人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示精講精練同步訓(xùn)練

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示精講精練同步訓(xùn)練【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颍运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2．右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．考點(diǎn)二空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．考點(diǎn)三空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．考點(diǎn)四空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考點(diǎn)五空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).知識點(diǎn)三空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【題型歸納】題型一：空間直接坐標(biāo)對稱問題1．點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為（）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則、間的距離為（）A． B．6 C．4 D．3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，那么下列說法正確的是（）①點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是；②點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是；③點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.A．①② B．①④ C．②④ D．③④題型二：空間圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)4．如圖所示，在一個(gè)長、寬、高分別為2、3、4的密封的長方體裝置中放一個(gè)單位正方體禮盒，現(xiàn)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則正確的是（）A．的坐標(biāo)為 B．的坐標(biāo)為C．的長為 D．的長為5．在空間直角坐標(biāo)系中，記點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)B，則（）A． B． C． D．6．在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則A． B．C． D．題型三：空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用7．如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為，，則點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，則BC邊上的中線長為A．2 B．3 C． D．9．在空間直角坐標(biāo)系中，給出以下結(jié)論：①點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；②點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是；③已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)是；④兩點(diǎn)間的距離為.其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④題型四：空間兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用10．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則、兩點(diǎn)間的距離為（）A． B．2 C．4 D．11．正方體的棱長為，且，，，，則的最小值為（）A． B． C． D．12．已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)的距離的最小值為A． B． C． D．題型五：空間坐標(biāo)的運(yùn)算及其模的求法13．若向量，滿足條件，則x的值為（）A． B．2 C．0 D．114．平行六面體中，，，，則對角線的長為（）A． B．12 C． D．1315．設(shè)，向量，，，且，，則（）A． B．3 C． D．4題型六：空間向量的平行的坐標(biāo)表示問題16．已知向量，則與共線的一個(gè)單位向量（）A． B． C． D．17．已知點(diǎn)，.點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．18．已知，，若與共線，則實(shí)數(shù)（）A．-2 B． C． D．2題型七：空間向量的垂直的坐標(biāo)表示問題19．下列各組向量互相垂直的是（）A．2，，B．4，，0，C．2，，D．4，，20．已知，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．21．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，點(diǎn)，.若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.A． B．C． D．題型八：空間向量的夾角余弦的坐標(biāo)問題22．若向量，且與的夾角余弦為，則λ等于（）A． B． C．或 D．223．已知空間向量，，且，則與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．24．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，與的夾角為120°，則λ的值為()A．± B． C．－ D．±【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題25．已知向量，，且與互相垂直，則（）A．1 B． C． D．26．設(shè)，，向量，，，且，，則（）A． B．3 C．4 D．27．已知空間四點(diǎn)，，，，則（）A． B． C． D．28．一束光線自點(diǎn)P（1，1，1）出發(fā)，被xOy平面反射到達(dá)點(diǎn)Q（3，3，6）被吸收，那么光線所經(jīng)過的距離是（）A． B． C． D．29．已知向量，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．30．已知空間三點(diǎn)，，，若向量與的夾角為60°，則實(shí)數(shù)（）A．1 B．2 C． D．31．空間有四點(diǎn)A、B、C、D，其中，且，則直線AB與CD（）A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直32．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，，原點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A．B．C．D．33．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件34．已知，，則向量與的夾角是（）A．90° B．60°C．45° D．30°35．已知，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為A．19 B． C． D．【高分突破】一：單選題36．已知向量，，且與互相垂直，則的值是A．-1 B． C． D．37．如圖，在三棱柱中，底面，，，則與平面所成角的大小為A． B． C． D．38．已知空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．39．正方體的棱長為，點(diǎn)在且，為的中點(diǎn)，則為()A． B． C． D．40．已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A． B． C． D．41．已知空間向量，，則的最小值為A． B． C．2 D．442．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上（包括邊界）移動，且滿足，則線段的長度的最大值為（）A． B． C． D．3二、多選題43．已知向量，，，

下列等式中正確的是（）A． B．C． D．44．已知空間三點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．45．已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則46．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是棱和的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．47．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，則以下結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．三、填空題48．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為______.49．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是_______．50．已知向量，，則在方向上的投影為________．51．如圖所示，正方體的棱長為是它內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦的長度最大時(shí)，的取值圍是_______________________．四、解答題52．已知，，，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.53．直三棱柱中，，棱，是的中點(diǎn)．(1)求的長；(2)求的值．54．如圖，，原點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，點(diǎn)在平面上，且，．（1）求向量的坐標(biāo)．（2）求與的夾角的余弦值．55．已知空間三點(diǎn).（1）若點(diǎn)在直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求以為鄰邊的平行四邊形的面積.56．已知，．（1）求；（2）求與夾角的余弦值；（3）求確定、的值使得與軸垂直，且．【答案詳解】1．A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，所以點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為故選：A2．B因?yàn)殛P(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，所以，又因?yàn)殛P(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，所以，所以，故選：B.3．D【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn).對于①，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，①錯(cuò)誤；對于②，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，②錯(cuò)誤；對于③，點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，③正確；對于④，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，④正確；綜上知，正確的命題序號是③④.故選：D.4．D【詳解】由所建坐標(biāo)系可得：，，，.故選：D.5．B點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，則．故選：B.6．C【詳解】解：三棱錐各頂點(diǎn)在平面上的正投影坐標(biāo)為，，，，在平面上正投影的圖形為直角三角形，其面積為；三棱錐各頂點(diǎn)在平面上的正投影坐標(biāo)為，，，，在平面上正投影的圖形為直角梯形，其面積為；三棱錐各頂點(diǎn)在平面上的正投影坐標(biāo)為，，，，在平面上正投影的圖形為直角梯形，其面積為；所以得，故選C．7．D【詳解】因?yàn)?，故為中點(diǎn)，又，故，即故選：D8．B【詳解】由題意的中點(diǎn)為，∴．故選：B．9．C【詳解】①點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故①錯(cuò)誤；②點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故②正確；③已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)是，故③正確；④兩點(diǎn)間的距離為，故④錯(cuò)誤.故選：C.10．B【詳解】由題意，∴．故選：B．11．A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，又，，，同理可得：，，，，，，，，，的軌跡為（平面），即平面；點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)在上且滿足，；（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），，，，的最小值為.故選：A.12．C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以有二次函數(shù)易知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為的最小值為故選：C.13．B【詳解】由，即，則，∴1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.故選：B14．D【詳解】因?yàn)?，所以故選：D15．C【詳解】解：，，得，又，則，得，，，.故選：C.16．B設(shè)，由已知可得，解得.因此，或.故選：B.17．A【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，因?yàn)辄c(diǎn)，，，由，可得，解得:，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：A.18．B【詳解】∵，，∴，.∵與共線，∴，即.故選：B.19．C【詳解】解：對于，，、不垂直；對于，由得、是共線向量，不垂直；對于，，；對于，，、不垂直．故選：．20．D【詳解】解：根據(jù)題意，向量.，，則，，，，2，，若向量.與.互相垂直，則有，解可得：；故選：D.21．A【詳解】因?yàn)樵谥本€上，故存在實(shí)數(shù)使得，.若，則，所以，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.22．A【詳解】解：∵向量，∴，解得．故選：A．23．B【詳解】，因?yàn)椋獾?，?所以.故選：B24．C【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，，，，，所?/p>

，所以，且解得，故選C．25．B，由于與互相垂直，所以.故選：B26．B【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，所?故選：B27．A【詳解】由題意得，，所以，所以，故選：A28．D【詳解】P關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)為P′（1，1，-1），則光線所經(jīng)過的距離為|P′Q|=.故選:D29．A【詳解】由題意，，而，，∴，則，又，∴.故選：A30．B【詳解】，，，，由題意有即，整理得，解得故選：B31．D【詳解】，由因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，故選：D.32．B【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，得、，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B．33．A【詳解】解析：設(shè)，則=k，即，即“”可推出“”；又若＝時(shí)，＝(0，0，0)，雖有成立，但條件顯然不成立，所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要條件.故選：A．34．A【詳解】依題意，，，則，，所以，所以，即向量與的夾角是90°．故選：A.35．C【詳解】，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.36．D【詳解】∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2），∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，2），∵k和2互相垂直，∴（k）?（2）＝解得k．故選D．37．A【詳解】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，以AD為x軸，以CD為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，故，而，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)，解得，.故與平面所成角的大小為，故選A．38．C【詳解】設(shè)，由點(diǎn)在直線上，可得存在實(shí)數(shù)使得，即，可得,所以,則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故選：C.39．A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）因?yàn)樗运运运运赃xA40．A【詳解】解：由空間向量，，若與垂直，則，即，即，即，即，即，故選：A.41．C【詳解】解：∵，，∴，則，∴當(dāng)時(shí)，取最小值為2．故選：C．42．D【詳解】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P（a，b，0），則（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），

＝（a?2，b?2，?2），＝（1，2，?2），

∵P⊥E，，

∴a＋2b?2＝0，

∴點(diǎn)P的軌跡是一條線段，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，可取到最大值9，∴線段P的長度的最大值為3．

故選：D．43．BCD【詳解】由題，所以不相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，所以B選項(xiàng)正確；，所以C選項(xiàng)正確；，即，，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD44．AC【詳解】，，，故A正確；不存在實(shí)數(shù)，使得，故不共線，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC.45．AC【詳解】對于A中，由，可得，解得，故A選項(xiàng)正確；對于B中，由，可得，解得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C中，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，顯然無解，即不