型

情景與應(yīng)用題型

中考圓的命題趨勢主要圍繞圓的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行考查，包括弦弧角的關(guān)系、圓周角與圓心角、圓內(nèi)接

四邊形、切線等知識點。這些知識點常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，既考察學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的

掌握程度,也考察學(xué)生運用這些知識解決實際問題的能力。

模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算近兩年主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。在選擇題和填空題中，通常會直接

考查學(xué)生對圓心角與圓周角及圓的切線等知識的理解和應(yīng)用。在解答題中，可能會涉及到圓的對稱性、圓與

三角形或四邊形的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理和計算。止匕外，還可能會涉及到與其他

知識點的綜合應(yīng)用，如與三角形的相似和全等、四邊形的存在性問題等知識點的結(jié)合。

模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動態(tài)探究

特殊四邊形與圓結(jié)合的動態(tài)研究，該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，第一問基本上考查的為圓的性質(zhì)，主

要以求解和證明的形式出現(xiàn)。圓與四邊形結(jié)合時，需要我們對四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識,尤其是菱形、

矩形的相關(guān)知識點。圓的綜合問題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類,也是難度較大的一類，所以，對應(yīng)的訓(xùn)練

很有必要。

模型03情景與應(yīng)用題型

情景與應(yīng)用題型是圓知識點的綜合考查應(yīng)用，通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密

結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時還要有一定的知識儲備。在解題時要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)

化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識應(yīng)用。

總結(jié)?通型鈾建［

模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算

考I向I項I惻

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn),在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不

大，在各類考試中都以中檔題為主。解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓

和其它幾何的相關(guān)知識點進(jìn)行解題。

答I題I技I巧

第一步：靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；

第二步：碰到直徑想直角，直徑所對的圓周角為90°；

第三步：看到切線--連半徑--90°,證明切線時注意證明90°；

第四步：圓內(nèi)接四邊形一一對角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對角；

［題型王＜5'1

題目工（2023?河南）如圖，在中，/B=30°,AB=3.以。為圓心，04為半徑的圓。交OB于點C.

點。在OO上，連接CD,4D,若/40。=30°,則圓。的半徑為（）

A.1B.V3C.2D.V5

題目團(tuán)（2023?安徽）如圖，在△48。中，/4=90°,4B=AC=9,以點A為圓心、6為半徑的圓上有一個動

點P.連接AP、BP、CP,則|■JBF+CP的最小值是（）

B

A.3V13B.V97C.D.2+3V13

題目區(qū)（2023?湖北）如圖，AB是。O的直徑，48=10,。是AB延長線上一點，。在。。上,連接AC,

BC,DC,4BCD=/A.

⑴求證：OC是。。的切線；

（2）若tan/_A=■，求CD的長.

2

模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動態(tài)探究

考|向|霸|瀏

糊味四邊形與圓結(jié)合的動態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，主要考查

對圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識的應(yīng)用。實際題型中對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多問

題的討論中需要我們對四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識。

答I題I技I巧

第一步：圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進(jìn)行求解；

第二步：注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；

第三步：四邊形的存在性問題注意假設(shè)、反推；

第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

|題型而校I

［題目@（2023?湖北）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0O,點E在CD的延長線上.若乙4DE=70°,

題目回（2023?江西）課本改編

（1）如圖1,四邊形ABCD為③。的內(nèi)接四邊形，力。為。。的直徑，則48=/。=_度，ABAD+ABCD

=_度.

（2）如果O。的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC不是。O的直徑，如圖2,求證:圓內(nèi)接四邊形的對角互

補(bǔ).

知識運用

（3）如圖3,等腰三角形ABC的腰是。。的直徑，底邊和另一條腰分別與。。交于點D,E,F是線

段CE的中點,連接DF,求證:DF是60的切線.

3

模型03情景與應(yīng)用題型

考|向|霸|瀏

圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。

該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后,有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的事

物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時還要有一定的知識儲備。在解

題時要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識應(yīng)用。

答I題I技I巧

第一步：理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識點；

第二步：圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；

第三步：利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題；

題型手柄

愚目①（2022.河南）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目.滾

鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進(jìn)行了研究,如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)。。與水平地

面相切于點C,推桿AB與鉛垂線AD的夾角為乙BAD,點。，A,B,在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿AB與

鐵環(huán)。。相切于點B時,手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果.

（1）求證：ABOC+ABAD=90°.

（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動.圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低

位置,此時點A距地面的距離AD最小,測得cosABAD=色.已知鐵環(huán)0O的半徑為25cm，推桿AB的

長為75cm，求此時AD的長.

題目②（2022.江蘇）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心,直徑AB的長是12cm,。是半圓弧上的

一點（點。與點不重合），連接

AOBAOB

備用圖

（1）沿AC,剪下ZVIBC,貝IZVLB。是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；

（2）分別取半圓弧上的點E、F和直徑上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是

一個邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作

法）；

（3）經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段AC上的點“、線段上的點N

和直徑AB上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm的菱形.小明的猜想

是否正確？請說明理由.

京嶷?強(qiáng)牝訓(xùn)線

題目回（2022.四川?。┤鐖D，CD為。O的直徑，弦48,CD,垂足為石，CE=1,48=6,則。O的半徑為

A.3B.4C.5D.無法確定

題目@（2023?廣東）如圖，AD為。。的直徑，AD=6cm,則47的長度為（）

A.V2B.2V2C.3V2D.373

題目回（2023?福建）。。的半徑為10cm,弦AB〃CD.若AB=12cm,CD=16cm,則AB和CD的距離為

()

A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.2cm或10cm

題目后〕（2023?北京）如圖，AB為。。的直徑，點。在圓上，若/40。=130°,則/氏4。的度數(shù)為（）

B.30°C.40°D.50°

題目⑦（2023?浙江）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作圓，交BC于點。，延長CA交圓于點E,

連接DE,交于點F.若AF:BF=1：4,則EF：DF的值為（）

E

A

A.3:5B.2:3C.3:4D.1:2

痼目J］（2023-陜西）如圖，。。是AABC的外接圓，/A=72°.過點。作及7的垂線交數(shù)于點。，連接

BD,則/。的度數(shù)為（）

A.64°B.54°C.46°D.36°

題目。（2023?上海）若一個正多邊形的每一個外角都等于36°,那么這個正多邊形的中

心角為度.

題目兀（2022?上海）如圖，。。是的外接圓，AB交。。于點E,垂足

為點。，/出，CB的延長線交于點F.如果OD=3,AB=8,那么FC的長是.

題目兀（2023?長寧）如圖，。。的直徑AB與弦CD交于點E,已知/CEA=45°,DE=7,?！?=32,那

么cot^ABD的值為

題目叵（2023?湖南）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,對角線ACBD交于點E,連接OE.若

0。的半徑為八0七=m.

6

(1)若4ABe=/BAD,求證：OE平分AAEB-,

⑵試用含r,館的式子表示AC2+BE>2的值；

⑶記AADE,/\BCE,/\ABE,/\CDE的面積分別為&,S?,S3,S”當(dāng)JS1+S2+S3+S4=佝+JE時,

求證：AC=BD.

題目口口（2022.浙江）如圖1所示的圓弧形混凝上管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件.管片的橫截面（陰影部

分）如圖2所示,是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長線交于圓心，甲、乙、丙三個小組分別采用三種不

同的方法,測算三片不同大小的混凝土管片的外圓弧半徑.

圖1圖2圖3圖4

（1）如圖2,BA,CD的延長線交于圓心O,若甲組測得AB=0.6m,4D=3小，BC=4小,求08的長.

（2）如圖3,ED,FC的延長線交于圓心若乙組測得DE=0.8M,歷=12m,頡=15m,直接寫出EH

的長.

（3）如圖4,有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固定，管片與地面的接

觸點心為血的中點，若丙組測得MN=PQ=0.5m,NL=LQ=2m,求該管片的外圓弧半徑.

題目工（2024.陜西西安.一模）如圖，點力，B在以CD為直徑的半圓上，B是歪的中點，連結(jié)BD,AC交于

點E,若/ECD=40°,則/BDC的度數(shù)是（）

A.45°B.40°C.30°D.25°

題目團(tuán)（2024?安徽池州?一模）如圖，已知A4BC內(nèi)接于?O,AC為直徑，半徑ODII連接OB,AD.

若乙403=140°,則乙BAD的度數(shù)為（）

A.75°B.70°C.55°D.50°

§（2024.安徽.一模）如圖，四邊形48cD內(nèi)接于。O,AC為。。的直徑，乙4CD+=180°,連

接。。,過點。作DELAC,垂足為點E,過點。作。。的切線交BC的延長線于點F,則下列結(jié)論中不正

確的是（）

A.AD=DBB.NCDF=NBAC

C.DF±BFD.若。。的半徑為5,CD=4,則CF=§

5

題目⑷在①中，/C=90°,點O是斜邊AB邊上一點，以。為圓心，OA為半徑作圓，。。恰好與邊

BC相切于點。，連接AD,若AD=BD,。。的半徑為4,則CD的長度為（）

題目可如圖，OO半徑長2cm,點4B、。是。。三等分點，。為圓上一點，連接且4D=2V^cm,

CD交AB于點E,則ABED（）

A.75°B.651C.60°D.55°

題目回（2023?浙江金華三模）如圖，已知直線y=—3與c軸、"軸分別交于4B兩點，P是以。（0,1）

為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結(jié)PA、PB.則△PAB面積的最小值是（）

題目⑦（2024.河南漠河.一模）如圖圓。的半徑是4,BC是弦，/B=30°且力是弧BC的中點，則弦AB的

A.2V3B.4V3C.4D.6

【題目回（2024.重慶.一模）如圖，是。。的直徑且=42,點。在圓上且AABC=60°,AACB的平分

線交。。于點。，連接AD并過點A作垂足為E,則弦AD的長度為（）

D

A.2V3B.V15C.4D.亮碗

題目⑥如圖，。O半徑長2cm，點A、B、C是。。三等分點，點。為圓上一點，連接AD,且AD=2v^cm,

CD交AB于點、E,則/BED=（）

A.75°B.65°C.60°D.55°

題目主］如圖，有圓。,內(nèi)部有四邊形ABC。,連接CO和AO,己知/B=60°,8是乙4CD的角平分線,

則/AOC的度數(shù)是（）

C.75°D.45°

題目3D如圖，AB是。。的直徑，C。與。。相切于點C,AB的延長線交直線CD于點E,連接AC,BC.

若AACD=60°,47=血，則BE的長度是.

題目應(yīng)（2023?寧波）如圖，在Rt/XABC中，/C=90°,E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓O與BC相

切于點。，連結(jié)AD,BE=3,=3V5.P是AB邊上的動點，當(dāng)AADP為等腰三角形時，AP的長為

題目應(yīng)如圖，AB是。的直徑，AC是弦，且QD，AC于點E,QD交。。于點F,連接CF、BF,若

4BFC=/ODA.

⑴求證：AD是。。的切線：

（2）若AB=10,AC=8,求人。的長.

題目正如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，C是反)的中點，過點。作CELAD交

AD的延長線于點E.

(1)求證：CE是。。的切