安徽省某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

太和中學(xué)高一下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊（30%）,必修第二冊（70%）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

3+2i

1.復(fù)數(shù)T+2i的虛部為（）

88c8.D.—3

A.-B.C.—i

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得存|i,結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可求解.

3+2i（3+2i）（-l-2i）l-8i18.

【詳解】由題意‘復(fù)數(shù)F=J2：）=虧=丁「

所以復(fù)數(shù)三包的虛部為-5.

-l+2i5

故選：B.

2.已知一組數(shù)據(jù)：55,64,92,76,88,67,76,90,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）

A.90B.88C.82D.76

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：55,64,67,76,76,88,90,92,

又8x80%=6.4,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是90.

故選：A

3.函數(shù)/（x）=lg（4—忖）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（T,0）B.（-oo,0）C.（0,4）D,（0,+oo）

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】對于函數(shù)〃x）=lg（4—忖），令4—岡＞0,即國＜4,解得T（尤＜4,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?4,4）,

4—JQxN0

又y=4—國=[―,所以y=4—W在（0,+。）上單調(diào)遞減，在（―。,0）上單調(diào)遞增,

i"I

函數(shù)y=lgx在定義域（0,+。）上單調(diào)遞增，

所以/（%）=lg（4—|船的單調(diào)遞增區(qū)間為（10）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,4）.

故選：A

4.已知相，w是兩條不同的直線，?,￡是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.若mHn,mlla＞n//（3,則a//〃B.若a//〃，mlla＞nu（3,則7〃〃〃

C.若m_L〃，ml.a,n工）3,則a_L/?D.若a，/?,mlla,〃//，，則m_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】利用立體幾何公理、定理結(jié)合反例證明即可.

【詳解】對于A,若：〃〃“，mlla,"http://，，當(dāng)機(jī)，〃都平行于e,￡的交線時(shí)，

滿足條件，此時(shí)a,夕相交，故A錯(cuò)誤；

對于B,若。//月，mlla,〃u/7,貝”九，〃可能異面，故B錯(cuò)誤；

對于C,若7;2±?,nA.）3,則a_L￡,故C正確；

對于D,若。，尸,mlla,nlIp,則機(jī)，〃可能平行或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋邸?,5］,當(dāng)xe［—5,0］時(shí)，函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，則不等式

/(￡)>0的解集為()

J__?

^53TO/25X

A.(-5,-2)B.(0,2)

C(-5,-2)(0,2)D.(-2,0)U(2,5)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到了(%)在［-5,5］上的圖象，然后根據(jù)圖象解不等式即可.

因?yàn)楹瘮?shù)了(龍)是奇函數(shù)，所以/(%)在［-5,5］上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,

由"%)在5,0］上的圖象，知它在［0,5］上的圖象如圖所示，

則不等式/(”>0的解集為(—5,—2)(0,2).

故選：C.

6.如圖，在正三棱柱A5C-4與G中，加為棱AA的中點(diǎn)，N為棱CG上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，若

記正三棱柱A3C-4與。］的體積為匕則四棱錐3—AAWC的體積為()

B.—V

1218

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角正弦公式對?；?；由正切差角公式對沙化簡；由二倍角公式對?；啠蛔詈笥捎嘞?/p>

函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】因?yàn)閍=Jl+sin56°+Jl—sin56°=+2sin28°cos28°+Jl-2sin28°cos28°，

22

由0vsin280<cos28°所以a=sin280+cos28°I+sin28°-cos280)，

即a=sin280+cos280-sin280+cos280=2cos28°>2cos30°=^3；

r/cc/c“ctan84°-tan24°r-

又tan60°=tan(84°—24°)=---------------=J3

')l+tan84°-tan24°

故匕=tan840-tan24°-百tan84°tan24°=tan60°(l+tan840tan24°)-73tan84°tan240=百；

因?yàn)?2。+58。=90。，所以sin580=sin(90°-32°)=cos32°,

又c=4sin32°sin580=4sin32°cos32°=2sin64°=2cos26°>2cos28°,

又cos260>cos28°>cos30°=，所以b<a<c.

2

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=2x+4——+a,g(x)=Jx+4-Jx+8,若對Vx1G(Y,+”),玉?2,

x+8x+25

X,e(-4,+oo),使得g(X2)</(xj<g(x3)，則a的取值范圍是()

A"113

B.—,+ooD.——,+8

66

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性可得+—2<g(w)<0,—2<g(%)<0,結(jié)合

6

存在性問題以及恒成立問題列式求解.

【詳解】因x,w(T,+oo),則石+4>0,

玉+4111

/(%1)=+a-------+a<—]，+〃=--FCl

X；+8石+259

所以%+4+2Ja+4>96

%+4%+4

.9/、1

當(dāng)且僅當(dāng)Xi+4=-即％]=—1時(shí)，等號成立，所以a<y(xi)〈z+a,

國+46

4

又因?yàn)間(%)=+4—A/X+8=—且x〉~4,

J%+4+\/x+8

可知函數(shù)y=JUZ+在(-4,”)上單調(diào)遞增,

可得Jx+4+Jx+8>2,所以一2<g(x)<0,

即若馬,毛e(—4,~H?),則一2<g(%2)<。，-2<g(x3)<0,

若對V%e(-4,+oo),3x2,x3e(-4,+oo),使得g(xj</(%)<g(%3)，

a>-2

貝！Jv1,解得一2V〃<—,

—F〃<06

、6

所以“的取值范圍是—2,—g]

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求/(九),g(x)的值域分別利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性，這是求值域的兩種重

要且基礎(chǔ)方法，應(yīng)熟練掌握.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.小胡同學(xué)參加射擊比賽，打了8發(fā)子彈，報(bào)靶數(shù)據(jù)如下：9,8,6,10,9,7,6,9(單位：環(huán))，則下列說法

正確的是()

A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為9B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8.5

C.這組數(shù)據(jù)的極差是4D.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2

【答案】AC

【解析】

【分析】分別計(jì)算這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、極差、方差逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對于A,由題意知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為9,故A正確；

對于B,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是■|義(9+8+6+10+9+7+6+9)=8,故B錯(cuò)誤；

對于C,這組數(shù)據(jù)的極差是10-6=4,故C正確；

對于D,這組數(shù)據(jù)的方差是

222222222

5=-[(9-8)+(8-8)+(6-8)+(10-8)+(9-8)+(7-8)+(6-8)+(9-8)1=2,

8L-

D.””的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)

【答案】BC

【解析】

【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】作出函數(shù)/(x)=min{W，x+l}的圖象，如圖實(shí)線部分,

對于A,根據(jù)圖象，可得/(%)無最大值，無最小值，故A錯(cuò)誤；

對于B,根據(jù)圖象得，當(dāng)xWO時(shí)，/(x)的最大值為故B正確;

解集為‘8,g

對于C,由解得一結(jié)合圖象，得不等式

故C正確；

對于D,由圖象得，/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為1一8,-；，［o,+"),故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

7

12.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則；-i=.

【答案】-2-2i

【解析】

7

【分析】先求出Z,然后代入--i化簡即可.

i

【詳解】由題意得z=l—2K

所以三—i=E2—i=￡zZ￡—i

iiixi

i+2

-i=-2-2i.

故答案為：—2—2i

13.在三棱錐尸—ABC中，平面QAB,平面ABC.245是邊長為4的等邊三角形，BC=2,

其中COSQ=^^,sino=2^^,且。為銳角，則

所以當(dāng)8=3—夕時(shí)，2cos8+sin。的最大值為6.

故答案為：^5

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖所示，O'AB'C為四邊形。4BC的斜二測直觀圖，其中00=3,(yc=l,BC'=L

(1)畫出四邊形Q鉆C的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形Q43c的面積；

(2)若該四邊形Q鉆C以。4為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

【答案】(1)作圖見解析，4；

(2)y7l,(8+40)兀.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)斜二測畫法還原直觀圖，求出Q46c的邊長，即可求出四邊形Q43c的面積.

(2)由(1)可知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，求出相關(guān)量，再利用錐體、柱

體的體積與表面積公式求解.

【小問1詳解】

在直觀圖中O'A=3,OC=\,

則在平面圖形中。4=3,0C=2OC=2,BC=B'C'=1,于是48=萬萬=20，

所以平面四邊形。鉆C的平面圖形如下圖所示:

由上圖可知，平面四邊形。鉆C為直角梯形，所以面積為（1+3）X2=4.

2

【小問2詳解】

直角梯形Q43c以0A為軸，旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，

由（1）可知幾何體底面圓半徑為r=2,圓柱母線長和高都為1,即4=4=1；

圓錐的高為色=2,母線長為4=20,

1820

所以體積V=V^+V^=nr%+—nrb=4兀+]兀=飛-兀；

所以表面積S=7tr2+2兀%+?！?=4兀+4兀+4后兀=（8+4夜）兀.

16.隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，物業(yè)管理這個(gè)行業(yè)發(fā)展迅猛，某小區(qū)居民代表組織居民對所屬物業(yè)公司的服務(wù)

進(jìn)行問卷調(diào)查，隨機(jī)選取了200戶居民的問卷評分（得分都在50?100分內(nèi)，滿分100分），并將評分按

RS[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

注：本次評分不低于80分的居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)；成績低于80分的居民支持更換新物業(yè)公

司.

（1）求這200戶居民本次問卷評分的中位數(shù)；

（2）若該小區(qū)共有居民1200戶，試估計(jì)該小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的有多少戶？

（3）按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從評分在[50,60）,[90,100]內(nèi)的住戶中選取5戶，再從這5戶中

任意選取2戶，求這2戶中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率.

230

【答案】（1）

3

9

(2)480

【解析】

【分析】(1)在頻率分布直方圖中，所有小長方形面積之和等于1,解出々的值，再根據(jù)中位數(shù)的公式計(jì)算

得出結(jié)果；

(2)先計(jì)算小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率，在計(jì)算小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的

戶數(shù)；

(3)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從評分在［50,60),［90,100］內(nèi)的住戶中選取的戶數(shù)，再從這5戶

中任意選取2戶，利用古典概型，求這2戶中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率；

【小問1詳解】

由圖知，10x(0.010+a+0.020+0.025+0.030)=l,解得a=0.015.

評分在［50,70)的頻率為10x(0.010+0.020)=0.3<0.5；

評分在［50,80)的頻率為0.3+10x0.030=0.6>0.5,故中位數(shù)在［70,80)之間.

設(shè)這200戶居民本次問卷評分的中位數(shù)為x,

則(x-70)x0.03+0.3=0.5,

230

解得x=—，

3

230

故這200戶居民本次問卷評分的中位數(shù)為亍.

【小問2詳解】

由圖知，評分在［80,100］的頻率為1—0.6=0.4,

故可估計(jì)該小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率約為04,

估計(jì)該小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的有1200x0.4=480戶.

【小問3詳解】

由(1)知，評分在［50,60)的頻數(shù)為0.1x200=20,

評分在［90,100］的頻數(shù)為0.15x200=30.

按比例分配的分層抽樣的方法從中選取5戶，

則評分在［50,60)內(nèi)被抽取者x5=2戶，

30

分別記為4,生，評分在［90,100］內(nèi)被抽取否義5=3戶，分別記為偽也也.

從中任意選取2戶，有弓出嗎配弓仇間也,？々,2%，。2由，々4，々々，^^，共10種選法,

其中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的選法有貼［,（2也,<2也,（1也,Cl2b2,（1/3,1>四,b區(qū),b2b3,共

9種,

9

.?.這2戶中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率尸=竟

17.已知tze[o,3>且3sina+cosa=6

2sin（tz-47i）+sin（tz-

（1）求tana和。「、+cj〃+2r值;

3cos（。一5兀）

I2J

（2）若,且cos￡=——，求a—，的值.

10

【答案】（1）--

27

⑵4

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和ae0,方得至Usina=@,cose=辿，tan?=-,利用誘導(dǎo)

552

公式和齊次化得到方程;

67171

（2）計(jì)算出sin（tz-，）=sinacos/?-costzsin，=-《-,結(jié)合［一月e得到答案.

252

【小問1詳解】

因?yàn)?sina+cosa=真，又sinZa+cos2。=1，

解得sine=叵,cosa=正或sine=正,cosa=-—

5555

又辿0g,所以sina=立,cosa=3回

55

~…sina1

所以tana=----二—

cosa2

2sin（6z—4兀）+sin（a—7兀）_2sin?-sintzsin。

所以3cos（。一5兀）+COSa+空-3coso-sina-3coscif-sinor

I2

1

_tana_2_

-3-tanaj_7'

——2

【小問2詳解】

因?yàn)榍襝os^=D，所以sin引=Jl—cos?尸=，

訴”./c、.A.c小M2非3A/IOV2

所以sin(a-￡)=sintzcosp-cosasm"=——x-------------x-------=-------,

')5105102

由ajog],即[O,/]得O—所以。_/?=一：.

A+C1

18.在A5c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且〃(sin-----sinAcosC)=—csin2A.

(1)求角5的大小;

(2)若.A5C為銳角三角形，且〃=26，求一A5c的面積的取值范圍.

【答案】⑴B"

(2)(3月,12百)

【解析】

【分析】(1)由正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換可得2sin&cos0=cos0,進(jìn)一步結(jié)合已知即可

222

得解；

(2)將三角形ABC的面積表示為S△皿c=—二+36，通過三角形ABC是銳角三角形求出A的范圍

tanA

即可得解.

【小問1詳解】

A+C1

因?yàn)閍(sin-----sinAcosC)=—csin2A,

由正弦定理得sinA〔sin4^^■—sinAcoscj=gsinCsin2A=sinCsinAcosA,

A+C

所以sinAsin-------=sinCsinAcosA+sin2AcosC

2

=sinA(sinCcosA+sinAcosC)=sinAsin(A+C)=sinAsinB,

又Aw(0,兀)，所以sinA>0,所以sin=sinB,gpsinB=sin-~~—=cos—,

222

所以2sin—cos—=cos-,可得cos—(2sin----1)=0,

所以cos—=0或sin—二一，

222

TT

又3e(0,7i),所以8=；.

【小問2詳解】

2&bc

由正弦定理號=一不=—彳，可得而！嬴6，

sinAsinBsinCsin一

3

所以_2遙sinC_2后sin(A+5)_2逐sin(A+§)_^sinA+30cosA,

sinAsinAsinAsinA

=LcsinB」x2"X瓜inA+3收+

所以S^ABC

22sinA2tanA

0C<A4<—兀

兀2ITTT

又由ABC為銳角三角形，且8=；,則解得d<A<5,

3八2兀，兀

0<A<—

[32

因?yàn)槎?1211%在尤€6,5)上單調(diào)遞增，所以tanA>坦，

623

所以36<%枷<126，即一ABC的面積的取值范圍是(36,12君).

19.如圖，在直三棱柱ABC-A14cl中，A41=A/3,AB=2AC=4,ACLCB,點(diǎn)。，E分別為棱

BC,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段CE的中點(diǎn).

(1)求證：AF_L平面BCE；

(2)求直線。尸與平面A8b所成角的正弦值;

(3)求二面角尸—AD—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

26

⑶-

4

【解析】

【分析】（1）只需分別證明AFLEC,結(jié)合線面垂直的判定定理即可得解；

（2）首先通過分析可說明NDEB是直線。F與平面A8尸所成角，進(jìn)一步通過解三角形即可得解;

（3）由二面角的定義分析說明NFGO為二面角F4DC的平面角，再通過解三角形即可得解.

【小問1詳解】

在直三棱柱ABC-A與G中，平面ABC,又BCu平面ABC,所以44,，3C,

又ACLCB,ACnM=A,AC,AAu平面,所以3cl平面AC￡4,

又Mu平面ACGA，所以

在矩形ACG4中，A4j=A/3,AC=2,點(diǎn)￡是棱AC的中點(diǎn)，

所以A￡=EC=2,所以△AEC是等邊三角形，

又點(diǎn)尸是線段CE的中點(diǎn)，所以AF_LEC,

又CEBC=C,CE,8Cu平面BCE,所以"，平面BCE.

【小問2詳解】

在平面BCE內(nèi)，過點(diǎn)D作2尸的垂線，垂足為反，如圖所示.

由（1）知平面BCE