9.2.3用樣本估計總體課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

德宏州民族第一中學(xué)9.2.3總體集中趨勢的估計1.第p百分位數(shù)的定義2.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟3.四分位數(shù)課前回顧眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義，計算及其比較學(xué)習(xí)目標(biāo)為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律．但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征．例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等．在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢．例4利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)査數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)．因為數(shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡單隨機樣本，所以我們可以據(jù)此估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，其中位數(shù)約為6.6t．假設(shè)某個居民小區(qū)有2000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？思考小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù).但在錄入數(shù)據(jù)時,不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？通過簡單計算可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒有變化，還是6.6t．這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變．因此，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感．平均數(shù)、中位數(shù)（1）平均數(shù)中位數(shù)（3）中位數(shù)平均數(shù)（2）探究平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．在圖9.2—8的三種分布形態(tài)中．平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的(圖9.2-8(1))，那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”(圖9.2-8(2))，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”(圖9.2-8C3))，那么平均數(shù)小于中位數(shù)．也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊．平均數(shù)、中位數(shù)（1）平均數(shù)中位數(shù)（3）中位數(shù)平均數(shù)（2）例5

某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表9.2-5所示．校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用表9.2-5中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性．分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別．對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適．解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（圖9.2-9）．可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適．由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理．眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息．眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度．因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值也不敏感．一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)．探究樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù).例如，我們在報紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖.這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖9.2-1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的．此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布．這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．因為樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替．

這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算的樣本平均數(shù)8.79相差不大．如圖9.2-11所示．這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大．以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等特征量在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時的各自特點，并研究了用樣本的特征量估計總體的特征量的方法．需要注意的是，這些特征量有時也會被利用而產(chǎn)生誤導(dǎo)．例如，假設(shè)你到人力市場去找工作，有一個企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元”，你該如何理解這句話？這句話是真實的，但它可能描述的是差異巨大的實際情況．例如，可能這個企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低（如大多數(shù)是5萬元左右），而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達到100萬元，在這種情況下年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多．盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù)．所以，我們要強調(diào)“用數(shù)據(jù)說話”，但同時又要防止被數(shù)據(jù)誤導(dǎo)，這就需要掌握更多的統(tǒng)計知識和方法．小結(jié)反思作業(yè)：優(yōu)化課后訓(xùn)練A組練習(xí)（第208頁）1．根據(jù)表9.2-2中的數(shù)據(jù)，估計該市2015年全年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和第80百分位數(shù)．（注：已知該市屬于“嚴重污染”等級的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過400）．空氣質(zhì)量等級（空氣質(zhì)量指數(shù)AQI）頻數(shù)頻率優(yōu)（AQI≤50）8322.8%良（50<AQI≤100）12133.2%輕度污染（100<AQI≤150）6818.6%中度污染（150<AQI≤200）4913.4%重度污染（200<AQI≤300）308.2%嚴重污染（AQI>300）143.8%合計365100%2．假設(shè)你是某市一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項目投資的平均資金數(shù)額．已知國家對本市一條新公路的建設(shè)投資為2000萬元人民幣，對另外25個公路項目的投資是20?100萬元，這26個投資金額的中位數(shù)是25萬元，平均數(shù)是100萬元，眾數(shù)是20萬元．請你根據(jù)上面的信息給市長寫一份簡要的報告．為了避免極端值對平均數(shù)的影響，可以把新建設(shè)公路項目和另外25個公路項目分開報告，例如公路建設(shè)的總投資額為2600萬元，其中一條新公路的建設(shè)投資2000萬元，其他25項公路是擴建或部分路段的改造項目，它們的平均投資是24萬元．3．某校舉行演講比賽，10位評委對兩位選手的評分如下：甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9乙7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8個評分的平均數(shù)．那么，這兩個選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎?你認為哪種評分辦法更好？為什么？兩種評分方法甲、乙得分的平均數(shù)見下表：選手8位評委評分的平均數(shù)10位評委評分的平均數(shù)甲8.008.14乙8.068.05如果采用去掉一個最低分和一個最高分的評分方法，乙選手比甲選手得分高．但是如果按照10位評委的平均分作為最后的得分，甲選手的得分反而比乙的高.這是因為有一個評委給甲選手評分為9.9，高出其他評委的評分很多，這一個評委的評分使排名順序發(fā)生了改變．去掉一個最低分和一個最高分的評分機制可以規(guī)避個別評委對選手得分的影響．統(tǒng)計學(xué)在軍事中的應(yīng)用——二戰(zhàn)時德國坦克總量的估計問題俗話說，知己知彼方能百戰(zhàn)百勝．在第二次世界大戰(zhàn)期間，德國制造坦克的技術(shù)非常先進，坦克的大量使用使納粹德國占據(jù)了戰(zhàn)場主動權(quán)．因此，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義．為此，除了通過常規(guī)情報收集信息外，盟軍請來了統(tǒng)計學(xué)家參與情報的收集和分析工作．根據(jù)德國戰(zhàn)后公布的生產(chǎn)記錄顯示，運用統(tǒng)計方法估計的結(jié)果與真實值非常接近，而通過常規(guī)情報進行的估計則與真實值相去甚遠．下表是二戰(zhàn)期間的三個月中，德國記錄的生產(chǎn)坦克的數(shù)目和情報估計、統(tǒng)計估計的坦克數(shù)目．時間德國記錄/輛情報估計/輛統(tǒng)計估計/輛1940年6月12210001691941年6月27115502441942年8月3421550327統(tǒng)計估計有如此高的精確度，統(tǒng)計學(xué)家是怎么做到的呢？原來，盟軍在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)了一個