24.3 正多邊形和圓(提升訓(xùn)練)(解析版)

24.3正多邊形和圓【提升訓(xùn)練】一、單選題1．如圖，六邊形是正六邊形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，分別與交于點(diǎn)，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，MN是△PCD的中位線，求出△PBM和△PCD的面積即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，連接AC交BE于H點(diǎn)，如下圖所示：正六邊形六邊均相等，且每個(gè)內(nèi)角為120°，∴△ABC為30°，30°，120°等腰三角形，∴BE⊥AC，且，且，∵AF∥CD，P為AF上一點(diǎn)，∴，MN為△PCD的中位線，∴，由正六邊形的對(duì)稱性可知：，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于?？碱}型．2．如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點(diǎn)A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)為正六邊形對(duì)角線上一點(diǎn)，，，則的值是（）A．20 B．30C．40 D．隨點(diǎn)位置而變化【答案】B【分析】連接AC、AD、CF，AD與CF交于點(diǎn)M，可知M是正六邊形的中心，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，再求出正六邊形面積即可．【詳解】解：連接AC、AD、CF，AD與CF交于點(diǎn)M，可知M是正六邊形的中心，∵多邊形是正六邊形，∴AB=BC，∠B=∠BAF=120°，∴∠BAC=30°，∴∠FAC=90°，同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，∴四邊形ACDF是矩形，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接對(duì)角線，根據(jù)正六邊形的面積公式求解．4．在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)正六邊形的中心角和邊心距分別是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正六邊形的性質(zhì)得∠COD＝60°，再證△OCD是等邊三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂徑定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OG即可．【詳解】解：在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴BC＝CD＝OC＝2，∵OG⊥BC，∴CG＝BC＝1，∵∠COG＝∠COD＝30°，∴OG＝CG＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)，，在上，若，，分別是內(nèi)接正三角形．正方形，正邊形的一邊，則（）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】分別連接OB、OA、OC，根據(jù)正多邊形的中心角=，可分別求得∠BOC、∠AOB的度數(shù)，從而可得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的中心角=，可求得邊數(shù)n．【詳解】分別連接OB、OA、OC，如圖所示∵是內(nèi)接正三角形的一邊∴∠BOC=同理，可得：∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC?∠AOB=30°∵是正邊形的一邊∴∴n=12故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角=，掌握這一知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．6．尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容．小明按以下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖：①將半徑為的六等分，依次得到六個(gè)分點(diǎn)；②分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③連結(jié)．則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖（見解析），先根據(jù)六等分點(diǎn)可得是的直徑，，再根據(jù)圓周角定理、勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：如圖，連接，是的六等分點(diǎn)，是的直徑，，由圓周角定理得：，在中，，分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一），在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的三線合一等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．7．如圖，正方形內(nèi)接于．點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OB、OC、OE，根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形性質(zhì)易證得是等邊三角形，從而可得BO=CO=OE=3，由此即可解題．【詳解】解：連接OB、OC、OE，，∵正方形內(nèi)接于，∴，，三點(diǎn)共線，又∵，∴，又∵BO=CO=OE，∴是等邊三角形，又∵，∴BO=CO=OE=3，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形性質(zhì)，正確作出輔助線得出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的外接圓半徑為（）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】設(shè)正六邊形的中心是，一邊是，過作于，在直角中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得邊長(zhǎng)，從而求出周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，在中，，，；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的計(jì)算問題，常用的思路是轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊和角的計(jì)算．9．若正方形的外接圓半徑為2，則其邊長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】明確正方形外接圓直徑為正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：正方形外接圓直徑為正方形的對(duì)角線長(zhǎng)．∵正方形的外接圓半徑為2，∴正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為4，∴正方形的邊長(zhǎng)為＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是理解正方形外接圓直徑為正方形的對(duì)角線長(zhǎng)．10．如圖，有公共頂點(diǎn)O的兩個(gè)邊長(zhǎng)為3的正五邊形（不重疊），以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為3作圓，構(gòu)成一個(gè)“蘑菇”形圖案，則這個(gè)“蘑菇”形圖案（陰影部分）的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角，再根據(jù)面積計(jì)算公式計(jì)算即可；【詳解】∵正五邊形的內(nèi)角和為，∴每一個(gè)內(nèi)角為：，圖中陰影部分的圓心角為：，∴；故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)和扇形面積計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11．下列命題正確的是（）A．正三角形的內(nèi)切圓的半徑與外接圓半徑之比為2﹕1B．正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑C．圓的外切正多邊形的邊長(zhǎng)等于其邊心距的2倍D．各邊相等的圓的外切四邊形是正方形【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A、正三角形的內(nèi)切圓的半徑與外接圓半徑之比為1﹕2，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；B、正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑，命題正確，符合題意；C、圓的外切正方形的邊長(zhǎng)等于其邊心距的2倍，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、各邊相等的圓的外切四邊形是正方形也還可能是菱形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的相關(guān)概念辨析，掌握正多邊形與圓的有關(guān)性質(zhì)以及計(jì)算問題是解題關(guān)鍵．12．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，給出下列四個(gè)結(jié)論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四邊形ODBE的面積始終等于；④△BDE周長(zhǎng)的最小值為6．上述結(jié)論中不正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再證明∠BOD＝∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用S△BOD＝S△COE得到四邊形ODBE的面積＝S△ABC＝，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，計(jì)算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于△BDE的周長(zhǎng)＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長(zhǎng)最小，計(jì)算出此時(shí)OE的長(zhǎng)則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點(diǎn)O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，∴①正確；∵△BOD≌△COE，∴S△BOD＝S△COE，∴四邊形ODBE的面積＝S△OBC═S△ABC＝××42＝，故③正確；作OH⊥DE于H，如圖，則DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∴S△ODE≠S△BDE；故②錯(cuò)誤；∵BD＝CE，∴△BDE的周長(zhǎng)＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)OE＝，∴△BDE周長(zhǎng)的最小值＝4+2＝6，∴④正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判與性質(zhì).13．如圖，工人師傅用扳手?jǐn)Q形狀為正六邊形的螺帽，現(xiàn)測(cè)得扳手的開口寬度b＝3cm，則螺帽邊長(zhǎng)a等于（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理，可得答案．【詳解】解：如圖，連接AC，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，由正六邊形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC＝3，得CD＝1.5，Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝a，∴AD＝＝a，即a＝1.5，∴a＝（cm），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，利用了正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，又利用了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形．14．如圖，正三角形PMN的頂點(diǎn)分別是正六邊形ABCDEF三邊的中點(diǎn)，則三角形PMN與六邊形ABCDEF的面積之比（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8【答案】D【分析】連接BE，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，首先證明△PMN是等邊三角形，分別求出△PMN，正六邊形ABCDEF的面積即可．【詳解】解：連接BE，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a．則AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，∵AP＝PB，F(xiàn)N＝NE，∴PN＝（AF+BE）＝1.5a，同理可得PM＝MN＝1.5a，∴PN＝PM＝MN，∴△PMN是等邊三角形，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．15．邊長(zhǎng)為2的正六邊形的邊心距為（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【分析】正六邊形的邊長(zhǎng)與外接圓的半徑相等，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可求出．【詳解】解：連接OA，作OM⊥AB，垂足為M，連接OB，∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴△AOB是等邊三角形∴∠AOM=30°，AO=AB∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，∴AM=AB=×2=1，OA=2．∴正六邊形的邊心距是OM=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算，正多邊形的計(jì)算常用的方法是轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．16．如圖，是正六邊形ABCDEF的外接圓，P為上除C，D外的任意一點(diǎn)，則的值為（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】連接OC、OD，利用正六邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，即可求解．【詳解】連接OC、OD，如圖所示：

∵是正六邊形ABCDEF的外接圓，∴，P為上除C，D外的任意一點(diǎn)，∴，

∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在面積為135cm2的正六邊形ABCDEF中有兩個(gè)等邊三角形組成的菱形AMDN．則剪掉這個(gè)菱形后剩余部分的面積為（）A．75cm2 B．70cm2 C．65cm2 D．60cm2【答案】A【分析】連接AD，設(shè)AD＝2h，則正六邊形ABCDEF是有六個(gè)邊長(zhǎng)為h的等邊三角形組成，求得h2＝30，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AM＝a，得到h＝a，求得a2＝h2，根據(jù)三角形的面積公式得到菱形AMDN的面積＝2a2＝×h2＝××30＝60（cm2），進(jìn)而可求得結(jié)論．【詳解】解：連接AD，設(shè)AD＝2h，則正六邊形ABCDEF是有六個(gè)邊長(zhǎng)為h的等邊三角形組成，∴邊長(zhǎng)為h的正△BOC的面積為h2，∴S正六邊形＝6×h2＝135，∴h2＝30，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AM＝a，則h＝a，∴a2＝h2，∴菱形AMDN的面積＝2×a2＝×h2＝××30＝60（cm2），∴剪掉這個(gè)菱形后剩余部分的面積為135﹣60＝75（cm2）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的面積的求法，正確的理解題意，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正七邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓D．不存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【答案】C【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形的定義、多邊形外角和定理、正多邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得答案．【詳解】A.正七邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，B.任意多邊形的外角和都等于360°，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，C.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓，故該選項(xiàng)正確，D.∵正三角形的每個(gè)外角為120°，對(duì)應(yīng)的每個(gè)內(nèi)角為60°，∴存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)、中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形的定義及多邊形外角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵．19．如圖所示，為的內(nèi)接三角形，，則的內(nèi)接正方形的面積（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先連接BO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，再連接AD，根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠ADB=30°，而BD是直徑，那么易知△ADB是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，那么可求BD，進(jìn)而可知半徑的長(zhǎng)，任意圓內(nèi)接正方形都是以兩條混響垂直的直徑作為對(duì)角線的四邊形，故利用勾股定理可求正方形的邊長(zhǎng)，從而可求正方形的面積．【詳解】解：連接BO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，再連接AD，如圖，∵∠ACB=30°，∴∠BDA=30°，∵BD是直徑，∴∠BAD=90°，在Rt△ADB中，BD=2AB=4，∴⊙O的半徑是2，∵⊙O的內(nèi)接正方形是以兩條互相垂直的直徑為對(duì)角線的，∴正方形的邊長(zhǎng)=，∴S正方形=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、含有30角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．20．已知正六邊形內(nèi)接于，若的直徑為，則該正六邊形的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接OA、OB，由正六邊形內(nèi)接于可得∠AOB=60°，即可證明△AOB是等邊三角形，根據(jù)直徑可得OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得正六邊形的周長(zhǎng)．【詳解】如圖，連接OA、OB，∵的直徑為，∴OA=1，∵正六邊形內(nèi)接于，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=1，∴該正六邊形的周長(zhǎng)是1×6=6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，正確得出∠AOB=60°是解題關(guān)鍵．21．如圖，圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為2，以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A．4 B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)正方形的中心為O，連接OA，OB首先求出其長(zhǎng)度，再根據(jù)陰影部分面積等于四個(gè)直徑為2的半圓面積之和加上一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形面積，然后減去一個(gè)半徑為的圓的面積求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形的中心為O，連接OA，OB，由題意可得OA=OB，∠AOB=90°，AB=2∴在Rt△AOB中，OA=OB=∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．22．如圖，有一個(gè)半徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個(gè)最大正六邊形紙片，則這個(gè)正六邊形紙片的邊心距是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OA、OB，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC=，由OA=4cm，得到AC=2cm，根據(jù)勾股定理求出OC=cm．【詳解】如圖，連接OA、OB，則△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，∵△AOB是等邊三角形，∴∠OAB=，∴∠AOC=，∵OA=4cm，∴AC=2cm，∴OC=cm，故選：C．．【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，正六邊形內(nèi)接于，連接，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BO、CO，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可求∠BOC，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)可求．【詳解】解：連接BO、CO，在正六邊形ABCDEF中，∠BOC==60°，∴∠BAC=∠BOC=30°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)和圓周角的性質(zhì)，連接半徑，求圓心角是解題關(guān)鍵．24．正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為，則這個(gè)正多邊形為（）A．正十二邊形 B．正六邊形 C．正四邊形 D．正三角形【答案】C【分析】設(shè)AB是正多邊形的一邊，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函數(shù)求得∠AOC的度數(shù)，從而求得中心角的度數(shù)，然后利用360度除以中心角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．【詳解】解：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為，

設(shè)AB是正多邊形的一邊，OC⊥AB，

則OC=，OA=OB=2，

在Rt△AOC中，cos∠AOC==，

∴∠AOC=45°，

∴∠AOB=90°，

則正多邊形邊數(shù)是：=4．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力，正多邊形的計(jì)算一般是轉(zhuǎn)化成半徑，邊心距、以及邊長(zhǎng)的一半這三條線段構(gòu)成的直角三角形的計(jì)算，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25．⊙O內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三角形和一個(gè)內(nèi)接正方形，則內(nèi)接三角形與內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)之比為（）A．1∶ B．∶ C．3∶2 D．1∶2【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出圓的半徑，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接OB，過O作OD⊥BC于D，則∠OBC=30°，BD=OB?cos30°=r，∴BC=2BD=r；連接OE，過O作OM⊥EH于M，則EM=HM，△OEM是等腰直角三角形，∴EM=OE=r，∴EF=2EM=r，∴圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)之比為r:r=:．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接正三角形、正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．26．如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，⊙O的半徑長(zhǎng)為a，下列說法中不正確的是（）A．正六邊形ABCDEF的中心角等于60°B．正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)等于6aC．正六邊形ABCDEF的邊心距等于D．正六邊形ABCDEF的面積等于3【答案】D【分析】正多邊形每一邊對(duì)應(yīng)的圓心角等于中心角，判斷出△OAB為正三角形，即可求得周長(zhǎng)為6a，邊心距即為正△OAB的高，正六邊形的面積為6個(gè)正三角形的面積之和，計(jì)算出結(jié)果依次判斷即可．【詳解】∵⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，∴正六邊形ABCDEF的中心角等于，故A正確；∵⊙O的半徑長(zhǎng)為a，正六邊形ABCDEF的中心角等于60°，∴△OAB為正三角形，∴正六邊形的邊長(zhǎng)為a，∴正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)等于6a，故B正確；∵正六邊形ABCDEF的邊心距等于，故C正確，∵正六邊形ABCDEF的面積等于六個(gè)正三角形OAB的面積，∴，故D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正多邊形外接圓的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角的計(jì)算，以及正三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．27．公元3世紀(jì)，劉徽發(fā)現(xiàn)可以用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)近似地表示圓的周長(zhǎng)．如圖所示，他首先在圓內(nèi)畫一個(gè)內(nèi)接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數(shù)；當(dāng)邊數(shù)越多時(shí)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近于圓的周長(zhǎng)．劉徽在《九章算術(shù)》中寫道：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”我們稱這種方法為劉徽割圓術(shù)，它開啟了研究圓周率的新紀(jì)元．小牧通過圓內(nèi)接正邊形，使用劉徽割圓術(shù)，得到π的近似值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如詳解圖，先利用三角函數(shù)的知識(shí)把正邊形的邊長(zhǎng)用含有的式子表達(dá)出來，求解出正邊形的周長(zhǎng)，再利用正邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)即可求解．【詳解】如圖：，，則正邊形的周長(zhǎng)為：，圓的周長(zhǎng)為：，由圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)可得：整理得：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了極限的思想，抓住圓內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．28．圖，已知正五邊形內(nèi)接于，連接，相交于點(diǎn)，則的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，然后利用三角形內(nèi)角和定理得∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°，最后利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°．【詳解】解：如圖所示：∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°，∴∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形內(nèi)角與外角，正五邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．29．如圖，在⊙O中，點(diǎn)B是弧AC上的一點(diǎn)，∠AOC=140°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．70° B．110° C．120° D．140°【答案】B【分析】在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)D，連接AD、CD，由∠AOC=求出∠ADC=，根據(jù)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，得到∠ADC+∠ABC=，即可求出∠ABC的度數(shù)．【詳解】在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)D，連接AD、CD，∵∠AOC=，∴∠ADC=，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=，∴∠ABC=，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．30．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】連接OA、OD、OF，如圖，利用正多邊形與圓，分別計(jì)算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，則∠DOF=30°，然后計(jì)算，即可得到n的值．【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題31．如圖，直線經(jīng)過正五邊形的中心，與、邊分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)為______°．

【答案】72【分析】連接,證明，推出四點(diǎn)共圓，即可求得答案．【詳解】連接,如圖所示：∵ABCDE為正五邊形，∴,∵關(guān)于PQ對(duì)稱，∴,∴,∴四點(diǎn)共圓，∴,∴,故填：72．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明，得出四點(diǎn)共圓．32．如圖是四個(gè)全等的正八邊形和一個(gè)正方形拼成的圖案，已知正方形的面積為4，則一個(gè)正八邊形的面積為____．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=2，根據(jù)由正八邊形的特點(diǎn)求出∠AOB的度數(shù)，過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由三角形的面積公式求出△AOB的面積，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)正八邊形的中心為O，連接OA，OB，如圖所示，∵正方形的面積為4，∴AB=2，∵AB是正八邊形的一條邊，∴∠AOB==45°．過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，則OD=x，OB=OA=x，∴AD=x-x，在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，即x2+(x-x)2=22，解得x2=2+，∴S△AOB=OA?BD=×x2=+1，∴S正八邊形=8S△AOB=8×(+1)=8+8，故答案為：8+8．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，正方形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．33．如圖，點(diǎn)為正八邊形的中心，則的度數(shù)為______．【答案】．【分析】連接OA、OB，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】解：作正八邊形的外接圓，連接OA、OB，如圖：∴，F(xiàn)、O、B共線，由圓周角定理得：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，掌握正多邊形的圓心角的求法、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．34．下圖是某經(jīng)營(yíng)攝影器材公司的（公司的徽標(biāo)）它由六個(gè)全等的直角三角形拼成，根據(jù)所學(xué)知識(shí)求出是______．【答案】60°【分析】直接運(yùn)用正六邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，公司的徽標(biāo)的兩個(gè)六邊形均為正六邊形，所以，正六邊形的內(nèi)角度數(shù)為：∴．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正六邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．35．如圖，已知AB為⊙O直徑，若CD是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，AD是⊙O內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，BD＝AC，則n＝__．【答案】4【分析】連接OD，OC．首先證明∠AOD=∠BOC，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接OD，OC．∵BD＝AC，∴，∴，∴∠AOD＝∠BOC，∵∠AOD＝∠BOC＝，∠DOC＝，∴2×=180°，解得n＝4或﹣2（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)n=4符合題意，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．三、解答題36．如圖，正方形內(nèi)接于，為上的一點(diǎn)，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，是的內(nèi)接正邊形的一邊，求的值．【答案】（1）45°；（2）8【分析】(1)連接，，由正方形內(nèi)接于，可求中心角．．(2)連接，，由正方形內(nèi)接于，可求．由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可求,可得，利用周角除以一個(gè)中心角即可求解【詳解】解：（1）連接，，∵正方形內(nèi)接于，∴．∴；（2）連接，，∵正方形內(nèi)接于，∴．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴∠COP=∠BOP，∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正n邊形的中心角，掌握?qǐng)A內(nèi)接正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正n邊形的中心角，利用周角除以正n邊形的中心角求邊數(shù)是解題關(guān)鍵．37．如圖，六邊形ABCDEF是的內(nèi)接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分．（2）設(shè)的面積為，六邊形ABCDEF的面積為，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接AE，AD，AC，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可證明；（2）過點(diǎn)O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)圓O的半徑為r，求出OG，用△OED的面積乘以6得到，再求出，即可計(jì)算的值．【詳解】解：（1）連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是的內(nèi)接正六邊形，∴EF=ED=CD=BC，∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分；（2）過點(diǎn)O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)圓O的半徑為r，∴EF=BC=ED=r，AD=2r，在正六邊形ABCDEF中，∠OED=∠ODE=60°，∴∠EOG=30°，∴EG=r，∴OG==r，∴正六邊形ABCDEF的面積==，圓O的面積=，∴==．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線．38．如圖正六邊形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)分別在圖1，圖2中使用無刻度的直尺按要求畫圖．（1）在圖1中，畫出一條長(zhǎng)度為0.5的線段，（2）在圖2中，畫一個(gè)邊長(zhǎng)與正六邊形的邊長(zhǎng)不相等的菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）連接CF，BD交于點(diǎn)G，則CG即為所求；（2）連接AC、DF、BF、CE，菱形FGCH即為所求；或延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AF、DE交于點(diǎn)H，菱形AGDH即為所求．【詳解】（1）如圖1：連接CF，BD交于點(diǎn)G，則CG即為所求；理由：∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°，又∵CF是正六邊形的對(duì)稱軸，∴CG⊥BD，在Rt△CBG中，CG=BC=0.5；（2）畫圖如下：解法一：菱形FGCH即為所求．解法二：菱形AGDH即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．39．已知：如圖，A為⊙O上一點(diǎn)；求作：⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．【答案】見解析【分析】先作直徑AC，再過O點(diǎn)作AC的垂線交⊙O于D、B，然后連接AB、AD、CD、CB即可．【詳解】解：如圖，四邊形ABCD為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．40．如圖，正五邊形內(nèi)接于，為上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求的余角的度數(shù)．【答案】54°【分析】連接OC，OD．求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題．【詳解】如圖，連接．∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴90°-36°=54°，∴的余角的度數(shù)為54°．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．41．如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中∠MON的度數(shù)是（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是____【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差、等量代換即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)（1）同樣的方法可得；先根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)可得中心角，再根據(jù)（1）同樣的方法可得；（3）根據(jù)（1）、（2）歸納類推出一般規(guī)律即可得．【詳解】（1）如圖，連接OB、OC，則，是內(nèi)接正三角形，中心角，∵點(diǎn)O是內(nèi)接正三角形ABC的內(nèi)心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）如圖1，連接OB、OC，四邊形ABCD是內(nèi)接正方形，中心角，同（1）的方法可證：；如圖2，連接OB、OC，五邊形ABCDE是內(nèi)接正五邊形，中心角，同（1）的方法可證：，故答案為：，；（3）由上可知，的度數(shù)與正三角形邊數(shù)的關(guān)系是，的度數(shù)與正方形邊數(shù)的關(guān)系是，的度數(shù)與正五邊形邊數(shù)的關(guān)系是，歸納類推得：的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正多邊形中心角的求法是解題關(guān)鍵．42．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠1＝112°，求∠CDE．【答案】．【分析】根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：由圓周角定理得，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．43．如圖，正方形內(nèi)接于，為任意一點(diǎn)，連接、．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）45°；（2）【分析】（1）如圖1中，連接OA、OD．根據(jù)∠AED＝∠AOD，只要證明∠AOD＝90°即可解決問題；（2）如圖2中，連接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．首先證明CE＝AF＝1，求出AC、AD，設(shè)DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可解決問題.【詳解】（1）如圖1中，連接、．四邊形是正方形，，．（2）如圖2中，連接，，，，作于．，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，解得或（舍棄），【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．44．已知，如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度數(shù)；（2）若D為的中點(diǎn)，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）60°、90°；（2）【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A、∠B的度數(shù)；(2)連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理得到AD＝CD，根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)∠A、∠B、∠C分別為2x、3x、4x，∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分別為60°、90°；（2）連接AC，∵∠B＝90°，∴AC為圓的直徑，AC＝＝5，△ABC的面積＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面積＝，∴四邊形ABCD的面積＝6+＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，從而進(jìn)行解題．45．如圖，是的外接圓，．點(diǎn)D在上，連結(jié)AD，BD，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E．求證：AD平分．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和平角的定義可得，根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，∵是的外接圓，點(diǎn)D在上，∴，∵，∴，∵∠ACB和∠ADB是所對(duì)圓周角，∴，∴，∴AD平分．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．46．如圖，A，B是⊙O上兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C為弧AB上一點(diǎn)．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）若C是弧AB的中點(diǎn)，求證：四邊形OACB是菱形．【答案】（1）120°；（2）證明見解析．【分析】（1）優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，根據(jù)圓周角定理求出∠D的度數(shù)，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)；（2）連接OC，根據(jù)圓周角定理證明△OAC和△OBC都是等邊三角形，就可以證明四邊形OACB是菱形．【詳解】解：（1）如圖，優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，則∠D=∠AOB=60°，∵四邊形ACBD內(nèi)接于圓，∴∠C=180°-∠D=180°-60°=120°；（2）如圖，連接OC，∵C是弧AB的中點(diǎn)，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴AC=OA=OB=BC，∴四邊形OACB是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和菱形的判定定理．47．已知已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個(gè)含30°的直角三角形．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）連接AD，BE交于點(diǎn)O，即可得到所求三角形；（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；【詳解】（1）如圖①所示：?AOB即為所求三角形；（2）如圖②所示：?ACF即為所求三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個(gè)內(nèi)角都等于120°，是解題的關(guān)鍵．48．如圖，已知圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)分別為，，，求四邊形的面積．【答案】8【分析】連接BD，延長(zhǎng)BC到E,使CE=AB=2，連接DE，然后證明△ABD≌△CED，得出四邊形ABCD的面積與三角形BDE的面積相等，最后利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：連接BD，延長(zhǎng)BC到E,使CE=AB=2，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，∵圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠A=∠DCE，∵AB=CE,AD=DC，∴△ABD≌△CED，∴BD=DE，∴四邊形ABCD的面積與三角形BDE的面積相等，∵DF⊥BC，∴BF=EF=(BC+CE)=BE=×8=4，∴FC=EF-CE=4-2=2，在Rt△DEC中，DF=，∴=×8×2=8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．49．如圖，已知是的直徑，弦于點(diǎn)是上的一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（1）若的半徑為，且，求弦的長(zhǎng)．（2）求證：．【答案】（1）6；（2）證明見解析【分析】（1）連接OD，OC，先證明△DOE是等腰直角三角形，再由垂徑定理和勾股定理可得DE=CE=3，從而得CD的長(zhǎng)；

（2）先由垂徑定理可得：，則∠ACD=∠AFC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：∠DFG=∠ACD，從而得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，連接OD，OC，

∵直徑AB⊥CD，

∴，DE=CE，

∴∠DOE＝∠DOC＝∠DFC＝45°，在Rt△DEO中，OD＝3，

∴DE=3，

∴CD=6；

（2）證明：如圖2，連接AC，

∵直徑AB⊥CD，

∴，

∴∠ACD=∠AFC，

∵四邊形ACDF內(nèi)接于⊙O，

∴∠DFG=∠ACD，

∴∠AFC=∠DFG．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角等知識(shí)，中等題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解答此題的關(guān)鍵．50．如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上．（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，求證：四邊形OABC為菱形．【答案】（1）∠AOC=120°；（2）見解析【分析】（1）先由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADC=60°，再由圓周角定理即可得出答案；

（2）證△OAB和△OBC都是等邊三角形，則AB=OA=OC=BC，根據(jù)菱形的判定方法即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=120°，∴∠ADC=60°，∴∠AOC=2∠ADC=120°；（2）連接OB，如圖所示：

∵點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，∠AOC=l20°，

∴∠AOB=∠BOC=60°，

又∵OA=OC=OB，

∴△OAB和△OBC都是等邊三角形，

∴AB=OA=OC=BC，

∴四邊形OABC是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．51．如圖，四邊形內(nèi)接于，，，垂足為．（1）若，求的度數(shù)；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，（2）證明：，，，，，，，；【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．52．如圖，的內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，．（1）當(dāng)時(shí)，求證；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）若且，請(qǐng)你用含有、的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】（1）證明見詳解；（2）48°；（3）90°-．【分析】（1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；

（3）連結(jié)MN，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠MCD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠MCD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠M+∠N=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．【詳解】解：（1）∠E=∠F，

∵∠DCM=∠BCN，

∠ADC=∠M+∠DCM，∠ABC=∠N+∠BCN，

∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，

∵∠MDC=∠ABC，

∴∠MDC=∠ADC，

∴∠ADC=90°，

∴∠A=90°-42°=48°；

（3）連結(jié)MN，如圖，

∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，

∴∠MCD=∠A，

∵∠MCD=∠1+∠2，

∴∠A=∠1+∠2，

∵∠A+∠1+∠2+∠AMB+∠AND=180°，

∴2∠A+α+β=180°，

∴∠A=90°-．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．53．如圖，已知A?B?C?D?E是上五點(diǎn)，的直徑，A為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使，連接．（1）求證：直線是的切線．（2）若，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）連接EA，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE=90°，而A為的中點(diǎn)，則∠ABE=45°，再根據(jù)等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP為等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．（2）連接DE，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DEB=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDE=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算BD的長(zhǎng)；【詳解】解：（1）證明：連接，如圖，∵為直徑，∴，∵A為的中點(diǎn)，∴，∵，而，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴直線是的切線．（2）解：連接，如圖，∵，∴∵為直徑，∴在中，，；【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.54．已知：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）當(dāng)，時(shí)，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）的半徑為5【分析】（1）連接AD，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠AGD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明即可；（2）連接OC．設(shè)⊙O的半徑為R．在Rt△OEC中，根據(jù)OC2=OE2+EC2，構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】（1）連接AD，

∵弦CD⊥AB，∴，∴∠ADC=∠2，

∵四邊形ADCG是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ADC=∠1，

∴∠1=∠2；（2）連接OC．設(shè)⊙O的半徑為R．

∵CD⊥AB，

∴DE=EC=3，

在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，

∴R2=(R-1)2+32，

解得R=5．∴的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．55．如圖，的直徑為10，弦為6，是的中點(diǎn)，弦和交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）運(yùn)用圓周角定理證明即可得到結(jié)論；（2）連接，，，在延長(zhǎng)線上截取，連，可得A、E、B、C四點(diǎn)為共圓，可證明，△CEG為等腰直角三角形，運(yùn)用勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∴又∵，∴∴（2）連接，，，∵為的直徑∴，在中，∵是弧的中點(diǎn)∴∴又∵∴，即∴∴，∴在延長(zhǎng)線上截取，連在圓內(nèi)接四邊形中，又∵∴∴∴∴∴在等腰中，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．56．如圖，在中的內(nèi)接四邊形中，，為弧上一點(diǎn)．（1）若，求和的度數(shù)；（2）若，求證：為等邊三角形．【答案】（1）=70°，=125°；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得出，再由，得出；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，可得出，，再由已知條件，得出，從而得出結(jié)論；【詳解】（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于，∴